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3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thin-walled cylindrical Vessels) 1.实验前 （ 1）画纵向线 ,圆周线 ; （ 2）施加一对外力偶 . 一、应力分析 (Analysis of stress) 薄壁圆筒：壁厚 （ r0 圆筒的平均半径） 010 1 r dx x Me Me 2.实验后 （ 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动； （ 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （ 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 . 2 3.推论 (Inference) （ 1）横截面上无正应力，只 有切应力； （ 2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切 . dx 圆周各点处切应力的方向于圆周相切 , 且数值相等 , 近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化 . Me Me A B D C 此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式 . 4.推导公式 (Derivation of formula) () d d 2 AAA r r A r r T 22 rT 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布 , 与半径垂直 , 指向与扭矩的转向一致 . T x dy dx y z 二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem) 1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力 , 其方向于 y 轴平行 . 两侧面的内力元素 dy dz 大小相等 ,方向相反 ,将组成 一个力偶 . 由平衡方程 0 yF 其矩为 ( dy dz) dx x y dy z dx 2. 要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为 此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得 ( dy dz) dx 00 xz FM zyx d)dd( 3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem) 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在 , 且大小相 等 ,都指相（或背离）该两平面的交线 . 4.纯剪切单元体 (Element in pure shear) 单元体平面上只有切应力而无正应力 , 则称为纯剪切单元体 . Me Me l 式中 , r 为薄壁圆筒的外半经 . 三、剪切胡克定律 (Hookes law for shear) 由图所示的几何关系得到 薄壁圆筒的扭转试验发现 , 当外力偶 Me 在某一范围内时 , 与 Me （在数值上等于 T ）成正比 . l r 三个弹性常数的关系 T O 从 T 与 之间的线性关系 ,可推出 与 间 的线性关系 . 该式称为材料的 剪切胡克定律 (Hookes law for shear) G 剪切弹性模量 l r r T 22 G )1(2 EG O
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