《正弦定理黑底白字》PPT课件.ppt

第一章 解三角形 1.1 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1、了解正弦定理的推导过程，掌握 正弦定理及其变形。 2、能用正弦定理解三角形，并能判 断三角形的形状。 新知初探 1、正弦定理 （ 1）定理：在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦 的比相等，即在 ABC中， （ 2）变形：设 ABC的外接圆的半径为 R， 则有： a b c s i n s i n s i n CAB = a b c = 2 R s i n s i n s i n CAB= a : b : c sin A :_: sin C . a b sin A sin B ， a c sin A sin C ， b c _ . a sin A b sin B c sin C a b c sin A sin B sin C . a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c _ _ _ _ _ _ _ _ . sin A a 2 R ， sin B b 2 R ， sin C c 2 R . A B a b 2 R sin A 2 R sin B sin A sin B . sin B sin B sin C 2 R sin C 2、解三角形 一般的，把三角形的三个角和他们的对 边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元 素求其他元素的过程叫做解三角形。 思考感悟 1、在 Rt ABC中，若 C=90 ，你能借助所 学知识导出 的具体值吗？ a sin A C A B 提示：如图所示，设 Rt ABC的外接圆半径为 R则有 结合正弦定理可知 其中 a， b， c分别为 A， B， C的对边。 A B 2 R =2 s i n C s i n 9 0 R= a b c = 2 R s i n s i n s i n CAB= C A B 提示： 当 ABC 为钝角三角形时，如图，设 BAC 为 钝角， AB 边上的高为 CD . BAC 180 DA C ， 2、对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况，对于 钝角三角形，应如何证明 ? 提示：当 ABC为钝角三角形时，如图，设 ABC为 钝角， AB边上的高为 CD， ABC=180 - DAC sin BAC sin(180 DAC ) sin DAC . CD b sin DAC b si n BAC ，且 CD a sin B . b sin BAC a sin B ，即 a sin BAC b sin B . 同理： b sin B c sin BCA . 综上所述： a sin A b sin B c sin C . 3、已知三角形的哪几个元素，可以用正弦定理理 解相应三角形？ 提示： （ 1）已知三角形的任意两角和一边，求其 它两边和另一角 （ 2）已知三角形的任意两边和其中一边的 对角，求另一边及另两角 课 动 互 堂 探 究 例练结合 素能提升 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1 在 AB C 中，已知 a 8 ， B 60 ， C 75 ，求 A ， b ， c . 分析 已知两角和一边，可由内角和求第三个角 A ，再由正弦定理求 b ， c . 典例导悟 解 A 180 ( B C ) 180 ( 60 75 ) 45 . 由正弦定理 b sin B a sin A 得， b a sin B sin A 8 sin60 sin45 4 6 ， 由 a sin A c sin C 得， c a sin C sin A 8 sin75 sin45 8 2 6 4 2 2 4( 3 1) 点评 已知两角和一边 ( 如 B ， C ， a ) ，求其他角与边 的步骤是： (1) A 180 ( B C ) ； (2) 用正弦定理， b a sin B sin A ； (3) 用正弦定理， c a sin C sin A . 变式训练 1 (1) 一个三角形的两内角分别为 45 与 60 ， 如果 45 角所对的边长是 6 ，那么 60 角所对的边的边长为 ( ) A 3 6 B 3 2 C 3 3 D 2 6 (2) 在 ABC 中，若 tan A 1 3 ， C 150 ， BC 1 ，则 AB _. 解析： (1) 令 60 角所对的边为 a ， 则 a sin60 6 sin45 ， a 3 6 . (2) tan A 1 3 ， sin A 10 10 . 由正弦定理知 AB BC sin A sin C 10 sin15 0 10 2 . 答案： ( 1) A ( 2) 10 2 类型二 已知两边及一边的对角解三角形 例 2 下列三角形是否有解？有解的作出解答 (1) a 7 ， b 8 ， A 10 5 ； (2) b 10 ， c 5 6 ， C 60 ； (3) a 2 3 ， b 6 ， A 30 . 分析 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解 无解的图形来考虑 解 ( 1) a 7 ， b 8 ， a 90 ，本题无 解 ( 2) b 10 ， c 5 6 ， b c ， C 60 90 ，本题有一解 sin B b sin C c 10 sin60 5 6 2 2 ， B 45 ， A 180 ( B C ) 75 . a b sin A sin B 10 sin75 sin45 10 6 2 4 2 2 5( 3 1) (3) a 2 3 ， b 6 ， a b ， A 30 b sin A 本题有两解 由正弦定理得： sin B b sin A a 6sin3 0 2 3 3 2 ， B 60 或 120 ， 当 B 60 时， C 90 ， c a sin C sin A 2 3 sin90 sin30 4 3 ； 当 B 120 时， C 30 ， c a sin C sin A 2 3 sin30 sin30 2 3 . B 60 ， C 90 ， c 4 3 或 B 120 ， C 30 ， c 2 3 . 点评 本例属于已知两边及其中一边的对角求解三 角形的类型此类问题解的情况如下： A 为钝角 A 为直角 A 为锐角 a b 一解 一解 一解 a b 无解 无解 一解 a b s in A 两解 a b s in A 一解 a b 无解 无解 a b ， A B ，而 A 60 ， B 为锐角， B 45 . 答案： C 类型 三 判断三角形的形状 例 3 在 AB C 中，若 sin 2 A sin 2 B sin 2 C ， s i n A 2sin B c os C ，试判断 ABC 的形状 分析 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 正弦定理 a 2 b 2 c 2 B C 90 c os C sin B 222 2 2 2 2 2 2 类 型 三 判 断 三 角 形 的 形 状 例 3 在 中 ， 若 sin A=s in B+s in C ， sin A=2 sin B cos C ， 试 判 断 的 形 状 . 分 析 sin A=s in B+s in C 得 到 a =b +c B+C=90 得 到 cos = sin ABC ABC CB 解 记 a sin A b s in B c sin C k ， 则 sin A a k ， sin B b k ， sin C c k . sin 2 A sin 2 B sin 2 C ， ( a k ) 2 ( b k ) 2 ( c k ) 2 ， 即 a 2 b 2 c 2 ， A 90 . C 90 B ， c os C sin B . 1 sin A 2sin 2 B ， s in B 2 2 . B 45 或 B 135 ( A B 225 180 ，舍去 ) ABC 是以 A 为直角的等腰直角三角形 点评 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下来 弄两种途径： （ 1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； （ 2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角 的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应 用 A+B+C= 这个结论。在两种解法的等式变形中， 一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以 免漏解 变式训练 3 已知方程 x 2 ( b c os A ) x a c os B 0 的两根 之积等于两根之和，且 a ， b 为 ABC 的两边， A ， B 分别为 a ， b 的对角，试判断 ABC 的形状 解： 设方程的两根为 x 1 ， x 2 ，由韦达定理得 x 1 x 2 b c os A ， x 1 x 2 a c os B . 由题意得 b c os A a c os B ， 由正弦定理得 sin B c os A sin A c os B ， 即 sin A c os B c os A sin B 0. sin( A B ) 0. 在 ABC 中， A ， B 为其内角， A B ，所以 A B . 即 ABC 为等腰三角形 易错点：利用正弦定理解三角形易丢解或多解 用正弦定理解出一个角的正弦值，可得出对应的两个 角，此时可能有一个是不符合题意的，也有可能出现漏解 的情况 错题展示 在 ABC 中，已知 b 3 ， c 3 3 ， B 30 ，求 a . 自我纠错 错解 由 b sin B c sin C ，得 sin C 3 2 ， 所以 C 60 ，所以 A 90 . 由 a sin A b sin B ，得 a 6. 错解分析 产生错解的主要原因是没有考虑到 C 的范 围，导致丢解 正解 由 b sin B c sin C ，得 sin C 3 2 . 因为 b B 3 0 ，则 C 60 或 120 . 当 C 60 时， A 90 ；当 C 120 时， A 30 . 再利用正弦定理 a sin A b sin B ，解得 a 6 或 a 3. 1 对正弦定理的理解 ( 1) 三角形中各边的长和它所对角的正弦的比值为三角 形外接圆的直径 2 R . 即 a sin A b sin B c sin C 2 R . 思悟升华 (2) 结合 (1) 的结论由正弦定理可得如下变形： a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c 2 R sin C . sin A a 2 R ， sin B b 2 R ， sin C c 2 R . 由变形 可以实现三角形中边与角之间的相互转 化这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功 能 2 解斜三角形的 类型 (1) 已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一 解 (2) 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有 两解、一解或无解在 ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的情 况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形 关系 式 a b s in A a b b s in A a b a b a b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 3、利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三 角函数中的一些公式，可以对某些三角关系式或恒 等式就行恒等变形，要充分挖掘题目中的隐含条件， 通过正弦定理转化为边的关系或角的关系，看是否 满足勾股定理、两边相等或量角相等、三边相等或 三角相等，从而确定三角形的形状。 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形 状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式 a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC（ R为 ABC的 外接圆半径），边角互化，再利用三角函数就行恒 等变换，或利用因式分解就行恒等变换，然后利用 角或边的解的情况，给予判断 随 能 知 堂 训 练 知识反馈 技能检验 1、有关正弦定理的叙述： 正弦定理只使用于锐角三角形 正弦定理不是用于直角三角形 在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值； 在 ABC中， sinA： sinB： sinC=a： b： c 其中正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由正弦定理的概念知 正确 答案： B 2. 在 ABC 中 若 6 0 4 5 3 2 , A C = ( ) 3 A . 4 3 B . 2 3 C . 3 D . 2 ， A ， B ， BC= ? ? AC BC 解 析 ： 由 正 弦 定 理 可 知 ， = ， sinB sinA 2 32 BCsinB 2 所 以 AC= = =2 3 sinA 3 2 答 案 ： B 3、在 ABC中， sinA=sinC,则 ABC是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解析：由 sinA=sinC知，在 ABC中有 A=C. 答案： B 4、在 ABC中，三个内角 A,B,C的对边分别为 a， b， c，已知 A： B： C=1： 2： 3，则 a： b： c . A B C A B C A B C 1 : 2 : 3 A B = C =， ， ， 由 正 弦 定 理 6 3 2 1 3 2 的 变 形 ， 得 a ： b ： c=sinA=sinB=sinC= : : 222 = 1 : 3 : 2 答 案 ：1 : 3 : 2 解 析 ： 因 为 在 中 ， ， 且 ： ： ， 所 以 p ppp + + = = = 2225 、 在 中 ， si n A+ si n B= si n C ， 则 C= .ABC 222 解 析 ： 由 正 弦 定 理 得 a +b =c ， 90 答 案 ： 90 C= 6、在 ABC中， A=60 ， B=45 ， c=1，求此三角形 的最小边 . 解 ： C = 1 8 0 - 6 0 - 4 5 = 7 5 ， 由 大 角 对 大 边 知 角 B 所 对 的 边 b 最 小 ， bc 由 正 弦 定 理 ， 得 = ， s i n B s i n C c s i n B s i n 4 5 b = = = 3 - 1 . s i n C s i n 7 5 即 此 三 角 形 的 最 小 边 b 为 3 - 1 . 谢谢！