三篇近世代数

第三篇第三篇 近世代数近世代数 代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。第八章第八章 代数系统代数系统 1代数系统中的基本概念 （1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S,）。（2）子代数：代数系统（S,），（S，）满足：SS 如 a,bS，ab=a b 则称（S，）为（S,）的子代数。（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b）ca （b c）2）交换律：a bb a 3）分配律：a （bc）（a b）（a c）4）单位元：a 1a 5）逆元：a a11 6）零元：a 00 7）生成元 （4）同构：（X，）与（Y，）存在一一对应函数g XY使得如x1,x2X，则有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此时则称（X,）与（Y，）同构。（5）同态：（X,）与（Y，）存在函数gXY使得如x1,x2X，则有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此时则称（X，）与（Y，）同态。（6）代数系统的构成（一个二元运算 ）两个运算有逆元两个运算有单位元代数系统代数系统结合律 半群半群 单位元、逆元 群群循环群循环群可换群可换群变换群变换群子群子群循环半群循环半群单元半群单元半群可换半群可换半群整环整环域域商环商环理想理想有补格有补格有界格有界格布尔代数布尔代数正规子群、商群正规子群、商群特殊环特殊子环两个运算的单位元、逆元 （两个二元运算：,)两个运算的结合律、交换律、吸收律 格格 两个运算的分配律 分配格分配格单位元，无零因子（两个二元运算：,)可换群,半群,对分配群 环环 交换律 可换环可换环 单位元,逆元交换律单位元生成元交换律生成元子集上的群特殊群特殊群第九章第九章 群论群论 （7）半群代数系统满足交换律 （8）单元半群半群存在单位元 （9）群半群存在单位元与逆元 （10）可换群群满足交换律 （11）变换群集合A上所有的变换构成的集合E（A），对于复合变换所构成的代数系统（E（A）,）是一个群，称变换群。（12）循环群群有生成元。（13）有限群：群（S,）中S为有限集。（14）子群：群（G，）上G的子集所构成的群。（15）正规子群：（H，）是群（G，）的子群，如对aG都有：aH=Ha则称（H，）是（G，）的正规子群。（16）陪集：H是G的子群，Haha|hH,aH=ah|hH 分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。（17）商群：H是G的正规子群，对Ha，HbG/H，二元运算（Ha)(Hb)Hab构成群，则称H是G的商群。（18）单元半群性质：单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。循环单元半群是可换单元半群。可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。半群的子代数也是半群。循环半群是可换半群。（19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x=b（或x a=b）对x存在唯一解；群的消去律：a b=a c（或b a=c a）必有b=c；任一群必与变换群同构；与一个群同构或满同态的代数系统必为群；一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；有限群必与置换群同构；循环群要么与（I,）同构，要么与（Zm，m）同构；一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,bH 则a bH,aH 则a1 H；一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b H 则a b1 H；一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定理）；f是群（G,）与（G，）的满同态，K是f的核，则必有：（G/k,）与（G，）同构；第十章第十章 环论环论 （20）环：（R，,），对的可换群，对 的半群，对的分配律；（21）理想：（D，,），环（R，,）的子环，满足：aR,bD，必有：a bD,b aD；（22）整环：环（R，,）中，运算 有单位元，无零因子；（23）域：环（P，,）中，运算 交换律，有单位元，逆元；（24）环的基本理论 环的基本运算性质：a 0=0 a=0；a （b）=（a）b=（a b）(a)(b)a b 环中无零因子 环满足消去律；环中子系统S是子环的充要条件是as 则必有a1S。（25）域的基本理论 1）域是整环；2）有限整环必是域。第十一章第十一章 格与布尔代数格与布尔代数 （26）格：（P，,）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律；（27）布尔代数：格（B，,）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。（28）格的基本理论 1）一个偏序格必是一个代数格，反之亦然；2）格的运算性质。（29）布尔代数的基本理论 布尔代数（B，）满足：（对与 ）零一律