《函数与极坐标》PPT课件.ppt

第一节 函数与 极坐标 一、区间和邻域 二、函数 三、初等函数 四、函数的性质 五、极坐标 一、区间和邻域 设实数 a 和 b，取 a b, 数集 x | a x b, 称为 开区间 ，记（ a， b），即 （ a， b） = x | a x b. 数集 x | axb 称为 闭区间 ，记 a， b，即 a， b=x | axb. 从数轴 上看，这些有限区间是长度为有限的线段 . 类似地 a， b)=x | ax b， (a， b=x | a xb， 称为半开半闭区间 . 以上区间都称为有限区间，区间长度为 b a. 此外还有所谓无限区间 , 引进记号 + (读作正无穷大 )和 -(读作负无穷大 ), 例如 a， +) = x | ax, (-， b) = x | x b. 全体实数的集合 R也可记作 (, +), 它也是无穷区间 . 设 是任一正数 , 则开区间 (a , b )称为点 a 的 邻域，记为 U(a, ) =x | |xa| . 点集 x | 0 |xa| 称为点 a 的去心 邻域 , 如图 , 记作 x | 0 |xa| xa aa 在平面直角坐标系下点集 二、函数 定义 1 设 D是 R的非空子集，则从 D到 R的对应关系 f 称为定义在 D上的函数，记为 y = f (x)， x D. 其中 x称为自变量， y称为因变量 , D称为函数 f 的定义域， 记为 Df .集合 Rf = y | y =f (x)， x D 为函数 f 的值域 . (x， y)| y =f (x)， x D 称为函数 y =f (x)， x D的图像 x y O ( , )xy x y ()y f x 例 1 求函数 的定义域，值域，并画出其 图像 .证明数列 解 定义域 1 x2 0， 即 D = 1, 1. 值域 Rf = y |y0. 图像为半圆 (如图 ) 21 xy x y O 11 例 2 绝对值函数 定义域 D = (， + ). 值域 Rf = 0， +， 图像如图 . 0, | | 0 0 , 0, xx y x x xx ， ， ， x y O 例 3 符号函数 图像如图 . .01 00 01 s g n x x x xy ， ， ， x y O 1 1 例 4 取整函数 y = x， 表示不超过 x的最大整数 . 图像如图 . x y O 1 2 1 2 1 如 1.25 = 1， 3.5 = 4， 1 = 1. 从例 2到例 4看到，有时一个函数要用几个式子来表示 . 这种在自变量的不同变化范围中，对应关系用几个不同式 子表示的函数，称为 分段函数 . 三、初等函数 1. 基本初等函数 . 初等数学对下面 六类函数的定义域、值域及函数的性 态进行了讨论： 常数函数 y=C (C是常数 )； 幂函数 y= xa (a R); 指数函数 y= ax (a 0，且 a1); 对数函数 y= logax ( a 0，且 a1); 三角函数 y= sinx， y= cosx， y= tanx， y= cotx； 反三角函数 y= arcsinx， y= arccosx， y= arctanx. 这 六类函数统称为 基本初等函数 . 2. 反函数 在函数定义中，如果 f 是 D到 R的一一映射，则它的 逆映射 f -1称为函数的反函数，记为 x = f -1(y). 显然 f 1的定 义域为 Rf，值域为 D. 例如，函数 y= x3， x R是一一映射，所以它的反函 数存在，其反函数为 习惯上写为 y R. 31yx 3 1 xy x R. 一般地 ， y = f (x)， x D的反函数记成 y = f -1(x)， x f (D). 把函数 y = f (x)和它的反函数 y = f -1(x)的图像画 在同一坐标平面上 ， 这两个图像关于直线是对称的 (如图 ). x y o yx()y f x 1 ()y f x 函数 g 在 D上的值域 g(D) 必须含在 f 的定义域内，即 g (D)Df. 否则，不能构成复合函数 . 3. 复合函数 设函数 y = f (u)的定义域为 D1，函数 u=g (x)在 D上有 定义，且 g(D) D1，则由下式确定的函数 y = f g (x)， x D 函数 g与函数 f 能构成复合函数的条件是 : 称为由函数 y = f (u)和函数 u = g (x)构成的 复合函数 ，它 的定义域为 D，变量 u称为中间变量 . 两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫 函数的复 合运算 . 复合函数 y= arcsin(x2-1) 的定义域为 例 5 函数 y = arcsin(x2 1)可以看成是函数 y = f (u) = arcsinu和 u=g (x)= x2 1 y = f (u)的定义域 U0=u | |u|1, u = g (x) 的定义域 D=x | x + ， 复合而成的函数 . | 2 2xx 4. 四则运算 设函数 f (x), g(x)的定义域分别为 D1, D2, 记 D= D1D2, 且 D (是空集 ), 在 D上 , 通过加、减、乘、 除四则运算可定义新的函数 f (x) g (x) f (x)g (x) (g (x)0). )( )( xg xf 5. 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复 合运算得到的可用一个式子表示的函数称为 初等函数 . 例如， 等都是初等函数 . 2 ,y a x b x c 1sin ,y x 2 ,xye 四、函数的性质 设函数 f (x)的定义域为 D. 如果存在数 M1，使得对任 一 x D都有 则称函数 f (x)在 D上有上界， M1称为函数 f (x)在 D上的一 个上界 . 如果存在数 M2，使得对任一 x D都有 f (x)M1 f (x)M2 则称函数 f (x)在 D上有下界， M2称为函数 f (x)在 D上的一 个下界 . 如果存在数 M，使得对任一 x D都有 f (x)|M| 则称函数 f (x)在 D上有界 . 如果这样的 M不存在，就称函 数 f (x)在 D上无界 . y=ex在 (-, +)上无界，如定义域取有限区间， 则它也是有界的 . 例如 y=sinx在 (-， +)上有界； 2. 单调性 设函数 f (x)的定义域为 D，如果对于 D上的任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有 则称函数 f (x)在区间 D上是单调增加的； 如果恒有 f (x1) f (x2) f (x1) f (x2) 则称函数 f (x)在区间 D上是单调减少的 . 3. 奇偶性 设函数 f (x)的定义域为 D关于原点对称 . 如果对于任意 x D，都有 则称函数 f (x)为偶函数； 如果对于任意 x D，都有 f (x) = f (x) f (x) = f (x) 则称函数 f (x)为奇函数 . 偶函数的图像关于 y轴对称；奇函数的图像关于原点 轴对称 . 则称 f (x)为周期函数， T 称为 f (x)的周期，通常 说周期函数的周期是指最小正周期 . 4. 周期性 设函数 f (x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 T，使得 对于任意 x D有（ x T） D，且 恒成立， f (T+x) = f (x) 例如，函数 sinx， cosx都是以 2为周期的周期函数； 函数 tanx是以 为周期的周期函数 . 其中 r表示点 P到极点 O的距离 , 表示射线 OP与极轴正向的夹角 .这里 五、极坐标 在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称 为极坐标系，其中定点称为极点，定轴称为极轴 .如图 坐标系中的点 P 用有序数 (r , )表示 . r0, 0 2. 若取极点作为原点，极轴作为 x轴建立直角坐标系， 这样得到极坐标与直角坐标的关系： 或 (2) x = r cos， y = r sin (1) 建立 r 与 关系的等式称为极坐标方程，如 r =1， 表示圆心在极点，半径为 1的圆 . 22 , a r c t a n .yr x y x 利用式 (1)、 (2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进 行互化 . r2 = 2rcos, 例 6 将极坐标方程 r =2cos 解 方程两边同乘以 r 得 化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线 . 则 x2 + y2 = 2x (x-1)2 + y2 = 1, 所以它表示圆心为 (1,0)，半径为 1的圆 . r = a(1 + cos), 下面给几个特殊的极坐标方程： (1) 心形线 (外摆线的一种 )如图 极坐标方程为 化为直角方程为 2 2 2 2 .x y ax a x y x y a r2 = a2cos2 下面给几个特殊的极坐标方程： (2) 双纽线 , 如图 极坐标方程为 化为直角方程为 (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2) a y o x 4 4 r = a 下面给几个特殊的极坐标方程： (3) 阿基米德螺线 , 如图 极坐标方程为 x a2 y o 小结 (1) 函数 的定义； (2) 函数的基本特性； (3) 极坐标 .