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1第第3章章 试验的方差分析试验的方差分析 试验结果试验结果S受多个因素受多个因素Ai影响，其函数关系为：影响，其函数关系为：Sf(A1，A2，An)但影响的程度各不相同，如何通过试验数据来但影响的程度各不相同，如何通过试验数据来确定因素的影响程度呢？确定因素的影响程度呢？方差方差标准差的平方，表征标准差的平方，表征xi 与与 的偏离程度。的偏离程度。方差分析方差分析利用试验数据与均值的偏离程度来判利用试验数据与均值的偏离程度来判断各因素对试验结果影响显著性程度的方法。断各因素对试验结果影响显著性程度的方法。方差分析实质上是研究自变量（因素）与因变量方差分析实质上是研究自变量（因素）与因变量（试验结果）的相互关系（试验结果）的相互关系x2基本概念基本概念试验设计中的有关术语介绍试验设计中的有关术语介绍 1、指标、指标 在试验中用来衡量试验效果的标准或特性在试验中用来衡量试验效果的标准或特性单指标单指标衡量试验效果的标准只有一个衡量试验效果的标准只有一个多指标多指标衡量试验效果的标准多于一个衡量试验效果的标准多于一个定量指标定量指标能直接用数量来表示的指标能直接用数量来表示的指标定性指标定性指标不能直接用数量来表示的指标不能直接用数量来表示的指标32、因素、因素对试验指标会产生影响的原因要素，也称因子对试验指标会产生影响的原因要素，也称因子可控因素可控因素可人为地加以调节和控制的因素，可人为地加以调节和控制的因素，如：加药量、温度、液固比、反应时间等。如：加药量、温度、液固比、反应时间等。不可控因素不可控因素暂时不能人为调节和控制的因暂时不能人为调节和控制的因素，例如：气候的变化、大气压、室温等。素，例如：气候的变化、大气压、室温等。数量性因素数量性因素可量化的因素，如反应温度可量化的因素，如反应温度属性因素属性因素不可量化的因素，如催化剂种类。不可量化的因素，如催化剂种类。43、水平、水平因素在试验中所选取的具体状态。例如：因素在试验中所选取的具体状态。例如：反应时间：取反应时间：取2h、4h、6h，则表示时间因素，则表示时间因素有三个水平。有三个水平。水平可以用水平可以用1、2、3来代表，也可以用来代表，也可以用+1，0，-1代表高、中、低三个水平。代表高、中、低三个水平。单因素方差分析单因素方差分析只针对一个试验因素只针对一个试验因素多因素试验方差分析多因素试验方差分析同时针对多个试验同时针对多个试验因素进行的方差分析因素进行的方差分析其中，双因素方差分析最常见。其中，双因素方差分析最常见。53.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析1.单因素试验方差分析基本问题单因素试验方差分析基本问题讨论一种因讨论一种因素对试验结果有无显著影响的问题素对试验结果有无显著影响的问题设：因素设：因素A有有r 种水平种水平Al,A2，Ar，在每种水平下的，在每种水平下的试验结果服从正态分布。如果在各水平下分别做了试验结果服从正态分布。如果在各水平下分别做了ni（i=1，2，r）次试验：）次试验：问：因素问：因素A对试验结果对试验结果是否有显著影响？是否有显著影响？ijxi 表示因素表示因素A对应的水平对应的水平 j 表示在表示在i 水平上水平上的第的第 j 次试验次试验 62.方差分析基本步骤方差分析基本步骤 iiijiTxn xinj=1组内和组内和:ix1iijixxninj=1，(i=1,2,r)(1)计算平均值计算平均值同一水平的平均值，又称组内平均值，同一水平的平均值，又称组内平均值，11111rriijiiiixxn xTnnninrj=1i=1总平均值总平均值:式中：式中：n为总试验数为总试验数 7(2)计算离差平方和计算离差平方和 各试验结果之间的差异，可用离差平方和来表示各试验结果之间的差异，可用离差平方和来表示 总离差平方和总离差平方和：反映试验结果之间存在的总差异。反映试验结果之间存在的总差异。21()rTijiSSxxinj=1组间离差平方和组间离差平方和水平项离差平方和水平项离差平方和 2211()()rriAiiiiSSxxn xxinj=1组内离差平方和组内离差平方和 误差项离差平方和误差项离差平方和 21()reijiiSSxxinj=1关系：关系：SSTSSASSe 8(3)计算自由度计算自由度 SST对应的自由度，称总自由度对应的自由度，称总自由度：dfT=n-1 SSA对应的自由度，称组间自由度对应的自由度，称组间自由度：dfA=r-1 SSe对应的自由度，称组内自由度：对应的自由度，称组内自由度：dfe=n-r(4)计算平均平方计算平均平方 用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方 组间均方：组间均方：/AAAMSSSdf 组内均方组内均方(又称为误差均方又称为误差均方)：/eeeMSSSdf9(5)F检验检验 组间均方和组内均方之比组间均方和组内均方之比F是一个统计量是一个统计量:FA=组间均方组间均方/组内均方组内均方=MSA/MSe 它服从自由度为它服从自由度为(dfA，dfe)的的F 分布，记为分布，记为 F(dfA,dfe）如果如果FA F(dfA,dfe），则认为因素），则认为因素A对试验结果有显著对试验结果有显著影响，否则认为因素影响，否则认为因素A对试验结果没有显著影响。对试验结果没有显著影响。显著性程度实质上是指该因素确实是有影响的这个结显著性程度实质上是指该因素确实是有影响的这个结论的可靠性程度，即有多少把握说这个因素确有影响。论的可靠性程度，即有多少把握说这个因素确有影响。设没有把握部分为设没有把握部分为，则可靠性为，则可靠性为1-,称为风险，又称为风险，又称为显著性水平。称为显著性水平。通常取通常取0.01或或0.05 F(dfA,dfe）可从教材附录中查取（）可从教材附录中查取（P.203207）10(6)列出方差分析表列出方差分析表 1.若若FA F0.01(dfA，dfe)，就称因素，就称因素A对试验结果有非对试验结果有非常显著的影响，用两个常显著的影响，用两个“*”号表示；号表示；2.若若F0.05(dfA，dfe)FA F0.01(dfA，dfe)，则因素，则因素A对试对试验结果有显著的影响，用一个验结果有显著的影响，用一个“*”号表示；号表示；3.若若FA F(dfA,dfe)，认为因素，认为因素A对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。否则认为没有显著影响。服从自由度为服从自由度为(dfA,dfe)的的F 分布分布 AAeMSFMS服从自由度为服从自由度为(dfB,dfe)的的F 分布分布BBeMSFMS FB F(dfB,dfe)，认为因素，认为因素B对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。否则认为没有显著影响。16(6)列出方差分析表列出方差分析表 若若FA F0.01(dfA，dfe)，则因素，则因素A的影响非常显著，的影响非常显著，“*”若若F0.05(dfA，dfe)FA F0.01(dfA，dfe)，则因素，则因素A对试验对试验结果有显著的影响，用一个结果有显著的影响，用一个“*”号表示号表示 若若FA F(dfA,dfe)，认为因素，认为因素A对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。否则认为没有显著影响。服从自由度为服从自由度为(dfA,dfe)的的F 分布分布 AAeMSFMS服从自由度为服从自由度为(dfB,dfe)的的F 分布分布BBeMSFMS FB F(dfB,dfe)，认为因素，认为因素B对试验结果有显著影响对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。否则认为没有显著影响。服从自由度为服从自由度为(dfAB,dfe)的的F 分布分布A BA BeMSFMS FAB F(dfAB,dfe)，认为交互作用，认为交互作用 AB对试验结对试验结 果有显著影响果有显著影响,否则认为没显著影响。否则认为没显著影响。23(6)列出方差分析表列出方差分析表 本章的计算量很大，但主要要求掌握方差分析的基本本章的计算量很大，但主要要求掌握方差分析的基本概念和方法，具体计算可利用概念和方法，具体计算可利用ExcelExcel中中“工具分析库工具分析库”进行，希望同学们在上机实习时认真训练。进行，希望同学们在上机实习时认真训练。24F分布分布F分布的分布密度为：分布的分布密度为：1121221211112222()/21(),0(/2)(/2)00nnnnnnnnyyf xynnnnny，
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