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4 3 简单线性规划的应用 1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题，并能加以解决 2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际 问题的意识 . 1.对利用线性规划解决实际问题的考查是本节 的热点 2.本节内容常与实际问题结合问题 3.多以选择题、填空题形式考查，也可以解答 题形式考查 . 1线性目标函数 z ax by(a 0， b 0)把直 线 l0： ax by 0向右平移时，所对应的 z随之 ，把 l0向左平移时，所对应的 z随之 在平移过程中与可行域 相交的 点和 相交的点，可使目标函数 z ax by c取得最值也就是最优解 增大 减小 首先 最后 2 设 z 2 x y ，其中变量 x ， y 满足条件 x 4 y 3 ， 3 x 5 y 25 ， x 1. z 的最大值和最小值分别为 . 12,3 线性规划的应用 线性规划也是求值的一种 ， 是求在某种限制范 围之下的最大值或最小值的问题 ， 其关键是列 出所有 ， 不能有遗漏的部分 ， 如有时变 量要求为正实数或自然数 ， 其次是准确找到 ， 如果数量关系多而杂 ， 可以用列表等方 法把关系理清 限制条件 目标函数 线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题 中：一是在人力 、 物力 、 资金等资源一定的条 件下 ， 如何使用其完成最多的任务；二是给定 一项任务 ， 如何合理安排和规划 ， 能用最少的 人力 、 物力 、 资金等资源来完成这项任务 在生产和生活中 ， 常用于： 下料问题； 优 化安排活动问题； 优化运营问题等 利用线性规划的方法解决实际问题的过程可分 为假设分配方案 、 确定目标函数 、 列出约束条 件 、 画出可行域 、 确定最优解 、 确定目标函数 最值 、 回归实际问题 1 有 5辆载重 6吨的汽车 ， 4辆载重 4吨的汽车 ， 设需载重 6吨的汽车 x辆 ， 载重 4吨的汽车 y辆 ， 则要运送最多的货物 ， 完成这项运输任务的线 性目标函数为 ( ) A z 6x 4y B z 5x 4y C z x y D z 4x 5y 答案： A 2配制 A、 B两种药剂都需要甲、乙两种原料， 用料要求如表所示 (单位：千克 ) 药剂 A、 B至少各配一剂，且药剂 A、 B每剂售 价分别为 100元、 200元现有原料甲 20千克， 原料乙 25千克，那么可获得的最大销售额为 _百元 原 料 药 剂 甲 乙 A 2 5 B 5 4 解析： 设药剂 A 、 B 分别配 x 剂、 y 剂， 则 2 x 5 y 20 5 x 4 y 25 x 、 y N ，销售额 z x 2 y ， 作出可行域如图 答案： 8 令 z 0 得直线 x 2 y 0 ， 平移此直线过点 M 时 z 最大， 由 2 x 5 y 20 5 x 4 y 25 ， 得 M 45 17 ， 50 17 ，调整得最优解 ( 2,3) ， z m ax 2 2 3 8( 百元 ) 3有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生 产 1车皮甲种肥料或 1车皮乙种肥料需要的主要 原料和产生的利润分别为：磷酸盐 2 t，硝酸盐 9 t，利润 8 000元或磷酸盐 2 t，硝酸盐 5 t，利 润 6 000元工厂现有库存磷酸盐 20 t，硝酸盐 70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最 大利润？ 即当直线 8 000 x 6 000y z 0过 (5,5)点时 ， z 取得最大值 即生产甲 、 乙两种肥料各 5车皮时可获得最大 利润 解析： 设 x ， y 分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车 皮数由题意得 2 x 2 y 20 9 x 5 y 70 ， x 0 ， y 0 工厂利润 z 8 000 x 6 000 y . 由 2 x 2 y 20 9 x 5 y 70 得 x 5 y 5 某企业生产甲、乙两种产品已知生产每 吨甲产品要用 A原料 3吨、 B原料 2吨；生产每 吨乙产品要用 A原料 1吨、 B原料 3吨销售每 吨甲产品可获得利润 5万元、每吨乙产品可获 得利润 3万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13吨、 B原料不超过 18吨，那么该 企业可获得最大利润是多少？ 本题解答可先设出企业生产甲、乙两产品 的吨数，再根据原料限制条件列出约束条 件，建立目标函数求解 解题过程 设该企业生产甲产品为 x 吨，乙产品为 y 吨，则该企业可获得利润为 z 5 x 3 y ，且 x 0 ， y 0 ， 3 x y 13 ， 2 x 3 y 18 联立 3 x y 13 ， 2 x 3 y 18 ，解得 x 3 ， y 4. 由图可知，最优解为 P ( 3,4) ， z 的最大值为 z 5 3 3 4 27( 万元 ) 答： 企业可获得的最大利润为 27万元 题后感悟 线性规划的应用问题，关键是 根据题目正确的列出变量的约束条件与目 标函数，准确地画出可行域，确定其最优 解 1.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产 品 1 kg要用煤 9 t，电力 4 KW，劳动力 (按工作 日计算 )3个；制造乙产品 1 kg要用煤 4 t，电力 5 KW，劳动力 10个又知制成甲产品 1 kg可获 利 7万元，制成乙产品 1 kg可获利 12万元，现 在此工厂只有煤 360 t，电力 200 KW，劳动力 300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品 各多少千克获得最大经济效益？ 解析： 设此工厂应分别生产甲、乙产品 x kg、 y kg，利润 z万元，则依题意可得约束 条件： 作出可行域，作直线 l： 7x 12y 0，把直线 l 向右上方平移至 l1位置，直线经过可行域上的 点 M，且与原点距离最大，此时 z 7x 12y取 最大值 9 x 4 y 360 4 x 5 y 200 3 x 10 y 300 x 0 y 0 利润目标函数为： z 7 x 12 y . 解方程组 3 x 10 y 300 ， 4 x 5 y 200 ， 得 M 点坐标为 ( 20,24) 即应生产甲种产品 20 t ，乙种产品 24 t ，才能使此工厂 获得最大利润 某公司的仓库 A存有货物 12吨，仓库 B存有 货物 8吨，现按 7吨、 8吨和 5吨把货物分别调运 给甲、乙、丙三个商店，从仓库 A运货物到商 店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 8元、 6 元、 9元；从仓库 B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为 3元、 4元、 5元，问应 如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货 物到三个商店的总运费最少？ 先设仓库 A运给甲、乙商店的货物吨数，利 用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而 表示出目标函数 总运费，列出线性约束条 件，建立线性规划模型 解题过程 将实际问题的一般语言翻译成数 学语言可得下表 (即运费表，单位：元 ) 设仓库 A运给甲、乙商店的货物分别为 x吨、 y 吨，则仓库 A运给丙商店的货物为 (12 x y) 吨；从而仓库 B运给甲、乙、丙商店的货物应 分别为 (7 x)吨， (8 y)吨， 5 (12 x y)吨， 即 (x y 7)吨，于是总运费为 商店 每吨运费 仓库 甲 乙 丙 A 8 6 9 B 3 4 5 z 8x 6y 9(12 x y) 3(7 x) 4(8 y) 5(x y 7) x 2y 126. 则问题转化为求总运费 z x 2 y 126 在约束条件 12 x y 0 7 x 0 8 y 0 x y 7 0 x 0 y 0 即在 0 x 7 0 y 8 x y 7 x y 12 下的最小值 答： 仓库 A运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0 吨、 8吨、 4吨；仓库 B运给甲、乙、丙商店的 货物分别为 7吨、 0吨、 1吨，此时，可使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 作出上述不等式组所表示的平面区 域，即可行域， 作出直线 l： x 2 y 0 ，把直线 l 作 平行移动，显然当直线 l移动到过点 A ( 0,8) 时，在可行域内， z x 2 y 126 取得最小值 z m in 0 2 8 126 1 10. 即 x 0 ， y 8 时，总运费最少 题后感悟 (1)线性规划问题中条件往往较多 ， 需注意借助表格或图形梳理题目中的条件 (2)在切实认真审题的基础上 ， 将约束条件全 部罗列出来 ， 最后要检查能否取等号 ， 未知量 是否为正整数或有其他范围的限制 2.某工厂要制造 A种电子装置 45台 ， B种电子装 置 55台 ， 需用薄钢板给每台装置配一个外壳 ， 已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每 张面积 2 m2， 可做 A， B外壳分别为 3个和 5个 ， 乙种薄钢板每张面积 3 m2， 可做 A， B外壳各 6 个 ， 求两种薄钢板各用多少张 ， 才能使总的用 料面积最小 解析： 设用甲种薄钢板 x 张，乙种薄钢板 y 张，则 3 x 6 y 45 ， 5 x 6 y 55 ， x 0 ， y 0 ， 所以总面积为 z 2 x 3 y . 作出可行域如图所示当直线经过交点 A 时， z 取得最 小值 由 3 x 6 y 45 ， 5 x 6 y 55 ， 得 x 5 ， y 5. 所以 zmin 2 5 3 5 25. 即甲 、 乙两种钢板各用 5张时 ， 能保证制造 A， B两种外壳的数量 ， 同时又能使总的用 料面积最小 某运输公司接受了向抗洪抢险地方每天至少 运送 180吨支援物资的任务，该公司有 8辆载重 为 6吨的 A型卡车与 4辆载重为 10吨的 B型卡车， 有 10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数是： A型卡车为 4次， B型卡车为 3次每辆卡车每 天往返的成本费为： A型卡车为 320元， B型卡 车为 504元，请你为该公司调配车辆，使公司 所花成本费最低 解答本题可先转化为线性规划问题，再利用 线性规划问题的知识求解，注意车辆数应为 整数 解题过程 设每天从该公司调出 A 型卡车 x 辆， B 型卡 车 y 辆，公司每天所花成本为 z 元，则 z 320 x 504 y ，其中 x ， y 满足约束条件 0 x 8 0 y 4 x y 10 24 x 30 y 180 x ， y N ，即 0 x 8 0 y 4 x y 10 4 x 5 y 30 x ， y N ， 作可行域如图 ( 阴影内的整点 ) 所示 作直线 l： 320 x 504y 0， 作一组与 l平行的直线 l： 320 x 504y t(t R)， 由题设 x， y是可行域内的整点的横 、 纵坐标 在可行域内的整点中 ， 点 (8,0)使 t取最小值 ， 即当 l过点 (8,0)时 ， t最小 ， 即 zmin 8 320 2 560(元 ) 答：每天从公司调 A型卡车 8辆就能完成任务 ， 且公司所花成本费最低 题后感悟 对于线性规划中的最优整数解的 问题 ， 当解方程组得到的解不是整数解时 ， 可 用下面的方法求解： (1)平移直线法：先在可行域内打网格 ， 再描 整点 ， 平移直线 l， 最先经过或最后经过的整 点坐标是整点最优解 (2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时 ， 也可将整点坐标逐一代入目标函数求值 ， 经比 较得最优解 3.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两 种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输 效果见下表： 现在要在一天内运输 2 000t粮食和 1 500t石油需 至少安排多少艘轮船和多少架飞机？ 方式 效果 种类 轮船运 输量 (t) 飞机运 输量 (t) 粮食 300 150 石油 250 100 解析： 设需要安排 x 艘轮船和 y 架飞机， 则有 300 x 150 y 2 000 250 x 100 y 1 500 x 0 y 0 x ， y N ，即 6 x 3 y 40 5 x 2 y 30 x 0 y 0 x ， y N ， 目标函数为： z x y . 作出可行域，如图所示， 作出直线 l 0 ： x y 0 ，平移直线经过直线 6 x 3 y 40 0 和 y 0 的交点 A 20 3 ， 0 得直线 l 1 的方程为 x y 20 3 . 由于 20 3 不 是整数，而最优解 ( x ， y ) 中 x ， y 必须都是整数，所以，可行 域内点 20 3 ， 0 不是最优解经过可行域内的整点 ( 横、纵坐 标都是整数的点 ) 且与原点距离最近的直线经过的整点是 ( 7,0) ，即为最优解 答： 至 少安排 7 艘轮船和 0 架飞机 1 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题 仔细阅读 ， 对关键部分进行 “ 精 读 ” ， 准确理解题意 ， 明确有哪些限制条件 ， 起关键作用的变量有哪些 ， 由于线性规划应用 题中的量较多 ， 为了理顺题目中量与量之间的 关系 ， 有时可借助表格来理顺 (2)转化 设元 写出约束条件和目标函数 ， 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问 题 (3)求解 解这个纯数学的线性规划问题 (4)作答 就应用题提出的问题作出回答 2 解答线性规划应用题应注意的问题 (1)在线性规划问题的应用中 ， 常常是题中的 条件较多 ， 因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以 判断； (3)结合实际问题 ， 分析未知数 x、 y等是否有限 制 ， 如 x、 y为正整数 、 非负数等； (4)分清线性约束条件和线性目标函数 ， 线性 约束条件一般是不等式 ， 而线性目标函数却是 一个等式； (5)图对解决线性规划问题至关重要 ， 关键步 骤基本上都是在图上完成的 ， 所以作图应尽可 能地准确 ， 图上操作尽可能规范 但作图中必 然会有误差 ， 假如图上的最优点不容易看出时 ， 需将几个有可能是最优点的坐标都求出来 ， 然 后逐一检查 ， 以确定最优解 有一批钢管，长度都是 4 000 mm ，要截成 5 00 mm 和 600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于 1 3 ，要使钢管截 得的毛坯最多，有几种合理的截法？ 解析： 设截 500 mm 的 x 根， 600 mm 的 y 根，则 x 、 y 满 足的约束条件为 500 x 600 y 4 000 ， x y 1 3 ， x N ， y N ， 即 5 x 6 y 40 ， 3 x y 0 ， x N ， y N ， 【错解一】 作出可行域如图阴影部分，目标函数 z x y ，作一组平行线 y x z ，由图知，当直线过 A 时 z 最大 由 y 3 x ， 5 x 6 y 40 ， 解得 x 1 17 23 ， y 5 5 23 ， A 1 17 23 ， 5 5 23 . 此时 x y 6 22 23 . x ， y N ， x y 的最大值为 6 ， 【错因】 此解法主要是由作平行线不准确造成 的直线 5 x 6 y 40 的斜率为 5 6 ，直线 y x z 的斜率为 1 ， 5 6 1 ， 直线 5 x 6 y 40 的倾斜角应大于 y x z 的倾斜角 【错解二】 作出可行域，如图阴影部分，由图知当直线 y x z 过点 B ( 8,0) 时 z 最大，所以 x y 的最大值为 8 ， 【 错因 】 此解法由于忽视了实际背景而致 错 题目要求截两种毛坯 ， 而非一种 事实上 点 B(8,0)也并不在可行域内 【 正解 】 作可行域如图所示 ， 由图知当直线 y x z过点 B(8,0)时 z最大 ， 此时 x y 8. x， y N ， (8,0)不是最优解 在可行域 内找整点 (x， y)， 使得 x y 7.经检验 ， 可知 点 (2,5)， (3,4)， (4,3)， (5,2)， (6,1)均为最优 解 故有 5种合理的截法
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