任意角三角函数教学设计

任意角的三角函数（第一课时）【学习者分析】在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。【教学目标】1知识与技能目标：理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）； 2过程与方法目标：通过从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3情感、态度与价值观目标：培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 【教学重点】 任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.【教学难点】把三角函数理解为以实数为自变量的函数.【教学方法】 教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.【教学关键】如何想到建立直角坐标系；三个比值的确定性（ 确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着的变化而变化）. 【教学手段】 计算机、投影仪【教学过程】 【回忆与探索】（情景1）OMP435师：上课，同学们好，相信刚刚三角函数版的小苹果应该把同学们中午的困意都赶跑了，那接下来我们在来个热身活动，看学案，已知直角三角形OPM，OM=5，PM=4,OP=5，如图求角的正弦、余弦和正切值。学生1：师：回答非常好，那你得出这个结果的依据是：生：三角函数定义？师：这三个三角函数分别是怎样规定的？学生口述教师书写 对边邻边sin=，con=，tan=（图1）（设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. ）（情景2）师：我们已经把锐角推广到了任意角，任意角是在直角坐标系下研究的，那么刚这个角能否放到直角坐标系下，怎么放？生：锐角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边落在第一象限师：非常好，那我们一起把他拖过去（演示课件），那么这时P点为终边上一点，坐标为（3,4），P距O点距离为5，刚才的三角函数时恰好用了终边上一点坐标来表示。这给我们表达锐角三角函数提供了新思路。师：当我们把一个锐角放入直角坐标系后，如果P点为终边上任意一点，那三个三角函数值可以表示为？请同学完成学练稿问题1，（学生回答，教师板书，画出直角坐标系及角的终边上任意一点，观察学生回答情况，进行引导，由学生给出定义）生：（坐标化）如图，建立平面直角坐标系，设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限在的终边上任取一点P，设点P的坐标为（x，y），它与原点的距离过作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为X，线段的长度为y则： 师;回答的非常棒。初中锐角三角定义在直角三角形中我们认定为“直角三角形版定义”，那么刚刚这个定义就可称之为“直角坐标系版”看到这个定义啊让人激动不已啊，这个定义好啊？谁来说说这个版本定义好在那里？生：用坐标师：好,这是革命性的突破啊，我们打破了三角函数的束缚，角终边上的点开始翻身做主了，还有一个关键这个坐标P是任意的对吗？意思是不是P点不论在哪都可以？生：是的师：问题来了，对于确定的角，P点变了，比值会不会改变？话句话说这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？追问：锐角大小发生变化时，比值会改变吗？（先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点O旋转即在锐角范围内变化，三个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随的变化而变化. xOMPy（图3）PM引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 得出结论(强调)：当为锐角时，三个比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.）（情景3）师：看来影响函数值变化的是角，而不是点P位置，那么P点在什么位置时可以让定义更简洁？（引导：我们注意到比值是个分数）生：r=1（设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）预计的困难：由于学生第一次接触单位圆，对它所能起的作用不了解，所以需要教师的引导。也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，三个比值不以点P在 的终边上的位置的改变而改变大小我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： 单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆师：上述P点就是的终边与单位圆的交点， 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示这个升级版定义是的定义表达式更加简洁，这也是我们数学一直追求的，随着后面学习，大家就会感受到这个定义绝不仅仅是简洁。（情景4）推广到任意角：以上三个版本我们定义的都是锐角，我们角的概念推广之后范围是范围是全体实数R，那锐角范围之外的教的三角函数该如何表示，比如1500角，“直角三角形版本”定义还能行吗？那我们观察一下升级版可以吗？升级版不需要直角三角形（演示课件，随着角的变化，引导学生分析，终边有，交点就有，坐标有，三角函数值就有，此外观察各象限三角函数值的正负变化，最终认可这个定义可以推广到任意角。）（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。）结论：如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：aA(1,0)_OP(x,y)yx（1）叫做的正弦(sine)，记做，即 ；（2）叫做的余弦(cosine)，记做，即；（3）叫做的正切(tangent)，记做，即师：在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？ （设计意图：通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。预计的答案：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。说明：（1）当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义，除此情况外，对于确定的值，上述三个值都是唯一确定的实数（2）当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值（3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数【展示与点拨】例1：求的正弦、余弦和正切值（设计意图：巩固对定义的理解。）口算：下列三角函数值分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。探究问题:请把三角函数值在各个象限的符号标出： （ ） + （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）x （ ） （ ）x （ ） （ ）x 发现：_。三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y0，点P在第三、四象限时，纵坐标y0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的从而完成上面探究问题即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”（设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. ）例2、不求值。你能判断下列三角函数值的符号吗？（1）；（2）；（3）【课堂小结】下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？（设计意图：通过问题小结不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值）若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等拓展1：3个数可以形成6个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他3个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。拓展2：通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。【布置课外作业】1书面作业：习题4.3第3、4、5题.2认真阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，特别学习他对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的同学可以上网查阅欧拉的相关情况.