运算放大器计算

8.1 求和运算电路8.2 积分和微分运算电路8.3 对数和指数运算电路8.4 模拟乘法器及其应用8.5 有源滤波器引言：运算电路是集成运算放大器的基本应用电路，它是集成运放的线性应用。讨论的是模拟信号的加法、减法积分和微分、对数和反对数（指数）、以及乘法和除法运算。为了分析方便，把运放均视为理想器件：（1）开环电压增益 Au=（2）Ri=，R=0，（3）开环带宽 BW=（4）当UP=UN 时，Uo=0。没有温漂 因此，对于工作在线性区的理想运放应满足：“虚短”：即U+=U-；“虚断”：即I+=I-=0 本章讨论的即是上述“四字法则”灵活、大胆的应用。8.1 求和运算电路一、反相输入求和电路二、同相输入求和电路三、双端输入求和电路一、一、反相输入求和电路反相输入求和电路 在在 反相比例运算电路的基础上，增加一个反相比例运算电路的基础上，增加一个输入支路，就构成了反相输入求和电路，见图输入支路，就构成了反相输入求和电路，见图12.01。此时两个输入信号电压产生的电流都。此时两个输入信号电压产生的电流都流向流向Rf。所以输出是两输入信号的比例和。所以输出是两输入信号的比例和。)()()(i22fi11ff2i21i1f2ii1ovRRvRRRRvRvRiiv相之和。时，输出等于两输入反当f21RRR图12.01 反相求和运算电路)()(i2i1i22fi11fovvvRRvRRv二、二、同相输入求和电路同相输入求和电路 在同相比例运算电路的基础上，增加在同相比例运算电路的基础上，增加一个输入支路，就构成了同相输入求和电一个输入支路，就构成了同相输入求和电路，如图路，如图12.02所示。所示。图12.02 同相求和运算电路 因运放具有虚因运放具有虚断的特性，对断的特性，对运放同相输 入运放同相输 入端的电位可 用端的电位可 用叠加原理求得叠加原理求得:RRRRRRvRRRRRRRvRRRRRRRRRRvRRRRRvRRvf12i212221i1211f12i2121i12o)/()/()/()/()/()/()/()/(RvRvRRRRRRRRvRRvRRv2i21i1fnpfffi22pi11po)()(由此可得出/fn21pRRRRRRR式中 vvRRRvRRRRRvRRv)/()/()/()/(12i2121i12vRRRvof而 ,i2i1of21npvvvRRRRR时当，三、三、双端输入求和电路双端输入求和电路 双端输入也称差动输入，双端输入求和双端输入也称差动输入，双端输入求和运算电路如图运算电路如图12.0312.03所示。其输出电压表达所示。其输出电压表达式的推导方法与同相输入运算电路相似式的推导方法与同相输入运算电路相似。图12.03双端输入求和运算电路 当vi1=vi2=0时，用叠加原理分别求出vi3=0和vi4=0时的输出电压vop。当vi3=vi4=0时，分别求出vi1=0，和vi2=0时的von。先求 )/1()/()/()/1()/()/(21f34i4321f43i34opRRRRRRvRRRRRRRRvRRv )/1()/()/()/1()/()/(21f34i434421f43i3433opRRRRRRvRRRRRRRRRRvRRRRv )/1()/1(21fi44p21fi33pRRRvRRRRRvRR )(/)/(i44pi33pff21f21vRRvRRRRRRRRR )(4i43i3nfpRvRvRRRop v式中Rp=R3/R4/R,Rn=R1/R2/Rf 再求on vi22fi11fonvRRvRRv)()(2i21i1f4i43i3nfponopoRvRvRRvRvRRRvvvnpf4321 RRRRRRRRR时，当)(i2i1i4i3fovvvvRRv于是于是8.2 积分和微分运算电路积分和微分运算电路8.2.1 8.2.1 积分运算电路积分运算电路8.2.2 8.2.2 微分运算电路微分运算电路8.2.1 积分运算电路积分运算电路 积分运算电路的分析方法与求和电路积分运算电路的分析方法与求和电路差不多，反相积分运算电路如图差不多，反相积分运算电路如图12.0512.05所示。所示。图12.05 积分运算电路，于是根据虚地有Rvii tvRCtiCvvd1d1iCCO当输入信号是阶跃直流电压VI时，即tRCVtvRCvvIiCOd1图 12.05 积分运算放大电路8.2.2 8.2.2 微分运算电路微分运算电路微分运算电路如图微分运算电路如图12.0712.07所示。所示。图 12.07 微分电路tvRCtvRCRiRivdd dd ICCRO显然8.3 8.3 对数和指数运算电路对数和指数运算电路8.3.1 8.3.1 对数运算电路对数运算电路8.3.2 8.3.2 指数运算电路指数运算电路8.3.1 8.3.1 对数运算电路对数运算电路 图 12.08 对数运算电路对数运算电路见图对数运算电路见图12.08。由图可知。由图可知 DOvvDRii TD/SDeVvIi SITSDTOlnlnRIvVIiVv8.3.2 8.3.2 指数运算电路指数运算电路 指数运算电路如图指数运算电路如图12.0912.09所示。所示。TI1S/SDROlneTIVvRIRIRiRivVv指数运算电路相当反对数运算电路。指数运算电路相当反对数运算电路。图图 12.09 12.09 指数运算电路指数运算电路8.4.1 模拟乘法器的基本原理8.4.2 模拟乘法器的应用 8.4 模拟乘法器及其应用 乘法器是又一种广泛使用的模拟集成电乘法器是又一种广泛使用的模拟集成电路，它可以实现乘、除、开方、乘方、调幅路，它可以实现乘、除、开方、乘方、调幅等功能，广泛应用于模拟运算、通信、测控等功能，广泛应用于模拟运算、通信、测控系统、电气测量和医疗仪器等许多领域。系统、电气测量和医疗仪器等许多领域。8.4.1 模拟乘法器的基本原理一、模拟乘法器的基本原理二、变跨导型模拟乘法器一、模拟乘法器电路的基本原理 模拟乘法器是一种能实现模拟量相乘的集模拟乘法器是一种能实现模拟量相乘的集成电路，设成电路，设vO和和vX、vY分别为输出和两路输入分别为输出和两路输入YX O=vKvv 其中K为比例因子，具有 的量纲。模拟乘法器的电路符号如图19.01所示。1V-图19.01 模拟乘法器符号 图19.02模拟乘法器原理图 如果能用 vy去控制IE，即实现IE vy。vO就基本上与两输入电压之积成比例。于是实现两模拟量相乘的电路构思，如图19.02所示。Ebe26mV)+(1IrXELOmV26vIRveXYLXEL2mV26mV26RvvRvIRYXOvKvv 对于差动放大电路，输出电压为XbeL=OvrRv二、二、变跨导型模拟乘法器变跨导型模拟乘法器 根据图根据图19.02的原理可以制成所谓变跨导模的原理可以制成所谓变跨导模拟乘法器。在推导高频微变等效电路时，将拟乘法器。在推导高频微变等效电路时，将放大电路的增益写成为放大电路的增益写成为 Lm-=RpgAvYXXLm=OvKvvRpgv 只不过在式中的gm是固定的。而图19.02中如果gm是可变的，受一个输入信号的控制，那该电路就是变跨导模拟乘法器。由于IEvY，而IE gm，所以vY gm。输出电压为 由于图由于图19.02的电的电路，对非线性失真等路，对非线性失真等因素没有考虑，相乘因素没有考虑，相乘的效果不好。实际的的效果不好。实际的变跨导模拟乘法器的变跨导模拟乘法器的主要电路环节如图主要电路环节如图19.03所示。所示。图19.03 变跨导模拟乘法器三、对数反对数型模拟乘法器 根据两数相乘的对数等于两数的对数之根据两数相乘的对数等于两数的对数之和的原理，因此可以用对数放大器、反对数和的原理，因此可以用对数放大器、反对数放大器和加法器来实现模拟量的相乘。方框放大器和加法器来实现模拟量的相乘。方框图如图图如图19.04所示。所示。图19.04 对数型模拟乘法器 8.4.2 模拟乘法器的应用 一、乘积和乘方运算电路二、除法运算电路 三、开平方运算电路 一、乘积和乘方运算电路 (1)相乘运算 模拟乘法运算电路如图模拟乘法运算电路如图19.05所示所示。图19.05 模拟相乘器图19.06 平方运算电路 图19.07 立方运算电路(2)(2)乘方和立方运算乘方和立方运算 将相乘运算电路的两个输入端并联在一起就是乘方运算电路，电路如图19.06所示。立方运算电路如图19.07所示。二、二、除法运算电路除法运算电路 除法运算电路如图19.08所示，它是由一个运算放大器和一个模拟乘法器组合而成的。根据运放虚断的特性，有21ii 2O11XRvRvYO1OvKvvYX12OvvKRRv图19.08 除法运算电路如果令K=R2/R1则YXOvvv三、三、开平方运算电路开平方运算电路图19.09为开平方运算电路，根据电路有)(1X12OvRRKv所以有 显然，vO是-vI平方根。因此只有当vI为负值时才能开平方，也就是说vI为负值电路才能实现负反馈的闭环。图中的二极管即为保证这一点而接入的。图19.09 开平方电路2O11XRvRv2OO1Kvv8.5 有 源 滤 波 器8.5.1 概述概述有源低通滤波器有源低通滤波器(LPF)有源高通滤波器有源高通滤波器(HPF)有源带通滤波器有源带通滤波器(BPF)和和 带阻滤波器带阻滤波器(BEF)一、滤波器的分类二、滤波器的用途 概述 有源滤波器实际上是一种具有特定频率响应有源滤波器实际上是一种具有特定频率响应的放大器。它是在运算放大器的基础上增加一的放大器。它是在运算放大器的基础上增加一些些R、C等无源元件而构成的。等无源元件而构成的。通常有源滤波器分为：通常有源滤波器分为：低通滤波器（低通滤波器（LPF）高通滤波器（高通滤波器（HPF）带通滤波器（带通滤波器（BPF）带阻滤波器（带阻滤波器（BEF）它们的幅度频率特性曲线如图它们的幅度频率特性曲线如图13.01所示。所示。一、滤 波 器 的 分 类 图13.01 有源滤波器的频响 滤波器也可以由无源的电抗性元件或晶体构成，称为无源滤波器或晶体滤波器。二、滤波器的用途 滤波器主要用来滤除信号中无用的频率成分，例如，有一个较低频率的信号，其中包含一些较高频率成分的干扰。滤波过程如图13.02所示。图13.02 滤波过程8.5.2 有源低通滤波器(LPF)一、一、低通滤波器的主要技术指标低通滤波器的主要技术指标二、二、简单一阶低通有源滤波器简单一阶低通有源滤波器三、三、简单二阶低通有源滤波器简单二阶低通有源滤波器四、四、二阶压控型低通有源滤波器二阶压控型低通有源滤波器一、一、低通滤波器的主要技术指标（1）通带增益Avp 通带增益是指滤波器在通频带内的电压放大通带增益是指滤波器在通频带内的电压放大倍数，如图倍数，如图13.03所示。性能良好的所示。性能良好的LPF通带内通带内的幅频特性曲线是平坦的，阻带内的电压放大的幅频特性曲线是平坦的，阻带内的电压放大倍数基本为零。倍数基本为零。（2）通带截止频率fp 其定义与放大电路的上限截止频率相同。其定义与放大电路的上限截止频率相同。见图自明。通带与阻带之间称为过渡带，过渡见图自明。通带与阻带之间称为过渡带，过渡带越窄，说明滤波器的选择性越好。带越窄，说明滤波器的选择性越好。图13.03 LPF的幅频特性曲线 二、二、简单一阶低通有源滤波器简单一阶低通有源滤波器 一阶低通滤波器的电路如图13.04所示，其幅频特性见图13.05，图中虚线为理想的情况，实线为实际的情况。特点是电路简单，阻带衰减太慢，选择性较差。图13.04 一阶LPF 图13.05一阶LPF的幅频特性曲线 当当 f=0时，各电容器可视为开路，通带内的增时，各电容器可视为开路，通带内的增益为益为 一阶低通滤波器的传递函数如下一阶低通滤波器的传递函数如下 ，其中其中 12p1RRAv )(10pIOsAsVsVsAvRC10该传递函数式的样子与一节该传递函数式的样子与一节RC低通环节的频响表达式低通环节的频响表达式差不多，只是后者缺少通带增益差不多，只是后者缺少通带增益Avp这一项。这一项。三、三、简单二阶低通有源滤波器 为了使输出电压在高频段以更快的速率下降，以改善滤波效果，再加一节RC低通滤波环节，称为二阶有源滤波电路。它比一阶低通滤波器的滤波效果更好。二阶LPF的电路图如图13.06所示，幅频特性曲线如图13.07所示。（1 1）通带增益）通带增益 当当 f=0,或频率很低时，各电容器可视为开或频率很低时，各电容器可视为开路，通带内的增益为路，通带内的增益为RRAvfp1图13.06 二阶LPF 图13.07二阶LPF的幅频特性曲线 （2 2）二阶低通有源滤波器传递函数）二阶低通有源滤波器传递函数 根据图根据图13.0613.06可以写出可以写出RsCsVsVsVAsVv2N)()(po11)()()()()()1(1)1(1i2121NsVsCRsCRsCRsCsV 通常有C1=C2=C，联立求解以上三式，可得滤波器的传递函数 2pIO31sCRsCRAsVsVsAvv(3)(3)通带截止频率通带截止频率 将s换成 j，令 ,可得020pj3)(1ffffAAvv2j3)(10p20pffff解得截止频率解得截止频率RCfff237.037.0275300p当当 时，上式分母的模时，上式分母的模pff 与理想的二阶波特图相比，在超过与理想的二阶波特图相比，在超过 以后，以后，幅频特性以幅频特性以-40 dB/dec的速率下降，比一阶的的速率下降，比一阶的下降快。但在通带截止频率下降快。但在通带截止频率 之间幅频之间幅频特性下降的还不够快。特性下降的还不够快。0f0pff RCf/1200（1）二阶压控）二阶压控LPF 二阶压控型低通有源滤波器如图13.08所示。其中的一个电容器C1原来是接地的，现在改接到输出端。显然C1的改接不影响通带增益。图图13.08二阶压控型二阶压控型LPF 图图13.09 二阶压控型二阶压控型LPF 的幅频特性的幅频特性 （2 2）二阶压控型）二阶压控型LPFLPF的传递函数的传递函数sCRsVsVsVAsVv11)()()()(N)()(po上式表明，该滤波器的通带增益应小于上式表明，该滤波器的通带增益应小于3 3，才，才能保障电路稳定工作。能保障电路稳定工作。0)()()()()()(+)NoNNiRsVsVsCsVsVRsVsV对于节点对于节点 N,可以列出下列方程可以列出下列方程 2ppio)3(1sCRsCRAAsVsVsAvvv联立求解以上三式，可得联立求解以上三式，可得LPF的传递函数的传递函数(3）频率响应）频率响应 由传递函数可以写出频率响应的表达式由传递函数可以写出频率响应的表达式0p20p)-j(3)(1ffAffAAvvv当当 时，上式可以化简为时，上式可以化简为 )j(3pp)(-0vvffvAAA0ff 定义有源滤波器的品质因数定义有源滤波器的品质因数Q值为值为 时的时的电压放大倍数的模与通带增益之比电压放大倍数的模与通带增益之比 0ff p-31vAQ p)0(vffvQAA 以上两式表明，当 时，Q1，在 处的电压增益将大于 ，幅频特性在 处将抬高，具体请参阅图13.09。32pvA0ff pvA0ff pp)0(31vvvQAAAQffpvA 当 3时，Q=，有源滤波器自激。由于将 接到输出端，等于在高频端给LPF加了一点正反馈，所以在高频端的放大倍数有所抬高，甚至可能引起自激。1C 二阶压控型有源高通滤波器的电路图如 图13.12所示。图13.12二阶压控型HPF8.5.3 有源高通滤波器由此绘出的频率响应特性曲线如图13.13所示 (1)通带增益1fp+1=RRAv(2)传递函数2pp2)()3(1)(=)(sCRsCRAAsCRsAvvv (3)频率响应 令 则可得出频响表达式,3121p0vAQCRf，)(1j)(1020pffQffAAvv结论：当 时，幅频特性曲线的斜率 为+40 dB/dec；当 3时，电路自激。0ff pvA图13.13二阶压控型HPF 频率响应 二阶压控型有源高通滤波器的电路图如 图13.12所示。8.5.4 有源带通滤波器(BPF)和带阻滤波器(BEF)图13.14二阶压控型BPF图3.15二阶压控型BEF 带通滤波器是由低通RC环节和高通RC环节组合而成的。要将高通的下限截止频率设置的小于低通的上限截止频率。反之则为带阻滤波器。要想获得好的滤波特性，一般需要较高的阶数。滤波器的设计计算十分麻烦，需要时可借助于工程计算曲线和有关计算机辅助设计软件。