自由度系统振动2ppt课件

第三章 二自在度系统振动振动与噪声控制实验室董明明(1)概论v大量振动系统需求简化成多自在度系统才干反映实践问题的物理本质。v 举例：汽车的单自在度、二自在度、四自在度、七自在度模型v与单自在度系统比较，多自在度系统具有一些本质上的新概念，需求新的分析方法。v二自在度系统是多自在度系统最简单的特例。从二自在度系统到多自在度系统，主要是量的扩展，在问题的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。v数学工具：线性代数、矩阵实际车辆悬架车辆悬架构造简图车辆悬架构造简图v1、二自在度系统运动微分方程的矩阵v 表示方式；v2、系统动能、势能和能量耗散函数的矩 v 阵表示方式；v3、运动微分方程的耦合问题。本节讲三个问题：二自在度系统简图 下面是一个典型的二自在度弹簧阻尼质量系统简图 v取 静平衡位置为坐标原点，程度向右为两个坐标的正向，根据牛顿第二定律得到21mm、1 11 11 121221212222122132322()()()()()()m xk xc xkxxc xxF tm xkxxc xxk xc xF t 整理,得1 1121221212212221232212322()()()()()()m xcc xc xkkxk xF tm xc xcc xk xkk xF t运动微分方程建立 v在多自在度系统振动实际中，广泛运用矩阵记号(写为矩阵方式)12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 其中定义120 ,0mMm 122223 ,cccCccc 122223kkkKkkk质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵矩阵方式的改写 12Txxx 12Txxx 12Txxx12()()()TF tF tF t位移向量；速度向量；加速度向量；鼓励向量；()MxCxKxF t矩阵方式的运动微分方程定义：运动微分方程的矩阵方式和单自在度微分方程的关系v单自在度系统v假设将 看作一维矩阵，v 看作一维向量，那么单自在度和多自在度微分方程具有一样的方式。()mxcxkxf t,m c k,x x x f t 系统动能的矩阵表达方式系统的动能为 221 1221112221122010212TTEm xm xmxxxmxxMx质量矩阵的二次型系统势能的矩阵表达方式 22211212321221122232111()2221212TUk xkxxk xkkkxxxkkkxxKx刚度矩阵的二次型系统能量耗散函数的矩阵表达方式 2221 1212321221122232111()2221212TDc xcxxc xcccxxxcccxxCx阻尼矩阵的二次型经过对以上三个函数求偏导数，可以分别求出三个矩阵的各个元素 22TTijjiijjiEEmmxxxx22ijjiijjiUUkkxxxx22ijjiijjiDDccxxxx多自在度系统的质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵质量，刚度和阻尼矩阵确实定二阶混合偏导数在什么条件下与求导次序无关？v1.写出系统动能、势能和能耗散函数的表达式v2.对这三个函数求偏导数，从而得到质量，刚 v 度和阻尼矩阵的各个元素v3.写出矩阵方式的运动微分方程。微分方程的构造步骤v由于能量为标量，对于恣意的 ,，0,0 xx 102TTExMx 102TUxKx 102TDxCx质量矩阵一定是正定的；刚度矩阵和阻尼矩阵是半正定的质量，刚度和阻尼矩阵的性质三、运动微分方程的耦合问题 v由于 的存在，使得两个质量 的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角矩阵，微分方程存在耦合12212211111223223222220()0()ccckkkmxxxF tccckkkmxxxF t 12mm、22ck、耦合的分类v假设质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在v 惯性耦合v假设刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在v 弹性耦合v假设阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在v 阻尼耦合 非耦合v假设三个矩阵都是对角矩阵，那么系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个独立的单自在度方程，各个未知量可以单独求解1 11 11 12 23 23 200mxcxk xm xc xk x220,0ck那么微分方程组变成两个独立的微分方程对于本例，假设解耦v如何消除方程的耦合是手工求解多自在度系统运动微分方程的关键，从数学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角矩阵。不同坐标系下的运动微分方程 v下面经过实例阐明：方程能否存在耦合以及存在什么类型的耦合取决于所取的描画系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。汽车的二自在度振动模型v汽车板簧以上部分被简化为一刚性杆，质心 C，质量 m。绕质心转动惯量Ic，k1,k2为前后板簧刚度，忽略了减振器阻尼和干摩擦等其他方式的阻尼，不计板簧以下部分的质量和刚度。v上式中用到了四个广义坐标 ，而二自在度系统只需用两个独立广义坐标描画，因此这四个广义坐标并不是彼此独立的，而且有一定变换关系 2201110222cTcccCmyEmyIyI12212201110222AABABBkyUk yk yyyky、,cAByyy动能和势能表达式不同广义坐标下的运动微分方程。v 、，Ay1CABAyyLyyL222212221112111111()222212()212TccAcAAcAAcEmyIm yLImymL ymLImmLyymLmLI1CAyyL势能BAyyL120102AABBkyUyyky110ABAATAAyyyyLyyuL 11222222011022TAAAAkkkk LyyUyuuykk Lk L由于那么在 和 下的运动微分方程为 方程存在：惯性耦合 弹性耦合 Ay11222211220AAcmmLkkk LyymLmLIk Lk L由于可以解出称 为由 到 的变换矩阵,Cy12ACBCyyLyyL 1211ACCByLyyuyL u,AByyCy取广义坐标为 和 系统的动能0102CTcCmyEyI 12121112220102010211011012AABBTCcCckyUyykykyyuukkLyyLLkL122211222211112212cCkkk Lk Lyyk Lk Lk Lk L系统的势能运动微分方程1222112222111122000ccCmkkk Lk LyyIk Lk Lk Lk L耦合情况v当 时，存在弹性耦合v假设 ，那么刚度矩阵成为对角矩阵，方程曾经解耦，变为两个彼此独立的单自在度方程，和 独立微分方程22110k Lk Lcy22110k Lk L 取广义坐标为 v那么yC和可以表示为：v变换矩阵,AByy121BAABCALyyL yL yyyLLLBAAByyyyLLL 2111LLLLuLL动能和势能的表达式 22122222212122220011002212TACTcABCCBCCAABBCCmmyyEyyyuuIIyIILL LmmyLLLLyyyIIL LLmmLLLL120102AABBkyUyykyv当 时，方程存在惯性耦合，v当 ，A点和B点振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬和后悬振动相互独立。v在汽车实际中，定义为质量分配系数v当 时，汽车前悬和后悬振动相互独立，可以分别讨论它们的振动。耦合情况120CmL LI120CmL LI12CImL L1结论v结论：耦合的方式弹性耦合还是惯性耦合是依选取的坐标而定的，而坐标选取是研讨者的客观抉择，并非系统的本质特性。从这个意义上讲，这里我们应该说“坐标的耦合方式或“运动方程的耦合方式，而不应该说“系统的耦合方式。广义坐标 和 的变换关系为由于势能和广义坐标选取无关：从而：x y xuy 1121122TTTTUxKxyuKuyyKy不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系 1TKuKu不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系 1TMuMu 1TKuKu 1TCuCuv结论：从上例我们看到，系统的质量矩阵、刚度矩阵当然也包括阻尼矩阵的详细方式与所选取的广义坐标有关，适宜的广义坐标可以解除方程的耦合，由于不同广义坐标之间存在着变换关系，所以，方程解耦的就归结为寻觅一个适宜的变换矩阵 ，使变换后的系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵同时成为对角矩阵。u线性代数知识的复习v特征值与特征向量v矩阵的类似v实对称矩阵的性质特征值与特征向量v设 是n阶矩阵，假设存在数 和非零向量 ，使得v那么称 为A的特征值，X为A的对应于 的特征向量 ijAa12,TnXx xx0AXXEA X矩阵的类似v设A，B是两个n阶矩阵，假设存在n阶矩阵P，使得：B=P-1AP，那么称，A类似于B，P称为A到B的类似变换矩阵。v类似矩阵具有一样的特征值实对称矩阵的特征值和特征向量v实对称矩阵：假设矩阵A的元素a(i,j)，都是实数，而且满足a(i,j)=a(j,i)，那么称矩阵A为实对称矩阵。v实对称矩阵的特征值都是实数。v实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的。v实对称矩阵类似于对角形矩阵