高中数学余弦定理ppt课件

直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：CBAabc1 1、角的关系：、角的关系：A+B+C=180A+B=C=90 2 2、边的关系：、边的关系：a2+b2=c23 3、边角关系：、边角关系：sinA=cosBsinB=cosAacbcCBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2 a2+b2 c2 a2+b2 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、b b不变，角不变，角C C进展变动进展变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2 c=AcbCBa AB c2=AB 2=AB AB AB=AC+CB AB AB=(AC+CB)(AC+CB)0 02 22 22 2 A AB B=A AC C+2 2 A AC C C CB B c co os s(1 18 80 0-C C)+C CB B证明：证明：2 22 22 2c c=a a+b b-2 2a ab bc co os sC C向量法向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2假设假设 ABC为恣意三角形，知角为恣意三角形，知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCaCabbaccos2222CBA同理可证：同理可证：2b=2a2c2bcBcos 2c=2a2b2Cab cos 格式二：逆用公式格式二：逆用公式cosa ba b bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点点垂直于垂直于CB的直线为的直线为y轴，建立如下图轴，建立如下图的坐标系，那么的坐标系，那么A、B、C三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：(cos,sin)A bC bC2 22 22 2c c=a a+b b-2 2a ab bc co os sC Cxy(,0)B a(0,0)C解析法解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时CBAabc 余弦定理作为勾股定理的推余弦定理作为勾股定理的推行，思索借助勾股定理来证明行，思索借助勾股定理来证明余弦定理。余弦定理。证明：在三角形证明：在三角形ABC中，知中，知AB=c,AC=b和和A,作作CDAB，那么，那么CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab 当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后类似，课后 本人完成。本人完成。D a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC他能用文字阐明吗？他能用文字阐明吗？CBAabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。CBAabc a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosCb2+c2-a22bc cosA=c2+a2-b22ca cosB=a2+b2-c22ab cosC=变形变形 余弦定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中能否依然成立？形中能否依然成立？cosC=a2+b2-c2 2abC=90 a2+b2=c2 cosA=b2+c2-a2 2bc cosB=c2+a2-b2 2cacosA=cos B=acbc问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推行定理是勾股定理的推行.问题问题2：公式的构造特征怎样？：公式的构造特征怎样？1轮换对称，简约优美轮换对称，简约优美;剖剖 析析 定定 理理2每个等式中有同一个三角形中的每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.方程思想方程思想 知两边及一边的对角时，我知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？来解这个三角形？如：知如：知b=4,c=,C=60b=4,c=,C=60求边求边a.a.2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B3 3知知a a、b b、c c三边，可以三边，可以求什么？求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA 222090cbaA 222090cbaA 剖剖 析析 定定 理理abcbaC2cos222P14P14例例3 3剖剖 析析 定定 理理4能否把式子 转化为角的关系式？Abccbacos2222 分析：分析：ARasin2:得得RCcBbAa2sinsinsin:由由正正弦弦定定理理BRbsin2 CRcsin2:cos2222并并化化简简得得代代入入Abccba ACBCBAcossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50.练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原 式式20sin 60 34 1知三边求三个角；知三边求三个角；2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a a+b bc cc c o o s s C C=-2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用：余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？2知两边和它们知两边和它们的夹角，求第三边的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.2 22 22 2-c c=a a+b b2 2a ab bc co os sC C2 22 22 2-a a=b b+c c2 2b bc cc co os sA A2 22 22 2-b b=a a+c c2 2a ac cc co os sB B剖剖 析析 定定 理理P14P14例例1 1、例、例2 2.,(),.182,126,63,(1).A BCCACBACBA B例二两地之间隔着水塘 如图 现选择另一点例二两地之间隔着水塘 如图 现选择另一点测得米米测得米米求两地间的距离 精确到 米求两地间的距离 精确到 米ACB222222.,(1),;(2),.ExABCCabcCabc 用余弦定理证明:在中用余弦定理证明:在中当为锐角时当为锐角时当为钝角时当为钝角时 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能处理哪些问题？中能处理哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 1、知、知ABC的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：无妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1 那么最大内角为A由余弦定理 cosA=12+22-()2221=-12 A=120假设知三边的比假设知三边的比是是 :2:1,又怎样求？又怎样求？2、知、知ABC中中AB=2、AC=3、A=，求，求BC的长。的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7BC=思索：思索：1在三角形在三角形ABC中，知中，知a=7,b=10,c=6,断断定三角形定三角形ABC的外形的外形分析：三角形分析：三角形ABC的外形是由大边的外形是由大边b所对的大角所对的大角B决议的。决议的。222(,)90 180cBba2在三角形在三角形ABC中，知中，知a=7,b=10,c=6,求三角形求三角形ABC的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出只需先求出cosC(cosA或或cosB),然后求出然后求出 sinC(sinA或或 sinB代入面积公式即可。代入面积公式即可。1212122.2.余弦定理余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222222 22 22 2b b+c c-a ac co os sA A=，2 2b bc c2 22 22 2c c+a a-b bc co os sB B=，2 2c ca a2 22 22 2a a+b b-c cc co os sC C=2 2a ab b3.3.由余弦定理知由余弦定理知1.1.证明定理证明定理:课堂小结课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法1知三边求三个角；知三边求三个角；2 22 22 2b b+c ca ac c o o s s A A=-2 2 b b c c2 22 22 2a a+c cb bc c o o s s B B=-2 2 a a c c2 22 22 2a a+b bc cc c o o s s C C=-2 2 a a b b2知两边和它们知两边和它们的夹角，求第三边的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用3判别三角形的外形，求三角形的面积判别三角形的外形，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形作业布置作业布置 P16-17 1,5,6,10例例4 4 在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以5km/h5km/h速度向东流。一渡速度向东流。一渡船在江南岸的船在江南岸的A A码头出发，预定要在码头出发，预定要在0.1h0.1h后到达江北后到达江北岸码头如图。设岸码头如图。设ANAN为正北方向，知为正北方向，知B B码头在码头在A A码码头的北偏东头的北偏东15o15o，并与，并与A A码头相距码头相距1.2km.1.2km.该渡船应按该渡船应按什么方向航行？速度是多少什么方向航行？速度是多少 千米千米/小时？角度准确小时？角度准确到到0.1o0.1o，速度准确到，速度准确到0.1km/h)0.1km/h)ADNBC15 1.25 0.1,1.2(),5 0.1 0.5(),.ACACABACBDABkm ACkmAD 解解：如如图图，取取方方向向为为水水流流方方向向以以为为一一边边、为为对对角角线线作作平平行行四四边边形形其其中中船船按按方方向向开开出出222,1.20.52 1.2 0.5cos(9015)1.38,1.17().,1.170.111.7(/).ABCBCADBCkmkm h 在中由余弦定理 得在中由余弦定理 得所以所以因此 船的航行速度为因此 船的航行速度为ADNBC15,sin0.5sin75sin0.4128,1.1724.4.159.4.ABCACBACABCBCABCDANDABNABABC 在中由正弦定理,在中由正弦定理,得得所以所以所以所以9.411.7/.km h 答：渡船应按北偏西的方向,并以的速度航行答：渡船应按北偏西的方向,并以的速度航行5 ,sin2sincos,ABCABC例在中已知例在中已知试判断三角形的形状.试判断三角形的形状.222,sin,cos,sin2AaabcCBbab 解解：由由正正弦弦定定理理 得得222222,2.aabcbabbc 整整理理,得得0,0,.bcbcABC为等腰三角形为等腰三角形16222P6 12().2AMABCBCAMABACBC 例例如如图图是是中中边边上上的的中中线线，求求证证：222,180.,2cos.AMBAMCAMBABAMBMAM BM 证：设则证：设则在中由余弦定理 得在中由余弦定理 得222C,CC2Ccos(180).A MAAMMAM M 在在中中由由余余弦弦定定理理 得得22221cos(180)-cos,212,2BMMCBCABACAMBC 2221,2().2AMABACBC因此因此作业：作业：P17 2P17 2，8 8，11 11，12121 1、在、在ABCABC中，求证：中，求证：c=acosB+bcosAc=acosB+bcosA2 2、在、在ABCABC中，假设中，假设CB=7CB=7，AC=8AC=8，AB=9AB=9，求，求ABAB边的中线长。边的中线长。例2、在三角形ABC中，知a=2.730,b=3.696,c=,解这个三角形边长保管四个有效数字，角度准确到 28821分析：知两边和两边的夹角分析：知两边和两边的夹角解：解：2222cosabCbca222 2.730 3.696cos283.696822.730 4.297c 2222223.6964.2972.7302 3.696 4.2972cos0.7767cabbcA232A 3018058BA B 例 2：在ABC中，知a2.730，b3.696，C8228，解这个三角形.解：由 c2=a2b22abcosC,得 c4.297.b2c2a22bc cosA 0.7767，A392,B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299，A=39或141(舍).()ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.解法一：AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73,BC(-2-4)2+(8-1)2 =85,AC(6-4)2+(5-1)2=25,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.ABCOy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.解法二：A84.cosA .ABACAB AC(8)(2)3(4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A.分析三：A=+,tan=?tan=?tan(+)=解：在AOB中，|a b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos120 61,|a b|61.例 4：知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a的夹角.ababBbACa120O ab 21.COA即ab与a的夹角约为49.cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：知向量a、b夹角为120，且|a|5，|b|4，求|a b|、|ab|及ab与a的夹角.ababBbACa120O在OAC中，|a+b|2|a|2|b|2 2|a|b|cos60 21,例5 知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30,求C.解:BD2=AB2+AD2 2ABADcosA 2.60,cosC=0.30,DC2+BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思索：假设思索：假设A=,怎样用怎样用表表示四边形示四边形ABCD的面积？的面积？练习ABC中,1a4，b3，C60，那么c_；1314.62a=2,b=3,c=4,那么C=_.104.53a2，b4，C，那么A_.研讨题 总结解三角形的方法：知三角形边角中哪三个量，有独一解或多解或无解？分别用什么方法？（1）课本133P：3 4、练习与思索：、练习与思索：（2）在）在ABC中，若中，若2a=2b+2c+bc，则，则 A的度数的度数为（为（）A、030 B、060 C、0120 D、0150（3）在）在ABC中，已知中，已知 b=35，a=25，B=060，（I）求）求 A 的值；（的值；（ii）试求）试求 c 的值。的值。（4）在）在ABC中，已知中，已知 A=060，AB=c，BC=a，AC=b，且，且b、c恰 好 为 方 程恰 好 为 方 程01172xx的 两 根，则的 两 根，则a=。（5）在在ABC中中，已已 知知 AB=34，AC=32，A=060，试试判判断断ABC的的形形状状。在在 中，以下的三角关系式，在中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵敏地加以运用：要记熟并灵敏地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBABacAbcCabSsin21sin21sin21在在 中，中，ABCcbaCBA:,3:2:1:则在 中，知a+b+c)(a+b-c)=3ab 求角C=ABC在在 中，中，且且 的面积的面积为为 ，那么，那么BC的长为的长为 ABC,2,60ABA23ABC