高阶偏导数及泰勒公式

1 17 7高阶偏导数及泰勒公式高阶偏导数及泰勒公式).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏导数为设由于它们还是 x,y 的函数.因此,可继续讨论.),(),(的偏导数yxfyxfyx一、高阶偏导数一、高阶偏导数,.),(),(.),(则记还可偏导若内可偏导在区域设yxfyxfDyxfzyx xfyyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx,),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2称为 z=f(x,y)的二阶偏导数.),(),(为二阶混合偏导数称yxfyxfyxxy 类似,可得三阶,四阶,n 阶偏导数.则记可偏导若如,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz例例1.,3sin3322xzyxyxz求全部二阶偏导和设解解:,122xyxz.cos22yyxyz,2222yxz,42xyxyz.033xz,sin2222yxyz.42xyyxz.,122xyzyxz有中在例若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题问题:是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若 z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数,)(),(,0000022连续且它们在内存在的某邻域在XXUyxXxyfyxf则xyXfyxXf)()(0202定理定理1分析.按定义,),(),(lim),(0 xyxfyxxfyxfxx,),(),(lim),(0yyxgyyxgyxgyy),(yxfxy yxyxf),(,),(),(lim0yyxfyyxfxxyyy1lim0 xyyxfyyxxfx),(),(lim0 xyxfyxxfx),(),(lim0),(),(11limlim00yyxfyyxxfxyxy),(),(yxfyxxf),(,00yxfxy 故 ),(1limlim0000yyxxfyxxyf(x0,y0+y)f(x0+x,y0)+f(x0,y0)同理),(00yxfyx ),(1limlim0000yyxxfyxyxf(x0+x,y0)f(x0,y0+y)+f(x0,y0)证证:分别给 x,y 以改变量x,y,使(x0+x,y0+y),(x 0+x,y0)及(x0,y0+y)均在U(X0)内.记 A=f(x0+x,y0+y)f(x0+x,y0)f(x0,y0+y)f(x0,y0)(x)=f(x,y0+y)f(x,y0),有 A=(x0+x)(x0).)(,)(00存在在从而内存在在因XUfXUfxxy 即(x)在x0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.因A=(x0+x)(x0),(x)=f(x,y0+y)f(x,y0),A=(x0+1x)x,),(),(010010 xyxxfyyxxfxx.10,1其中再对变量 y 用拉格朗日中值定理.得.1,0 ,),(212010 yxyyxxfAxy另外,A=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0+y)f(x0+x,y0)f(x0,y0)记(y)=f(x0+x,y)f(x0,y),从而xyxxfyyxxfAxx),(),(010010A=(y0+y)(y0)(由拉格朗日中值定理)yyyxfyyxxfyy),(),(300300.1,0 ,),(433040yxyyxxfyxyyy)(30故),(),(30402010yyxxfyyxxfyxxy ,),(,.0,000有连续在因令yxffyxyxxy ),(),(0000yxfyxfyxxy yxyyxxfAxy),(2010yxyyxxfAyx),(30401.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注注2.若多元函数 f(X)在区域 D内有(直到)k 阶连续偏导.则记为 f(X)Ck(D).k为非负整数.若 f(x,y)Ck(D),则不论求导顺序如何,只要是对 x 求导 m 次,对 y 求导 k m 次,都可写成)(,kyxmkmkmkmfyxf或例例2.,.d)sin(d)(d),(),(2bayxbyxxayxuyxyxuu求常数处的全微分在任何点设解解:.sin ,2xbyxuayxuyx有均可导知,yxuu).(,sin1 ),(,连续连续xbuauyxxy yxxyuuyx 有在任何点从而),(,.sin1 axb即比较知 a=1,b=0.),(,:2为积分变量以积分由本题也可xayxux).(31 3ycaxyxu得).(ycaxuy从而.0,1sin baxbyxuy比较可得与例例3.解解:设 u=x+y+z,v=xyz,.,),(22zxwCfxyzzyxfw求设从而 w=f(u,v)是x,y,z,的复合函数.由链式法则.yzffxw 211).,(),(21xyzzyxfyzxyzzyxf注意注意：.,),(),(111的复合函数仍是zyxxyzzyxfvuff,21再求偏导时以及对 ff还要用链式法则来求.)(212fyzzzfzxw 11 zuf zvf12zfyzf y2221211f yfxyf yz1(21 f)22xyf).(.)(211222221211fff yf zxyfyzxyf ),(),(111xyzzyxfvuff),(),(222xyzzyxfvuff例例4.解解:.),(222yxwCfxyyxfw求设 2212xyfxyfxw.2221fxyfxy.,21求导时要用链式法则对它们的复合函数仍是注意yxffyfxyfxyfxyf xyxw2222112122xyfxf x212221211(xf )112xf 2xy221(xf)122xf 22312113221212fxyf yf yxfxf x .2112ff 其中yfxyfxyfxyf xyxw2222112122),(2xyyxfw 例例5.解解:(1).,tg),(2222xzezyxyxzzz求所确定由方程设zezyxzyxFtg),(22记由隐函数求导公式,zxFFxz,2xFx有从而,zexxzz2sec2.sec2zzezF(2)上式两端对 x 求偏导.此时右边的z看作 x 的的函数.y要看作常数.222)sec()tgsecsec2(2)sec(2zezzzzzexzezzxxzzxx 有zexxzz2sec22222)sec()tgsec2(2)sec(2zezzzexzezxzz322222)sec()tgsec2(4)sec(2zezzexzezzz例例6.设方程组解解:(1)先求一阶偏导.2.12222vuyxvuyx.,22xuxvxu求注意,u,v 看作 x,y 的函数.得022201xvvxuuxxvxu方程两边对x 求偏导.xvvuuvuxxxx1 ,即xvvuuvuxxxx1,11 uvvuDvxvxD 11 1,11 2xuxuD从而,uvxuxvuvvxDDxu ,1(2),uvxuxvuvvxxu从而,xuvvxxu222)()()(1(uvuvvxuvvxxx2)()()(1uvuvvxuvxuvxuvuvxu32)()2)()(2uvxvuvxuvxuv例例7.设u=f(x,y,z),y=x3,(x2,lny,z)=0.0,1xCfdxdu其中求解解:u=f(x,x3,z)(x2,3lnx,z)=0易见 z,u均 x 的函数,方程两边对 x 求导数.xxzffxfu 322131032321 xzxx得321232xxzx从而33212221323fxxfxfux和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念.我们只介绍二元函数的高阶微分.,.d),(d),(d,),(的函数仍是则可微设yxyyxfxyxfzyxfzyx若 dz 还可微,则记 d2z=d(dz),称为z 的二阶微分.,d1),(,1可微且仍存在阶微分的若一般zkyxfzk.),d(dd1阶微分的称为则记kzzzkk 二、高阶微分二、高阶微分下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式.设以 x,y 为自变量为自变量 的函数 z=f(x,y)Ck.由于x,y 为自变量,故dx=x,dy=y,与 x,y 的取值无关.yyxfxyxfzyxd),(d),(d 有固定x,y,(即将它们看作常数),求dz的微分.).(),(,.d,2二阶可微存在二阶微分则若即可微存在连续偏导时当易见yxfzCfzffyx且 d2z=d(dz)d),(d),(dyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyxfxyxfyxyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyyxfxyxfxyyxfxyxfyyyxxyxxdd),(d),(dd),(d),(2222222ddd2dyyzyxyxzxxz.,存在三阶微分存在连续偏导时当易见zfffyyxyxx 记zyyxxyyzxxzdddd.),(,3形式将更加繁杂但其存在三阶微分则即若yxfzCf引进记号.这相当于规定了 将字母 z 移到括号外 的方法。实际上，确定了一个映射。yyzxxzdd它把C1中的每一个z,通过上述运算,映成了dz.ddd ,1yyzxxzzCz即若记这个映射为g,yyzxxzzgddd(z).ddzyyxx则比较两端式子,可看出,.dd)(zyyxxzg.ddgyyxx就是我们的映射不过是用一个我们陌生的式子yyxxdd来代替字母 g 而已.gyyxxdd即,我们把这个映射称为一阶微分算子.zyyyxyxxxyyzyxyxzxxz22222222222222ddd2dddd2d .:2yxyxyx的乘积与形式上规定,222xxxx,222yyyy类似,记并规定:.2222yxyxyx,2yxabybxa.2222222axxaxa22222222ddd2d zd yyzyxyxzxxz则zyyxx2ddzyyyxyxxx2222222ddd2d.dd2为二阶微分算子称映射yyxx)d(ddd 2zzyyxx由于)(zgg故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次.只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子.dd的平方而已yyxx一般,若形式上规定.SLSLSSLLyxyx.)(SLSLSLSLSLSLyxbayxbyxaLLLxxzyyxxzkkdd d 则zyxyxCkiikiikikiiik0ddkiikiikikikyxyxzC0ddzyyxxCkiikiik0dd(1)当 z=f(x,y)Ck 时,z 有 k 阶微分.(2).dd 是一种运算符号kyyxx只有把它按上述规定,展开后,再将各项 乘以 z(即,将 z 补写在 k 后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.注注(3).dd 阶微分算子为称kyyxxk它本质上是一个映射.它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z.(4)若 x,y 不是自变量,dk z 一般不具有上述形式.1 18 8方向导数方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如图.,平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中xyyxoyx0 x0+xx0+xyx0y=f(x)一、方向导数的概念一、方向导数的概念xoyx0 x0+xx0+xyx0y=f(x)xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.又比如,z=f(x,y),偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000分别表示函数在点(x0,y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.如图xoyzx0(x0,y0)y),(),(0000yxfyyxfzy),(0yxfz),(00yyxyyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000特别表示在(x0,y0)处沿 y 轴正方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿 y 轴负方向的变化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而但在许多实际问题中,常需知道 f(X)在 X0 沿任何方向的变化率.比如,设 f(X)表示某物体内部点 X 处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进 f(X)在 X0 沿一给定方向的方向导数.把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即 f x(x0,y0)表示 y=y0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0yxzoz=f(x,y)M0X022:z=f(x0,y)即 f y(x0,y0)表示 x=x0 与 z=f(x,y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.x0T2如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,y0+y)MN设 z=f(X)=f(x,y)在点 X0=(x0,y0)的某邻域U(x0)内有定义.以 X0 为端点引射线 l,其单位方向向量为 e=(cos,cos),设X=(x0+x,y0+y)是 l 上另一点.xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,y0+y)MN定定义义若当 X 沿 l 趋于 X0 时,对应的函数改变量与线段X0X的长|X0X|的比值.|)()(00的极限存在XXXfXfX=(x0+x,y0+y)xoyzM0lX0=(x0,y0)MN则称它为 z=f(X)=f(x,y)在点 X0=(x0,y0)沿 l 的方向导数.),(,)(000lyxflXf记作.),(,)(000eyxfeXf或xoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+x,y0+y)lyxf),(00即.22yx其中|)()(lim000XXXfXfXX沿l,),(),(lim2200000yxyxfyyxxf沿l1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上,且 X 沿 l 趋向于X0.|)()(00XXXfXf的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0,y0)lX=(x0+x,y0+y)yx注注2.若 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)处偏导存在.则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,),0,0,(xy此时lyxf),(0022000000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,),0,0,(xy此时lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y(x0,y0),而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y(x0,y0).3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量为e=(cos,cos),从而 l 的参数式方程为x=x0+tcosy=y0+tcos t 0或(x,y)=(x0,y0)+t(cos,cos),而 X X0 就是 t 0+.tteXXXX|00且即 X=X0+te从而lXf)(0tXfteXft)()(lim00这正是教材中给出的定义式.|)()(lim000XXXfXfXX沿 l若 z=f(X)=f(x,y)在点 X0=(x0,y0)可微,则 z=f(X)在 X0沿任一方向e=(cos,cos)的方向导数存在.e为单位向量.且cos)(cos)()(000yXfxXfeXf)cos,(cos)(,)(00 yXfxXf=Jf(X0)e.(最后两式为数量积)二、方向导数的计算二、方向导数的计算定理定理4证证:如图xoyX0=(x0,y0)eyxlX0=(x0+x,y0+y)在射线 l 上取点X=(x0+x,y0+y)其中,X=(x,y)因向量X=X X0=X0 X/e,故 X=te,(t 0),X=X0+te,|X0 X|=|X|=t=X0+X由方向导数定义|)()(lim)(0000XXXfXfeXfXXtXfteXft)()(lim000看 f(X0+te)f(X0).沿 l因 f(X)在X0可微,知 z=f(X0+X)f(X0)=f(x0+x,y0+y)f(x0,y0)(022yxybxa由定理1|)(|0)()(00XyyXfxxXf=Jf(X0)X+0(|X|)上式对任何x,y 都成立.特别,当 X=X0+X 在射线 l 上时,当然成立.即,当 X0+X=X0+te 时,有f(X0+te)f(X0)=Jf (X0)(te)+0(|te|)=t(Jf (X0)e+0(t)除以 t 0,并令 t 0+,有 即 z=f(X0+X)f(X0)=Jf(X0)X+0(|X|)eXf)(0tXfteXft)()(lim000tteXJft)(0)(lim00=Jf (X0)e cos)(cos)(00yXfxXf即,若 u=f(x,y,z)在点 X0=(x0,y0,z0)可微,则 u 在该点处沿任何方向e=(cos,cos,cos)的方向导数存在eXf)(0=Jf (X0)e cos)(cos)(cos)(000zXfyXfxXf且公式可推广到三元函数中去.例例5.求 u=xyz 在点 X0=(1,1,1)处沿从该点到点 X1=(1,2,2)方向的方向导数.解解:(1)先求出这个方向上的单位向量 e.向量 X0X1=(0,1,1)从而与 X0X1 同向单位向量|e1010XXXX22 ,22 ,0(2)求 u 在 X0=(1,1,1)处偏导数.,yzxu,xzyu.xyzu(3)由公式得方向导数1)1,1,1()1,1,1()1,1,1(zuyuxu从而22 ,22 ,0)1 ,1 ,1()1,1,1(ef22 2221.若 z=f(X)=f(x,y)在区域D内存在一阶连续偏导.X0=(x0,y0)是 D 内一点.知 z 在 X0 沿任何方向e=(cos,cos)的方向导数.)(0存在eXf?)(,0取最大值取哪一个方向时当eXfe其中|e|=1.问问,注注eXJeXff)()(00因),(cos(|)(|00eXJeXJff),(cos(),(),(0200200eXJyxfyxffyx故.)(,1),(cos()1(00最大时当eXfeXJf),(),()(00000yxfyxfXJeyxf取与即当,)(,0最大同向时eXf最大值为|Jf(X0)|.函数沿Jf(X0)的方向增长最快.(2),cos(|jPruaaau由eXJeXff)()(00),(cos(|)(|00eXJXJff.)()(00上的投影在是知eXJeXff即(3)记 grad f(X)=Jf(X)=(f x(x,y),f y(x,y)称为 f(X)在点 X 处的梯度.2.设 z=f(X)=f(x,y),考察 z 在点 X0=(x0,y0)处连续;存在两偏导;沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.(1)(反之如何?)可微 连续,可微 存在两偏导,(反之不对)可微 沿任何方向的方向导数存在.(2)若 z=f(X)=f(x,y)在区域 D 内的两偏导不仅存在,而且连续,则 z 在 D内可微,进而在 D内连续,在 D内每点处沿任何方向 的方向导数存在.3.当 z=f(X)=f(x,y)在 X0=(x0,y0)可微时,沿 e=(cos,cos)的方向导数eXf)(0cos)(cos)(00yXfxXf.,0 .,轴正向夹角轴与为其中yxe该公式有另外的形式.记 为从 x 轴到 e 的转角(不一定在0,之间),则sin)(cos)(00yXfxXfeXf)(0