高数74一阶线性微分方程

目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程二、伯努利方程(简单介绍简单介绍)第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x)0,0)(ddyxPxy若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPCyd)(e称为齐次方程齐次方程;目录 上页 下页 返回 结束 xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd则xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(两端积分得目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解方程.)1(12dd25xxyxy解解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法常数变易法求特解.,)1()(2xxuy则)1(2)1(2 xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(令目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0例例2.有一电路如图所示,sintEEm电动势为电阻 R 和电.)(tiLERQ解解:列方程.已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始条件:00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,目录 上页 下页 返回 结束 解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始条件:00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一阶线性方程解的公式可得LERQ目录 上页 下页 返回 结束 tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为解的意义:LERQ目录 上页 下页 返回 结束 0d2d3yyxyyxx例例3.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,d2d,0,xxxyx此时不妨设yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式,得exyy2de1(yyy2d故方程可变形为yy1y1 lndCy 所求通解为)0(eCCyyxyCyln这是以x为因变量 y 为自变量的一阶线性方程Cylnd)0(C目录 上页 下页 返回 结束*二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解:令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n目录 上页 下页 返回 结束 3.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程yxxy1ddyxyxdd,yxu,xuy1ddddxuxy法法1.取 y 作自变量:线性方程 法法2.作变换 则 代入原方程得,11dduxuuuxu1dd可分离变量方程目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程目录 上页 下页 返回 结束 P315 1(3),(6);2(5);6作业第五节 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出目录 上页 下页 返回 结束 2.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解:1)先解定解问题10,2xyy00 xy利用通解公式,得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有)10(e22xyx目录 上页 下页 返回 结束 2)再解定解问题1,0 xyy11e22)1(yyx此齐次线性方程的通解为)1(e2xCyx利用衔接条件得)1(e22C因此有)1(e)1(e2xyx3)原问题的解为y10),e1(2xx1,e)1(e2xx)10(e22xyx