大学数学第一章36节

3 平面及其方程平面及其方程1.法向量法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.注注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.一、平面方程一、平面方程2.平面的点法式方程平面的点法式方程设平面 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=(x x0,y y0,z z0),得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程.(1)例例1:求过点(2,3,0)且以 n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.解解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即即:x 2y+3z 8=0 nM3M2M1解解:先找出该平面的法向量先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2 M1M3132643kji=14i+9j k例例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 M1M3M1M2，共面共面M1M，,0)(31211MMMMMM即即设平面设平面 过过不共线的三点不共线的三点M2(x 2,y 2,z 2),M3(x 3,y 3,z 3),M1(x 1,y 1,z 1),对于平面上任一点对于平面上任一点 M(x,y,z),.0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三点式方程平面的三点式方程.(2)设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR.000 cabazyax则则abcabzacybcx有有得得1czbyax当cba,非零时(3)1.定理定理1:任何任何x,y,z的一次方程的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都都表示平面表示平面,且此平面的一个法向量是且此平面的一个法向量是:n=(A,B,C)证证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点 ,且 法向量为 n=(A,B,C)的平面.)0,0,(0ADM注注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (4)称为平面的一般方程.例例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(2 3,4)2(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即即:2x 3y+4z 4=02.平面方程的几种特殊情形平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:A x+B y+C z=0Ax+By+Cz+D=0(2)平行于坐标轴的方程平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x 轴上的单位向量 i=(1,0,0)垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是于是:平行于平行于x 轴轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于平行于y 轴轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于平行于z 轴轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别特别:D=0时时,平面过坐标轴平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于坐标面的平面方程平行于平行于xOy 面面的平面方程是 Cz+D=0;平行于平行于xOz 面面的平面方程是 By+D=0;平行于平行于yOz 面面的平面方程是 Ax+D=0.例例4:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即即:y 3z=0 1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量 n1=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量 n2=(A2,B2,C2)1.定义定义1两平面的法向量的夹角两平面的法向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.二、两平面的夹角二、两平面的夹角,),(),(),(21212121两者中的锐角和应是的夹角与平面nnnnnn),cos(21nn|2121nnnn222222212121212121|CBACBACCBBAAcos所以1n1n22平面1与2 相互平行212121CCBBAA规定规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=02.例例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解解:设所求平面的一个法向量 n=(A,B,C)已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=(1,1,1)所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=(1,0,2)于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1+C 1=0 设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求 P0到这平面的距离d.在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则 P1P0=(x0 x1,y0 y1,z0 z1)过P0点作一法向量 n=(A,B,C)于是:01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA三、点到平面的距离三、点到平面的距离又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:222000CBADCzByAxd(5)例例6 6:求点 A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离13322110122211222d解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=(2,1,1)所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0M1(1,1,1),M2(0,1,1)已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那末,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L4 空间直线空间直线及其方程及其方程空间直线可看成是两个不平行平面 与 的交线12而而s 的坐标的坐标 m,n,p 称为直线称为直线L的一组的一组方向数方向数.sL1.定义定义1与空间直线与空间直线L平行的向量平行的向量 s=(m,n,p),称为该直线的称为该直线的方向向量方向向量.2.2.直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线已知直线L过过M0(x0,y0,z0)点点方向向量方向向量 s=(m,n,p)在在L上任取一点上任取一点M(x,y,z),有有M0 M/s.而而M0 M=(x x0,y y0,z z0)所以得比例式所以得比例式pzznyymxx000(2)称为空间直线的称为空间直线的对称式方程或点向式方程对称式方程或点向式方程.sM0LMtpzznyymxx000 令得得:x=x0+m ty=y0+n tz=z0+p t称为空间直线的称为空间直线的参数方程参数方程.(3)例例1:写出直线写出直线x+y+z+1=02x y+3z+4=0的对称式方程的对称式方程.解解:(1)先找出直线上的一点先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)令令 z0=0,代入方程组代入方程组,得得x+y+1=02x y+4=0解得解得:32 ,3500yx)0,32,35(0M所以所以,点点 在直线上在直线上.(2)再找直线的再找直线的方向向量方向向量 s.由于平面由于平面 1:x+y+z+1=0的法线向量的法线向量 n1=(1,1,1)平面平面 2:2x y+3z+4=0的法线向量的法线向量 n2=(2,1,3)所以所以,可取可取312111kji=4i j 3k于是于是,得直线的对称式方程得直线的对称式方程:3132435zyx21nns例例2:求通过点 A(2,3,4)与 B(4,1,3)的直线方程.所以,直线的对称式方程为142322zyx解解:直线的方向向量可取 AB=(2,2,1)s1s2已知直线已知直线L1,L2的方程的方程,:1111111pzznyymxxLs1=(m1,n1,p1),:2222222pzznyymxxLs2=(m2,n2,p2)定义定义2两直线的方向向量间两直线的方向向量间的夹角称为两直线的的夹角称为两直线的夹角夹角,常指常指锐角锐角.1.L1与与 L2的夹角的夹角 的余弦为的余弦为:cos|),cos(|21ss2222222121212121212121|pnmpnmppnnmmssss2.L1垂直于垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=03.L1平行于平行于 L2 .212121ppnnmm.1222:13411:21的夹角和求直线zyxLzyxL解解:直线直线L1,L2的方向向量的方向向量 s1=(1,4,1)s2=(2,2,1)有有:|2121ssss22)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|2222224 所以所以:cos|),cos(|21ss例例3:当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时,规定夹角规定夹角.2已知已知:直线的方向向量直线的方向向量 s=(m,n,p)平面的法向量平面的法向量 n=(A,B,C)那末那末,2)(ns,LLns称为称为L与平面与平面 的夹角的夹角.定义定义3直线直线L与它在平面与它在平面)20(上投影直线上投影直线L 的夹角的夹角,),cos(sn=sin 得(1)L与与 的夹角的夹角 的正弦为的正弦为:sin|),cos(|sn222222|pnmCBACpBnAmPCnBmA :即即即:Am+Bn+Cp=0|snsn(2)L与与 垂直垂直 s/n(3)L与与 平行平行 s 与与 n垂直垂直例例4.判定下列各组直线与平面的关系判定下列各组直线与平面的关系.3224:37423:)1(zyxzyxL和解解:L的方向向量的方向向量 s=(2,7,3)的法向量的法向量 n=(4,2,2)s n=(2)4+(7)(2)+3 (2)=0又又M0(3,4,0)在直线在直线 L上上,但不满足平面方程但不满足平面方程,所以所以L与与 平行平行,但不重合但不重合.81446:723:)2(zyxzyxL和解解:L的方向向量的方向向量 s=(3,2,7)的法向量的法向量 n=(6,4,14)L 与与 垂直垂直.3:431232:)3(zyxzyxL和解解:L的方向向量的方向向量 s=(3,1,4)的法向量的法向量 n=(1,1,1)s n=3 1+1 1+(4)1=0又又L上的点上的点 M0(2,2,3)满足平面方程满足平面方程,所以所以,L 与与 重重合合.1.点到直线的距离例例5.求点p0(1,2,1)到直线 141322:zyxl的距离d.p0slp1分析：分析：过 p0 作 l 的垂线，垂足为 p1,则 d=|p0 p1|关键：关键：求出 p1 的坐标方法：方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，则线段 p0 p1 与 l 垂直。p1即为垂足。slp1解解:(1)直线 l 的方向向量 s=(2,1,1)过 p0(1,2,1),以s为法向量作平面:2(x1)+(y2)+(z1)=0即:2x+y+z 5=0(2)求 l 与 的交点将直线 l 方程写出参数方程形式：x=2+2ty=3+tz=4+t,代入平面的方程：2(2+2t)+(3+t)+(4+t)5=0即 6t+6=0,t=1,交点 p1(0,2,3)520)1(|22210ppdp0(1,2,1)141322:zyxl2.平面束方程平面束方程设直线 l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)其中 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例，即1/2建立三元一次方程:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (3).)(为任意实数 l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0 (2).)(为任意实数:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (3)考查直线考查直线 l 与平面与平面 的关系：的关系：(1)直线 l 上的任何点p(x,y,z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。故：方程故：方程(3)表示通过直线表示通过直线 l 的平面，且对于不同的的平面，且对于不同的 值，方程值，方程(3)表示通过直线表示通过直线 l 的不同平面。的不同平面。(2)通过直线通过直线 l 的任何平面的任何平面(除除 2以外以外)都包含在方程都包含在方程(3)的一族平面内。的一族平面内。这是因为：对于直线 l 外任意一点p0(x0,y0,z0)若不在 2:A2x+B2y+C2z+D2=0 上令：202020210101010DzCyBxADzCyBxA l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)p0(x0,y0,z0)过直线 l 与点 p0 的平面为:0)()(2222202020210101011111DzCyBxADzCyBxADzCyBxADzCyBxA故：对于直线l,方程(3)包含了(除 2外的)过直线l的全体平面。.)(为任意实数:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (3)定义：对于直线定义：对于直线 l,通过通过 l 的平面的全体称为平面束。的平面的全体称为平面束。对于直线 l:1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)方程(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (3)称为 l 的平面束方程平面束方程(表示缺少一个平面 2的平面束)例例6:一平面通过直线 l:x+y z=0 x y+z 1=0和点p0(1,1,1)建立它的方程.解：解：过直线 l 的平面束方程为(x+y z)+(x y+z 1)=0 点p0(1,1,1)在平面上，代入方程，得3 2=0,23 所求平面为：(x+y z)+(x y+z 1)=0 23即：5x y+z 3=0 例例7 7.求直线 l:x+y 1=0,y+z+1=0.在平面 :2x+y+2z=0上的投影直线方程.解：设投影直线为l，则由l与l决定的平面与平面垂直。过l 的平面束方程为，0)1()1(zyyx.02)1(2 ,01)1(zyx即与平面 :2x+y+2z=0垂直的平面满足：.1 得代入平面束方程，得ll：,0)1(1zyyx.02 zx故:投影直线l:xz 2=0 2x+y+2z=0 即ll :2x+y+2z=05 空间空间曲面曲面.空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲面及其方程一、空间曲面及其方程1.定义定义1:若曲面若曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0有有如下关系如下关系:(1)S上任一点的坐标满上任一点的坐标满足方程足方程F(x,y,z)=0;(2)不在不在S上点的坐标都不上点的坐标都不满足方程满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo M0(1)球面球面考虑球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面.即:(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.M R特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.解解:原方程可改写为原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2+z2 =5故故:原方程表示球心在原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为半径为 的球面的球面.5例例1:方程方程 x2+y2+z2 2x+4y=0 表表示怎样的曲面示怎样的曲面?xyzo(2)柱面柱面:例如例如:考虑方程考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面所表示的曲面.在在xoy面上面上,x2+y2=R2 表示表示以原点以原点O为圆心为圆心,半径为半径为R的圆的圆.xoy面上的圆面上的圆 x2+y2=R2 叫做柱面的叫做柱面的准线准线.平行于平行于 z 轴的直线轴的直线 L 叫做柱面的叫做柱面的母线母线.曲面可以看作是由平行于曲面可以看作是由平行于 z 轴轴的直线的直线L沿沿xoy面上的圆面上的圆x2+y2=R2 移动而形成移动而形成,称该曲面为称该曲面为圆柱面圆柱面.olM(x,y,0)定曲线定曲线C叫做柱面的叫做柱面的准线准线.动直线动直线 L 叫做柱面的叫做柱面的母线母线.定义定义2平行于平行于定直线定直线并沿并沿定曲线定曲线C移动移动直线直线 L 形成的轨迹叫做形成的轨迹叫做柱面柱面.xyzoolM(x,y,0)(1)母线母线平行于平行于 z 轴的柱面轴的柱面,(2)它的它的准线准线是是 xoy面上的抛物线面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做该柱面叫做抛物柱面抛物柱面.oxzyy2=2x例例2:方程方程 y2=2x 表示表示:例3:方程方程 x y=0表示表示.xy=0zxyo(1)母线母线平行于平行于 z 轴的柱面轴的柱面,(2)它的它的准线准线是是 xoy面上的直线面上的直线 x y=0它是过它是过z轴的平面轴的平面母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程方程 F(x,y)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,2 方程方程 F(x,z)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面,3 方程方程 F(y,z)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面,准线为准线为xoy面上的曲线面上的曲线 C:F(x,y)=0.z=0准线为准线为xoz面上的曲线面上的曲线 C:F(x,z)=0.=0y.C:=0准线为准线为yoz面上的曲线为面上的曲线为F(y,z)=0 x(3)旋转曲面旋转曲面yxzooC定义定义3以一条平面曲线以一条平面曲线 C 绕其平面上的一条绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做直线旋转一周所成的曲面叫做旋转旋转 曲面曲面,这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.例如例如:已知yoz面上一条曲线面上一条曲线C,方程为 f(y,z)=0,曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面旋转曲面.设M0(0,y0,z0)是C上任意一点,则有f(y0,z 0)=0当C绕 z 轴旋转而M0随之转到M(x,y,z)时,有|0220yyxzz220yxy将z0=z,代入方程 f(y0,z0)=0,得0),(22zyxfyxozM0(0,y0,z0)MC旋转曲面的方程:例例4:求直线 z=a y 绕绕 z 轴轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解解:将将 y 用用 代入直代入直线方程线方程,得22yx)(22yxaz平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(2)x y zo S1S2C二、空间曲线及其方程二、空间曲线及其方程 x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5:柱面 x 2+y 2=1与平面x+y+z=2的交线是一个圆,它的一般方程是将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(3)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做螺旋线螺旋线,试建立其参数方程.解解:取时间t为参数,设当t=0时,动 点 位 于 x 轴 上 的 一 点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b .vb 这里当 从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当 =2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距螺距.设空间曲线设空间曲线C的一般方程的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(4)由方程组由方程组(4)消去消去z后得方程后得方程 H(x,y)=0 (5)方程方程(5)表示一个母线平行于表示一个母线平行于z 轴的柱面轴的柱面,曲线曲线 C 一定在柱面上一定在柱面上.xyzooC空间曲线空间曲线 C 在在 x O y 面上的面上的曲线曲线必定包含于必定包含于:投影投影H(x,y)=0z=0注注:同理可得曲线在同理可得曲线在yOz面或面或xOz面上的面上的投影曲线方程投影曲线方程.例例7:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解解:联立两个方程消去 z,得01)21(4222zyx1)21(4222yx这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为设一个立体由上半球面 和锥面224yxz)(322yxz所围成,求它在xoy面上的投影.解解:半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1例例8:研究方法研究方法是采用是采用平面截痕法平面截痕法.6 二次二次曲面的标准曲面的标准方程方程1.定义定义由由x,y,z的的二次方程二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面所表示的曲面,称为称为二次曲面二次曲面.其中其中a,b,i,j 为常数且为常数且a,b,不全为零不全为零.c,d,e,fzoxyO2 用平面用平面z=k去截割去截割(要求要求|k|c),得椭圆得椭圆kzckbyax2222221当当|k|c 时时,|k|越大越大,椭圆越小椭圆越小;当当|k|=c 时时,椭圆退缩成点椭圆退缩成点.(1)椭球面椭球面1 用平面用平面z=0去截割去截割,得椭圆得椭圆012222zbyax1222222Czbyax3 类似地类似地,依次用平面依次用平面x=0,平面平面 y=0截割截割,得椭圆得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别特别:当当a=b=c时时,方程方程x2+y2+z2=a2,表示表示球心在原点球心在原点o,半径为半径为a的的球面球面.(2)椭圆抛物面椭圆抛物面:zbyax22221 平面平面 z=k,(k 0)截割截割,截线截线是平面是平面 z=k上的椭圆上的椭圆.kzkbyax2222k=0时时,为一点为一点O(0,0,0);随着随着k增大增大,椭圆也增大椭圆也增大.zyxo2 用平面用平面 y=k去截割去截割,截线是抛物线截线是抛物线,2222kyzbkax.,022axzk为时当3 类似地，用平面类似地，用平面 x=k 去截割去截割,截线是抛物线截线是抛物线.kxzbyak2222.,022byzk为时当3.3.双曲抛物面双曲抛物面2222byaxzzxy4.4.单叶双曲面单叶双曲面1222222czbyax(a,b,c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为,12202222czbyax.0zz 椭圆以平行于xz面的平面 y=y0截曲面，所得截线方程为,12202222byczax.0yy 双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,12202222axczby.0 xx 双曲线5.5.双叶双曲面双叶双曲面1222222czbyax(a,b,c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为,12202222czbyax.0zz 双曲线以平行于xz面的平面 y=y0截曲面，所得截线方程为,12202222byczax.0yy 双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,12202222axczby.0 xx 椭圆0zxy