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第四章第四章 随机变量的随机变量的 数字特征数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函的分布函数，那么数，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，分布函数一般然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的是较难确定的.而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的某些数字特征是重要的.这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差4.1 数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，它对评它对评判事物作出决策等具有重要作用判事物作出决策等具有重要作用.例如，例如，某商场计划于某商场计划于5月月1日在户外搞一次促销活动，日在户外搞一次促销活动，统计资料表明，统计资料表明，如果在商场内搞如果在商场内搞可获得经济可获得经济效益效益3万元；万元；在商场外搞，在商场外搞，如果不遇雨天可如果不遇雨天可获得获得12万元，万元，遇到雨天则带遇到雨天则带来经济损失来经济损失5万元；万元；若前一天的天气若前一天的天气预报称当日有雨预报称当日有雨的概率为的概率为40%，则商场应如何选择则商场应如何选择促销方式？促销方式？1.概念的引入概念的引入显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益X是一个随机变量，是一个随机变量，其概率分布为其概率分布为,6.01211pXPxXP ,4.0522pXPxXP 要作出决策就要将此时的平均效益与要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较万元进行比较,如何求平均效益呢？如何求平均效益呢？要客观地反映平均效益要客观地反映平均效益,虑虑X的所有取值，的所有取值，又要考虑又要考虑X取每一个值时的概率，取每一个值时的概率，即为即为既要考既要考2.54.0)5(6.01221 iiipx（万元）（万元）.称这个平均效益称这个平均效益5.2万元为随机变量万元为随机变量X的的数学期望数学期望,2.数学期望的定义数学期望的定义定义定义设设X是离散型随机变量，其概率分布为是离散型随机变量，其概率分布为,2,1,1 ipxXPi如果如果iiipx 1绝对收敛，绝对收敛，为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望（又称（又称 1)(iiipxXE均值均值）完完则称则称也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和对收敛的级数的和.例例1 甲甲,乙两人进行打靶乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为,1X,2X它们的分布律分别为它们的分布律分别为,8.02.002101kpX1.03.06.02102kpX试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 我们来计算我们来计算1X的数学期望的数学期望,得得8.18.022.0100)(1 XE(分分).这意味着这意味着,如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击,那么那么,所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平均就接近 1.8,).(5.01.023.016.00)(2分分 XE很明显很明显,乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩.完完而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为例例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数某种产品每件表面上的疵点数服从参数 8.0的泊松分布的泊松分布,若规定疵点数不超过若规定疵点数不超过 1 个为一等品个为一等品,值值 10 元元;疵点数大于疵点数大于 1 个不多于个不多于 4 个为二等品个为二等品,价值价值 8 元元;疵点数超过疵点数超过 4 个为废品个为废品,求求:(1)产品的废品率产品的废品率;(2)产品价值的平均值产品价值的平均值.解解 设设X代表每件产品上的疵点数代表每件产品上的疵点数,价价)1(因为因为 408.0!8.01414kkekXPXP,412001.0 所以产品的废品率为所以产品的废品率为.412001.0)(PX(2)求产品价值的平均值求产品价值的平均值.解解)2(设设Y代表产品的价值代表产品的价值,那么那么Y的概率分布为的概率分布为:44110810 XPXPXPPY所以产品价值的平均值为所以产品价值的平均值为418110)(XPXPYE40 XP0!8.08!8.010428.0108.0 kkkkekek).(61.9元元 完完例例3 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解:设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)nknk112)1(1nnn21n于是于是二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设设X是连续型随机变量，是连续型随机变量，其密度函数为其密度函数为),(xf数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点,210 xxx则则X落在小区间落在小区间),1 iixx的概率为的概率为在在iixxf)()(1iiixxxf1)(iixxdxxf小区间小区间xi,xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为iixxf)(小区间小区间Xi,Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中中的值可以用的值可以用xi来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为iixxf)(近似近似,iixxf)(因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望是学期望是 dxxxfxxfxiiii)()(定义定义 设设X是连续型随机变量，是连续型随机变量，其密度函数为其密度函数为),(xf如果如果 dxxxf)(绝对收敛，绝对收敛，定义定义X的的数学期望数学期望为为 .)()(dxxxfXE注注：（1）并非所有随机变量都有数学期望，）并非所有随机变量都有数学期望，也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分对收敛的积分.例如，例如，若若X的的 密度函数为密度函数为的密度函数为的密度函数为)1(1)(2xxF ),(x由于广义积分由于广义积分dxxxdxxfx 0212)(02)1ln(1x 发散，发散，所以所以)(XE不存在不存在.完完 2)(baXE若若XU(a,b),则则)(XE若若X服从服从则),(2 N)(XE若若X服从参数为服从参数为的泊松分布，则（2）由随机变量数学期望的定义，不难计算得：）由随机变量数学期望的定义，不难计算得：例例4 已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数,4,140,4/0,0)(xxxxxF求求).(XE解解随机变量随机变量X的密度函数为的密度函数为,040,4/1)()(其它其它xxFxf故故.2841)()(40240 xdxxdxxxfXE完完例例5 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为,21)(|xexfx求求).(XE解解使用分部积分法，使用分部积分法，得到得到)(XE完完.0)(XE,212100 dxxedxxexx dxxex|21例例6 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式付款的方式,记使用寿命为记使用寿命为X(以年计以年计),规定规定:,3 X设寿命设寿命X服从指数分布服从指数分布,概率密度为概率密度为,0,00,101)(10/xxexfx,1 X,21 X,32 X一台付款一台付款 1500 元元;一台付款一台付款 2000 元元;一台付款一台付款 2500 元元;一台付款一台付款 3000 元元.试求该类家用电器一台收费试求该类家用电器一台收费Y的数学期望的数学期望.解解 先求出寿命先求出寿命X落在各个时间区间的概率落在各个时间区间的概率,即有即有,0952.0110111.01010/edxeXPx,7408.010133.0310/edxeXPx 212.01.010/10121eedxeXPx,0861.0,0779.0 3.02.03210/10132 eedxeXPx1 XP3 XP21 XP,0861.0,0779.0 32 XP,0952.0,7408.0 完完7408.00779.00861.00952.03000250020001500kpY得得,15.2732)(YE即平均一台收费即平均一台收费15.2732元元.则则Y的分布律为的分布律为例例7 设随机变量设随机变量),(xfX,12/7)(XE且且,010,)(其它其它xbaxxf求求a与与b的值的值,并求分布函数并求分布函数).(xF解解 由题意知由题意知,12)()(10 badxbaxdxxf 10)()()(dxbaxxdxxxfXE,12723 ba解方程组得解方程组得,1 a.2/1 b例例7 设随机变量设随机变量),(xfX,12/7)(XE且且,010,)(其它其它xbaxxf求求a与与b的值的值,并求分布函数并求分布函数).(xF解解 解方程组得解方程组得,1 a.2/1 b当当10 x时时,有有,2221)()(20 xxdttdttfxFxx 所以所以.1,110),(210,0)(2 xxxxxxF完完三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？定理定理1设设X是一个随机变量，是一个随机变量，),(XgY 下面下面引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.且且)(YE存存在在,于是于是(1)若若X为离散型随机变量，为离散型随机变量，其概率分布为其概率分布为,2,1,ipxXPii则则Y的数学期望为的数学期望为;)()()(1iiipxgXgEYE (2)若若X为连续型随机变量，为连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为),(xf则则Y的数学期望为的数学期望为 .)()()()(dxxfxgXgEYE注：注：定理的重要性在于：定理的重要性在于：求求)(XgE时，时，不必知不必知道道)(Xg的分布，的分布，只需知道只需知道X的分布即可的分布即可.这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便.完完定理定理2 设设),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，),(YXgZ 且且)(ZE存在，存在，(1)若若),(YX为离散型随机向量，为离散型随机向量，其概率分布其概率分布为为),2,1,(,jipyYxXPijji则则Z的数学期望为的数学期望为;),(),()(11 jiijjipyxgYXgEZE(2)若若),(YX为连续型随机向量，为连续型随机向量，其概率密度为其概率密度为),(yxf则则Z的数学期望为的数学期望为 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE注注：上述定理可推广到二维以上的情形上述定理可推广到二维以上的情形例例8 设随机变量设随机变量),1,0(NX求求).(2XE解解分部积分得分部积分得,21)(22xexf )(2XE)(2XE完完,x,2122 xxde dxexx22221 2221xxde.1 例例9 设设),(YX的联合概率分布为的联合概率分布为:8/1008/1308/38/3013210XY求求).(),(),(YXEYEXE 解解 要求要求)(XE和和),(YE需先求出需先求出X和和Y的边缘的边缘分布分布.关于关于X和和Y的边缘分布为的边缘分布为4/14/331PX8/18/38/38/13210PY4/14/331PX8/18/38/38/13210PY则有则有23413431)(XE23813832831810)(YE83)21(83)11(0)01()(YXE81)33(.4/9 81)03(0)31(0)23(0)13(例例10 设随机变量设随机变量X在在,0 上服从均匀分布上服从均匀分布,)(),(sin),(2XEXEXE及及.)(2XEXE 解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式,有有,21)()(0 dxxdxxxfXE 01sin)(sin)(sindxxdxxxfXE,2|)cos(10 x,31)()(20222 dxxdxxfxXE求求例例10 设随机变量设随机变量X在在,0 上服从均匀分布上服从均匀分布,)(),(sin),(2XEXEXE及及.)(2XEXE 解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式,有有)(XE求求,2 .122 完完222)(XEXEXE 0212dxx例例11 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量求量是随机变量X(单位单位:吨吨),它服从区间它服从区间,20004000上的均匀分布上的均匀分布,每销售出一吨商品每销售出一吨商品,可为国可为国家赚取外汇家赚取外汇 3 万元万元;若销售不出若销售不出,则每吨商品需贮则每吨商品需贮存费存费 1 万元万元,问应组织多少货源问应组织多少货源,才能使国家收益才能使国家收益最大最大?解解 设组织货源设组织货源t吨吨,显然应要求显然应要求,40002000 t国家收益国家收益Y(单位单位:万元万元)是是X的函数的函数),(XgY 达式为达式为.,4,3)(tXtXtXtXg表表设设X的概率密度函数为的概率密度函数为),(xf则则,040002000,2000/1)(其他其他xxf于是于是Y的期望为的期望为 40002000)(20001)()()(dxxgdxxfxgYE 400020003)4(20001tttdxdxtx).108140002(2000162 tt 40002000)(20001)()()(dxxgdxxfxgYE).108140002(2000162 tt此组织此组织 3500 吨商品为好吨商品为好.考虑考虑t的取值使的取值使)(YE达到最大达到最大,易得易得,3500 t因因完完四、数学期望的性质四、数学期望的性质1.设设C是常数，是常数，则则;)(CCE 2.若若X是随机变量，是随机变量，若若C是常数，是常数，则则);()(XCECXE 3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推广 4.设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(:推广注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立数学期望的性质数学期望的性质4.若若),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，且且YX,相互独立相互独立,则则).()()(YEXEXYE),(11 niiniiXEXEnXXX,(21相互独立相互独立).注注：推广到推广到n维随机向量的情形，维随机向量的情形，有有2.若若X是随机变量，是随机变量，若若C是常数，是常数，则则);()(XCECXE 证证这里只对离散型情形进行证明，这里只对离散型情形进行证明，连续型情形留连续型情形留给读者给读者.设设X的概率分布为的概率分布为),2,1(,ipxXPii则由定理则由定理1，11).()()(iiiiiiXCEpxCpCxCXE有有完完4.设设YX,相互独立，相互独立，则则).()()(YEXEXYE 证证 这里只对连续型情形进行证明，这里只对连续型情形进行证明，离散型情形留给离散型情形留给读者读者.设设),(YX的联合密度函数度为的联合密度函数度为),(yxf其边缘概率密度分别为其边缘概率密度分别为)(xfX和和),(xfY由定由定理理2知知 ,),()(dxdyyxxyfXYE因为因为X和和Y相互独立，相互独立，),()(),(yfxfyxfYX 所以有所以有所以有所以有dxdyyfxxyfXYEYY)()()(dyyyfdxxxfYX)()().()(YEXE 注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,独立独立.例如，例如，在例在例8中，中，我们已计算得我们已计算得,4/9)()()(YEXEXYE但但,4/31,00,1 XPYXP,8/10 YP显然显然,010,1 YPXPYXP注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,独立独立.例如，例如，在例在例8中，中，我们已计算得我们已计算得,4/9)()()(YEXEXYE但但,4/31,00,1 XPYXP,8/10 YP显然显然,010,1 YPXPYXP故故X与与Y不独立不独立.完完例例12 设设)(),(2XEXE均存在均存在,证明证明.)()()(222XEXEXEXE 证证 因为因为,)()(2)(222XEXEXXXEX 于是于是)()(2)(222XEXEXXEXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE 完完例例13(二项分布的数学期望二项分布的数学期望)若若),(pnbX求求).(XE解解 因因),(pnbX则则X表示表示n重伯努利试验中的重伯努利试验中的“成成功功”次数次数.若设若设 ,0,1iX如第如第i次试验成功次试验成功如第如第i次试验失败次试验失败),2,1(ni 则则,1pXPi ,10pXPi ,)1(01)(pppXEi ,21nXXXX 因为因为所以所以.)()(1npXEXEnii .)()(1npXEXEnii 可见可见,服从参数为服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是.np完完例例14一民航送客车载有一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有 10 个车站可以下车个车站可以下车.如到达一个车站没如到达一个车站没有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车,以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求)(XE(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立).解解 引入随机变量引入随机变量 ,1,0iX在第在第在第在第ii站没有人下车站没有人下车站没有人下车站没有人下车,.10,2,1 i易知易知.1021XXXX 现在来求现在来求).(XE按题意按题意,任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下车的概率为下车的概率为,10/9因此因此 20 位旅客都不在第位旅客都不在第i站下车的概率为站下车的概率为,)10/9(20在第在第i站有人下车的站有人下车的概率为概率为,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10,2,1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10,2,1 i进而进而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 784.8)10/9(11020 (次次).注注:本题是将本题是将X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍这种处理方法具有一定的普遍意义意义.完完 这一讲，我们介绍了随机变量的数学这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征.小结小结
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