《正态分布及其性质》PPT课件.ppt

第四章 正态分布 第一讲 正态分布及其性质 概率论与数理统计 课程教学团队 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 第一讲 正态分布及其性质 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 ).,( ,)0(, ,e 2 1 )( 2 2 )( 2 2 NX X x xfX x 记为 的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中 的概率密度为设连续型随机变量 一、正态分布 高斯资料 1、定义 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 2、正态概率密度函数的几何特征 ;)1( 对称曲线关于 x ;2 1)(,)2( xfx 取得最大值时当 ;0)(,)3( xfx 时当 ;)4( 处有拐点曲线在 x 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰 的陡峭程度 . 正态分布 的图形特点 ),( 2N 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 3、正态分布的分布函数 2 2 () 21( ) e d 2 t x F x t 正态分布分布函数图形 演示 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 4、 正态分布的期望与方差 其概率密度为设 ),( 2NX 则有 xxxfXE d)()( .de21 2 2 2 )( xx x t x 令 ,tx .,0,e2 1)( 2 2 2 )( xxf x 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 . ttt tt de2de21 22 22 xxXE x de2 1)( 2 2 2 )( 所以 tt t de)(21 2 2 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 .de2 1)( 2 2 2 )( 2 x x x xxfxXD d)()()( 2 得令 ,t x ttXD t de2)( 22 2 2 tt tt dee 2 22 2 22 220 2 .2 2 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 .2 和分别为两个参数正态分布的期望和方差 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 正态分布是最常见最重要的一种分布 ,例如 测量误差 , 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸 :直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布 . 5、正态分布的应用与背景 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量 的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 . 事实上如果一个随 机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定 性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 . 正态分布可以作为许多分布的近似分布 . 正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质 . 各种测量的误差；人的生理特征指标； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等 . X若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每 X则 服从正态分布 . 例如 ： 一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征， 正态分布所能刻画的随机现象： 正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面： 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 6、正态分布下的概率计算 txF x t de21)( 2 2 2 )( xXP ? 原函数不是 初等函数 方法一 :利用 MATLAB软件包计算 (演示 ) 方法二 :转化为标准正态分布查表计算 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 正态分布由它的两个参数 和 唯一确定， 当 和 不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 ).1,0(, ,1,0),( 2 N N 记为态分布的正态分布称为标准正 这样时中的当正态分布 标准正态分布的 概率密度 表示为 ,e21)( 2 2 xx x 二、标准正态分布 标准正态分布的 分布函数 表示为 .,de21)( 2 2 xtx x t 1、定义 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 标准正态分布的图形 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 2、标准正态分布的概率计算 1 ( )x ( ) ( )ba 2005.0)84.0(1)84.0( RxdtexXPx x t 2 2 2 1)( 分布函数 利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概 率计算问题。 )1,0( NX 64.084.0 XP 例 1 设随机变量 ,试求 ( 0 .6 4 ) 解 查表知 所以有 5384.0 2005.07389.0 )84.0()64.0(64.084.0 XP 0.7389 ()x P a X b 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 例 设 X N(0, 1)，求 P( 1 X2)， P(X 2.5). = 0.9772 (1 0.8413) = 0.8185. P X 2.5 = 1 ( 2.5 ) 解 P( 1 X2 ) = ( 2 ) ( 1 ) = ( 2 ) 1 ( 1 ) = 1 0.9938 = 0.0062. 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 (3)正态分布的标准化： 2 ( , ) ，XN 若 ，XY 令 ( 0 ,1 )YN则 2 ( 3 , 2 ) 2 X 5 - 4 X 1 0 |X | 5 3 X XN P P P P 若 ， 求 ， ， ， 2 3 5 3 2X 5 ( ) 22 11 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 1=0.5 3 32 2 8 22 PP P U P U X 标 准 化 - 3 3 9 3 - 3 X 9 ( ) 22 ( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 1 = 0 . 9 9 4 2 7 3PP P U P U X 标 准 化 ， |X | 2 = ( 2 5 ) - ( 0 5 ) = 0 . 3 0 2 3 3 X = .PP . ， 05 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 3、一般正态分布的概率计算 ()x ( ) ( )ba 1 . 6 1 0 1 0 . 3 0 9 4 22 21 分布函数 2 2 () 21() 2 tx F x P X x e d t 在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正 态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值， 从而解决概率计算问题。 )2,1( 2NX 6.10 XP 例 2 设随机变量 ，试求 2 21 2 x y e d y ty P a X b ( 0 1 . 6 )PX 解 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 4、标准正态分布的分位数 )1,0( NX )10( 2 u 2 P X u 2u 双侧分位数： ，对于给定的 ，如果 为标准正态分布关于 实数 满足 ，则称 的双侧分位数 . 标准正态分布双侧分位数的意义如图 1所示 . 双侧分位数的计算方法： 1 2 2 u 查标准正态分布函数值表便可得 也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。 /2 2 .5 7 6u )(x x 2 u 2 u 图 1 2 2 由定义知 2()u 0 .1 0 0 .0 5 0 .0 1 /2 1 .6 4 5u /2 1 .9 6u 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 1 2.3 2 6u )1,0( NX )10( u P X u u 上侧分位数： ，对于给定的 , 如果 为标准正态分布关于 实数 满足 ，则称 的上侧分位数 . 标准正态分布上侧分位数的意义如图 2所示 . 上侧分位数的计算方法： 由定义知 u查标准正态分布函数值表便可得 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系 ,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数 . )(x x u 图 2 1 .6 4 5u 0.05 0.01 ()u 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 例 3 .,1.03;2005002;5601 60500 xxXPXPXP X 求）（）求（）求（ 的正态分布。，（以小时计）服从某种器件的寿命 2 ( 5 0 0 , 6 0 )XN已知解： 56 01 XP）（ 5601 XP 50 0 56 0 50 0 1 60 60 XP 60 5005601 11 8413.01 1587.0 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 2 5 0 0 2 0 0 PX 解 （）： 5 0 0 6 0 . 1 5 6 0 ; 2 5 0 0 2 0 0 ; 3 3 0 . 1 , . X P X P X P X x x 某种器件的寿命（以小时计）服从 ， 的正态分布 （）求 （）求 例 （） 求 0 0 0 8.0 9 9 9 6.012 2 0 05 01 XP 602 0060 5 00602 001 XP 60 200 60 2001 1 3 1021 3 1012 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 5 0 0 6 0 . 1 5 6 0 ; 2 5 0 0 2 0 0 ; 3 3 0 . 1 , . X P X P X P X x x 某种器件的寿命（以小时计）服从 ， 的正态分布 （）求 （）求 例 （） 求 282.160 500 x为单调不减函数，故需因 3 0 . 1 ,P X x求解 （）要： ，即要求 1.01 xXP 1.060 5001 x即需 282.19.060 500 x 92.576x 。时，才能使即当 1.092.576 xXPx 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 (1) 所求概率为 89 XP )2( 5.0 9089 )2(1 9772.01 .0228.0 解 例 4 ?,99.0 80)2( .89,90)1( ).5.0,(, )(,. o 2 oo 至少为多少问低于 的概率不至少为若要求保持液体的温度 的概率小于求若 且是一个随机变量 计以液体的温度调节器整定在容器内 贮存着某种液体的将一温度调节器放置在 d C Xd dNX CXCd 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 ( 2 ) 8 0 0 . 9 9PX 1 8 0 0 . 9 9PX 1 ( 8 0 ) 0 . 9 9F 801 0 .9 9 0 .5 d 80 1 0.99 0.01 , 0.5 d 80- 2 .3 2 7 0 .5 d 即 8 1 . 1 6 3 5 .d 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 正态随机变量的重要性质：两个或多个相互独立的 正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。 三、 正态随机变量的线性组合 2 2 . ( 0 , ) , ( 0 , 1 ) , , , ( 0 , 1 ) Y N X N X Y X Y N 引 理 设 且 相 互 独 立 则 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 22X N ( , ) ( , ( ) ) Y a X b N a b a 12 2 1 2 22 ( ) +XYXY 证: 21 1 1 2 2 2 2 2 ( 0 , )X X N 2 2 ( 0 , 1 )Y N 2 2 1 2 1 2 2 2 2 * 0 , ( 1 ) X Y N 221 2 1 2( , )N 22 11 22 11 2 22 2 ( , ) , ( , ) , , ,1. ( , )X Y N X N Y N X Y 定 设 且 相互独立 则 理 21 2 1 2 2 2 2 ( 0 , 1 )XY N 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 22X N ( , ) ( , ( ) ) Y a X b N a b a 2 2 2 21 1 1 1 2 12 12 11 , , . . . , , ( , ) ( 1 , 2 , . . . , ) , 0 , , . . 2 . . . . ( . . . , . ., . . ) , n i i i n n n n n n n X X X X N i nC U C X C X N C C C CC C 设 相互独立 且 对于任意不全为 的常数 定 有 理 12 1 . . . nC C C n 取 2 12 12 1 2 , , . ., , ( , ) 1 ( 1 , 2, . ., ) , . ( 0, 1 ) ( , , , . ) / . , , n n in i X X X N i n X X X N X X X n XN nn 设 相互独立 且服从同一分布 是的 推 算则 或 术平均 论 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 例 5 随机变量 X和 Y相互独立且 XN(1,2), YN(0,1). 试 求 Z=2X-Y+3的概率密度 . 故 X和 Y的任意线性组合是正态分布 . 解 : XN(1,2), YN(0,1)，且 X与 Y独立 D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 ZN(E(Z), D(Z) ZN(5, 32) 2( 5 ) 181: ( ) , ( Z R ) 32 z ZZ f z e 的 概 率 密 度 为 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 2 2 ( 2 2 .4 , 0 .0 3 ) , ( 2 2 .5 , 0 .0 4 ) , , 6 . XN Y N X Y 活塞的直径( 以c m 计) 气缸的直径 设 相互独立任取一活塞, 任取一 只气缸, 求活塞能装入 例 气缸的概率. 2 2 2 ( , ) , , ( , )i i i i i i i i iX N C X N C C i i i 定理2 则 活塞能装入气缸 = X Y = X -解: Y0 , ( ( ) , ( ) )Z N E Z DZ X Y Z令则 ( ) ( ) ( ) 0 . 1E Z E X E Y 2( ) 0() 5) .0D X DZ YD 2 ( 0 . 1 , 0 . 0 5 )ZN即 0P X Y P Z ( 0 . 1 ) 0 ( 0 . 1 ) 0 . 0 5 0 . 0 5 ZP 0 ( 0 . 1 ) 0 . 0 5 ( 2 ) 0 . 9 7 7 2 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 四、小结 1、 正态分布 2、标准正态分布 3、正态随机变量的线性组合 相互独立正态随机变量线性组合的分布 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 正态分布有极其广泛的实际背景 , 例如测量 误差 , 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸 :直径、长度、重量高度 , 炮弹的弹落点的分布等 , 都服从或近似服从正态 分布 .可以说 ,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布 , 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响 , 那么这个变量一般 是一个正态随机变量 . 4、正态分布是概率论中最重要的分布 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 另一方面 ,有些分布 (如二项分布、泊松分布 )的极 限分布是正态分布 .所以 ,无论在实践中 ,还是在理 论上 ,正态分布是概率论中最重要的一种分布 . 二项分布向正态分布的转换 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany) Carl Friedrich Gauss 高斯资料 概率论与数理统计 课程教学团队 第四章 第一讲 正态分布及其性质 作 业 P115： 1(1)， 8， 11(1)， 12(2)