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第八章整式的加减 整式的加减 温习：去括号法则： （ 1） 括号前是“ +”号 ,把括号和它前面 的“ +”号去掉 ,括号里各项都 不变号 ; （ 2） 括号前是“ -”号 ,把括号和它前面 的“ -”号去掉 ,括号里各项都 改变符号 ; 应该注意四点： (1)代数式中出现乘号，通常写作“ 或者省略不写 (2)数字与字母相乘时，数字写在字母前面 (3)除法运算写成分数形式 (4)当表示和或差而后面有单位时，代数式应 加括号 用代数式表示乙数： (1)乙数比 x大 5； (2)乙数比 x的 2倍小 3； (3)乙数比 x的倒数小 7； (4)乙数比 x大 16% 1、 温度由 toc下降 5oc后是 oc。 2、 买一个篮球需要 x元，买一个排球需 要 y 元买一 个足球需要 z元，买 3个篮球、 5个排球、 2个足球共需要 元。 3、 如图三角尺的面积为 ； 4、 如图是一所住宅区的建筑平面图，这所 住宅的建筑面积是 。 3x+5y+2z x2+2x+18 t-5 2 2 1 rab 回顾 思考 (1)单项式 是由数与字母的乘积组成的代数式； 单独的一个数或字母也是单项式； 单项式的数字因数叫做单项式的 系数 ； 单项式中所有字母的 指数的和 叫做单项式的 次数 ，而 且 次数只与字母有关 。 (2)多项式 是建立在单项式概念基础上，几个 单项式的和 就是 多项式 ； 每个单项式是该多项式的一个 项； 每项包括 它前面的 符号 ，这点一定要注意。 组成多项式的每个单项式的次数是该多项式各项的 次 数 ； “ 几次项 ” 中 “ 次 ” 就是指这个 次数 ； 多项式的 次数 ，是指示最高次项发 次数 。 (3) 单项式 和 多项式 是统称为 整式 。 根据加法的交换律和结合律，可以把一个多项式的各项 重新排列，移动多项式的项时，需连同 项的符号 一起移 动，这样的移动 并没有改变项的符号和多项式的值 。 把一个多项式按某个字母的 指数从大到小的顺序 排列 起来叫做把该多项式按这个字母的 降幂排列 ； 把一个多项式按某个字母的 指数从小到大的顺序 排列 起来叫做把该多项式按这个字母的 升幂排列。 排列时，一定要看清楚是按哪个字母，进行什么样的 排列（升幂或降幂） 把多项式 x2- x4+2- 5x 按 x升幂排列，然后再 按 x降幂排列： 一试身手 - x4+x2-5x+2 2 - 5x+x2- x4 升幂排列 降幂排列 例 评析：对含有两个或两个以上字母的多项式重新排列，先要 确定是按哪个字母升（降）幂排列，再将 常数项或不含这个 字母的项 按照 升幂 排在 第一项 ， 降幂 排在 最后一项 。 (1)按 x的升幂排列； (2)按 y的降幂排列。 按下列要求排列将多项式 7232 32244 yxyxyxxy 解： (1)按 x的升幂排列： (2)按 y的降幂排列： 43224 2 3 27 xyxyxxyy 7232 43224 xxyyxyxy 某中学合唱团出场时第一排站了 n名同学，从第二排起 每一排比前一排多 1人，一共站了四排，则合唱团一共 有多少名学生？ 想一想 ,做一做 一 、 温故知新 、 引入课题 容易知道：第二排的人数为 n+1 第三排的人数为 n+2 第四排的人数为 n+3 因而合唱团的总人数为： n+(n+1)+(n+2)+(n+3) 怎样进行这个整式的加减呢？ )3()2()1( nnnn解： 列代数式 321 nnnn . 去括号 )321()( nnnn . 找同类项 64 n . 合并同类项 （ 1）如果有括号，那么先去括号； （ 2）如果有同类项，再合并同类项 把这个式子进一步的化简，实际上就是进行 整式的加减运算 整式加减的运算步骤： 先去括号，再合并同类项 哦，明白啦！ 二 、 得出法则 ， 揭示内涵 分析 ：第（ 1）题求多项式 2x-3y与 5x+4y的和 第 （ 2） 题求多项式 8a-7b与 4a-5b的差 （ 1）（ 2x-3y） + （ 5x+4y） （ 2）（ 8a-7b） - （ 4a-5b） 例 6 计算： 解 ： （ 1）（ 2x-3y） + （ 5x+4y） = 2x-3y+ 5x+4y =7x+y （ 2）（ 8a-7b） - （ 4a-5b） = 8a-7b- 4a+5b =4a-2b 一个最简的整式中不应再有同类项 但合并同类项之前可能含有括号。 因此，整式加减运算的过程与步骤， 包含以下两个运算： 八字诀 去括号 、 合并同类项 活动二： 例 7 一种笔记本的单价是 x（元），圆珠笔的单价 是 y（元），小红买这种笔记本 3本，买圆珠笔 2枝； 小明买这种笔记本 4个，买圆珠笔 3枝，买这些笔记 本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？ 小红买 3本笔记本，花去 3x元， 2支圆珠笔花去 2y元， 小 红共花去（ ）元；小明买 4本笔记本，花去 4x元， 3枝圆珠笔花去 3y元，小明共花去（ ）元， 小红和小明一共花去 （ 3x+2y） +（ 4x+3y） =3x+2y+4x+3y =7x+5y（元） 方法一 思考 ：还能用其他的方法来知道“小红和小明共花费多少 钱吗？” 3x+2y 4x+3y 方法二：小红和小明买笔记本共花去（ ）元，买圆珠笔共 花去（ ）元 小红和小明买笔记本和圆珠笔共花去 （ 3x+4x） +（ 2y+3y） =7x+5y（元） 问题： 一种笔记本的单价是 x（元），圆珠笔的单价是 y （元），小红买这种笔记本 3本，买圆珠笔 2枝；小明买 这种笔记本 4个，买圆珠笔 3枝 小红比小明少花多少？ 小红共用 （ 3x+2y）元 小明共用 （ 4x+3y）元 你还能根据划线部分的条件，提出不同的问题吗？ 试一试 总结一下：整式的加减运算在实际问题中是如何应用的 ? 1.根据题意把题目中的量用式子表示出来。 2。列式，再进行整式的加减运算。 3x+4x 2y+3y 学以致用 例 8 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位： cm） （ 1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？ 长 宽 高 小纸盒 a b C 大纸盒 1.5a 2b 2c 解：小纸盒的表面积是 （ ） cm 2 大纸盒的表面积是（ ） cm 2 （ 1） 做这两个纸盒共用料 （ 2ab+2bc+2ca） +（ 6ab+8bc+6ca） =2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca =8ab+10bc+8ca(cm ) 2 a b c 1.5a 2b 2c 2ab +2bc +2ca 6ab +8bc +6ca 例： 计算 : （ 2） 7（ p3 p2 p 1） 2（ p3 p） 解 : 7（ p3 p2 p 1） 2（ p3 p） 如果括号前有非 1 的数字因数， 则去掉括号后这个 数字因数要乘遍 括号内的每一项。 去括号要注意： 7p3 7p2 7p 7 2p3 2p 5p3 7p2 9p 7 课外例 1、求单项式 5x2y， 2x2y， 2xy2， 4x2y的 和 . 解 ： 5x2y+2x2y+2xy2+4x2y =（ 5x2y+2x2y+4x2y） +2xy2 = 11x2y+2xy2 运算的结果按某一字母的降幂排列 三 例题示范，初步运用 1.单项式的和 课外例 2、求单项式 5x2y， 2x2y， 2xy2 4x2y的 和 . 解： 5x2y + 2x2y + 2xy2 + 4x2y 运算的结果按某一字母的降幂排列 去括号 = 5x2y 2x2y 2xy2 +4x2y 结合同类项 =（ 5x2y 2x2y +4x2y） 2xy2 合并同类项 = 7x2y 2xy2 添括号 ( ( ) ) 2、 多项式的和 课外例 3、求 5x2y+ 2x2y与 2xy2 +4x2y的和 . 解 ： (5x2y+2x2y)+(2xy2+4x2y) = 11x2y+2xy2 = 5x2y+2x2y+2xy2+4x2y 课外例 4、求 5x2y- 2x2y与 -2xy2 + 4x2y的 和 . 解： (5x2y 2x2y)+( 2xy2+4x2y) 添括号 去括号 = 5x2y 2x2y 2xy2 +4x2y 结合同类项 = (5x2y 2x2y +4x2y) 2xy2 合并同类项 = 7x2y 2xy2 课外例 5.求整式 x2-7x-2与 -2x2+4x-1的差。 解：由题意得 (x2-7x-2)-(-2x2+4x-1) = x2-7x-2+2x2-4x+1 = 3x2-11x-1 注：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起 来，再用加减号连接。 整式加减的一般步骤： 1.如果遇到括号按去括号法则先去括号 . 2.结合同类项 . 3.合并同类项 运算的结果按某一字母的降幂排列 想一想：整式的加减的步骤是什么？ 1.若两个单项式的和是： 2x2+xy+3y2,一个加 式是 x2 xy， 求另一个加式 . 22 222 222 32x 32x 32x yxy xyxyxy xyxyxy 解： 分析 : 有题意得 ( 2x2+xy+3y2 ) (x2 xy) 四 、 分层练习 ， 形成能力 分析：被减式 =减式 +差 (3x2 6x+5)+(4x2+7x 6) 17 674563 674563x 2 22 22 xx xxxx xxx解： 3 已知： A=3xm+ym,B=2ym xm,C=5xm 7ym. 求： 1)A B C 2)2A 3C 解 ： (1) A B C =(3xm+ym) (2ym xm) (5xm 7ym) = 3xm+ym 2ym+xm 5xm +7ym = (3xm +xm 5xm)+(ym+7ym) = xm+6ym 解 : （ 2） 2A 3C = 2(3xm+ym) 3(5ym 7xm) = 6xm+2ym 15ym +21 = (6xm 15xm)+(2ym + 21ym ) = 9xm+23ym 注意： 几个整式相加减，通常 先用括号把 每一个整式括起来，再用加减号连接 ；然 后去括号，合并同类项。 （ 1）整式的加减实际上就是合并同类项； （ 2）一般步骤是先去括号，再合并同类项： （ 3）整式加减的结果还是整式。 随堂练习 某花店一枝黄色康乃 馨的价格是 x元 ，一枝红色 玫瑰的价格是 y 元 ， 一枝白色百合 花的价格是 z 元 ， 下面这三束鲜花的价格各是多少 ？ 这三 束鲜花的总价是多少元 ? 解：三束鲜花的总价是 : (3x+2y+z) + (2x+2y+3z) +(4x+3y+2z) = 9x+7y+6z . 3x+2y+z 2x+2y+3z 4x+3y+2z 活动三 例 9: 求 的值 其中 x=-2, y= 时 . )y31x23()y312 ( xx21 22 3 2 去括号 合并同类项 将式子化简 再代入数值进行 计算 例 若 -5a3bm+1与 8an+1b2是同类项，求 (m-n)100的值。 解：由同类项的定义知： m+1=2， n+1=3；解得 m=1， n=2 (m -n)100=(1-2)100=(-1)100=1 答：当 m=1， n=2时， (m-n)100=1。 评析：例 1要注意同类项概念的应用；例 2要注意几位 数的表示方法。如： 578=5 100+7 10+8。 例 如果一个两位数的个位数是十位数的 4倍，那么这 个两位数一定是 7的倍数。请说明理由。 解：设两位数的十位数字是 x，则它的个位数字是 4x。 这个两位数可表示为： 10 x+4x=14x， 14x是 7的倍数，故这个两位数是 7的倍数。 思考：计算 (1)-a2-a2-a2； (2)a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b2 例 求减去 -x3+2x2-3x-1的差为 -2x2+3x-2的多项式 评析：把一个代数式看成整体，添上括号。利用已 知减数和差，求被减数应该用加法运算。 解： (-x3+2x2-3x-1)+(-2x2+3x-2) =-x3+2x2-3x-1-2x2+3x-2=-x3-3 答：所求多项式为： -x3-3。 已知 a2+ab=-3， ab+b2=7，试求 a2+2ab+b2； a2- b2的值。 例 解： a2+2ab+b2=(a2+ab)+(ab+b2)=-3+7=4 a2-b2=(a2+ab)-(ab+b2)=-3-7=-10 评析：这是利用“整体代入”思想求值的一个典型 题目，关键是利用“拆项”后添加括号重新组合， 巧妙求解。 乙旅行团成人数为： 门票费用为 ： 元， 儿童的人数为： 门票费用为： 元 . 总和是 元 例题、一公园的成票价是 15元，儿童买半票，甲旅行 团有 x（名）成年人和 y （名）儿童；乙旅行团的成人 数是甲旅行团的 2倍，儿童数比甲旅行团的 2倍少 8人， 这两个旅行团的门票费用总和各是多少？ 解析：甲旅行团成人的门票费用为 元， 儿童的门票费用为： 元。 总和是 元 30 x 2x （ 2y-8） 7.5（ 2y-8） 30 x +7.5（ 2y-8） 即（ 30 x +15y-60） 元 15X 7 .5y (15x+7.5y) 本节课里我的收获是 整式加减的一般步骤： 1.有括号先去括号 2.同类项要合并
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