高等数学方向导数与梯度.ppt

1 l P x y O 0P 9.8 方向导数与梯度 9.8.1 方向导数 定义 9.5 (方向导数 ) 设二元函数 z = f (x, y)在点 P0(x0, y0)的某一邻域 内有定义 , l 是以 P0(x0, y0) 为起点的射线 , )c o s,(c o s l 为其方向向量 . 如果极限 t yxftytxf t ),()c o s,c o s(lim 0000 0 2 存在 , 则称此极限为函数 z = f (x, y)在点 P0(x0, y0) 记为 , 0P l f 如果函数 f (x, y)在区域 D内任何一点 (x, y)处沿方向 .),( 00l yxf 或 l 的方向导数都存在 , 注 : 方向导数是函数沿半直线方向的变化率 . 则 为 D内的一个函数 , l f 称为 f (x, y)沿方向 的方向导函数 (简称方向导数 ). l 处沿方向 的 方向导数 , l 3 t一定为正 ! x yxfyxxf x f x ),(),(lim 0 是函数在某点沿 任何方向 的变化率 . 方向导数 偏导数 y yxfyyxf y f y ),(),(lim 0 分别是函数在某点沿 平行于坐标轴 的直线 x、 y可正可负 ！ 的变化率 . t yxftytxf l f t ),()c o s,c o s(lim 0 7 定理 9.12 ),(),( 000 yxPyxfz 在点如果 ,的方向导数都存在在该点沿任意方向 l 处 可微 , 则函数 且 .c o s,c o s 的方向余弦为 l c o sc o s 000 PPP y f x f l f 其中 类似地 , 如果三元函数 ),(),( 0000 zyxPzyxfu 在点 处可微 , ,的方向导数都存在则在该点沿任意方向 l 且 .c os,c os,c os 的方向余弦为 l c o sc o sc o s 0000 PPPP z f y f x f l f 其中 9 解 令 ,632),( 222 zyxzyxF ,44 PPx xF ,66 PPy yF 22 PPz zF 故 Pzyx FFFn ),( ),2,6,4( ,142264 222 n 其方向余弦为 z yxu 22 86 例 设 .的方向导数点处沿方向在 nP ,142co s ,143co s 14 1c os )1,1,1(632 222 Pzyxn 在点是曲面 处指向外侧的法向量 , 求函数 10 ,142co s ,143co s 14 1c os PP yxz x x u 22 86 6 14 6 PP yxz y y u 22 86 8 14 8 PP z yx z u 2 22 86 14 PP z u y u x u n u c osc osc os .7 11故 z yxu 22 86 函数 )1,1,1(P 13 考虑函数 定点 P0(3,1), P1(2,3). 解 542 0 3 Pyx ,23 yxz 0P x z ,273 0 22 Pyx 0P y z 5| 10 PP ,51c o s 5 2c o s 0P l z 5 81 5 254 5 127 ),2,1(10PP 求函数在 P0 沿 方向的方向导数 . 10PP 15 指向点沿点函数 )1,0,1()l n ( 22 Azyxu ).()2,2,3( 方向的方向导数为B 2 1 解 此 方向的方向向量为 ).1,2,2( ,32c o s ,32c o s ,31c o s , 2 1 Ax u ,0 Ay u ,2 1 Az u Al u .c o sc o sc o s zfyfxflf .2121310)32(2132 16 方向导数 c o sc o s yfxflf , y f x fG 最大 或 最小 ? .1),c o s,( c o s ll 9.8.2 梯度的概念 问题 : 函数 沿什么方向的方向导数为 ),( yxfz 方向导数取最大值 m a x ,G l f .Glf m i n方向导数取最 小 值 其中 ,lG 而 方向一致时 , Gl 与当 Gl 与当 方向 相反 时 , 17 定义 9.6 .jyfixf 记作 ).,(adrg yxf 即 ),(adrg yxf y f x f , 处的 梯度 , ),( yxP在点 则梯度又可记为 为函数 ),( yxfz y f x fG , 引用记号 , yx 称为奈布拉算子 , 或称为 向量微分算子或哈密尔顿算子 , f y f x fyxf ,),(adrg 18 结论 : 22 |),(g r a d| y f x fyxf 函数在某点的 梯度 是这样一个 向量 , 它的 方向 与取得 最大方向导数 的方向一致 , 而它的模为方向导数的最大值 . 梯度的模为 沿着 方向 , 函数减少得最快 . y f x f , fgrad fgrad P :G 方向： 模： f 变化率最大的方向 f的最大变化率之值 22 kzfjyfixffzyxf ),(g r a d 此梯度也是一个向量 , 其方向与取得最大方 梯度的概念可以推广到三元函数 则函数在该点的梯度为 z f y f x f , 设三元函数 在点 P处可微分 , ),( zyxfu 向导数的方向一致 , 其模为方向导数的最大值 . 23 解 k z uj y ui x uzyxu ),(g r a d kzjyix 6)24()32( 故 .1225)2,1,1(g r a d kjiu 0, 2 1, 2 3 0P 可得 , 在 处梯度为 .0 令 ,06)24()32( kzjyix )2,1,1( 例 求函数 在点 处的梯度 , 并问在哪些点处梯度为零 ? yxzyxu 2332 222 24 处在点函数 )2,2,1()l n ( 222 Mzyxu ).(dg ra Mu的梯度 )2,2,1(92 解 M M z u y u x uu ,dg r a Mzyx z zyx y zyx x 222222222 2,2,2 ).2,2,1(92 26 作业 习题 9.8 (209页 ) 1. (3) 2. 3.(3)