材料力学第六版答案第06章

6-1求图示各梁在mm截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。题 6-1图解：(a) M 2.5KN - m M 3.75KN - mm - mmaxnd 464n x 104 x 10-864- 490.8x10-8m42.5x103 x 4x10-2c a490.8 x 10 -8- 20.37MPa压）cmax3.75 x 103 x 5 x 10-2490.8 x 10 -8- 38.2MPa(b) M - 60KN - m M - 67.5KN - m m - mmax(c) 题6-1图bh312 x 183 x 10-812-5832 x 10-8 m 4125832 x 10-8-60 x 103 x 6 x 10-2 = 61.73MPa(压)cmax=册5 x 103 x9 x 10-2 = 104.2MPa5832 x 10 -8c)Mm-m二 1KN - m M 二 1KN - mmaxJ = 25.6 x 10 -8 m 4W = 7.8 x 10 -6 m 3 x丁 1.52 - 0.53 二 0.99如=38.67 MPa压）1 x 103 x 0.99 x 10-225.6 x 10 -8cmax1 x 10325.6 x 10 -8=128.2 MPa6-2图示为直径D=6 cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d=4cm,求轴内最大正应力。兀D 3n x 6332解：4）x 10 -6 x(l - (4)4 I 6丿=17.02 x 10 -6 m 3Wx2nD332n x63 x10-632= 21.21x10-4m3= 52.88MPa= 55.26MPacmax 140 x 10310170 x10-8x 9.65 x10-2= 37.95Mpa拉）0.9x103c =117.02 x 10 - 61.172 x103c =121.21 x 10 - 6c = 55 .26 MPa max6-3 T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。 已知I =10170cm4, h =， h=。z 1 2解：A截面:c =-40 x 103 x 15.35 x 10 - 2 =-50.37 Mpa (压)min 110170 x 10 -8压20 X 103cmax 2=10170 x 10-8 X 15.35 X10-2 = 30.19Mpa （拉）min 2=-XX7 X 9-65 X10 -2 =-18-98 丽（压）6-41）一根直径为d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）2）若d=1mm，材料的屈服极限c =700MPa,弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生残s解：PEJEJEnd 4M=P32 DM32MdcE -maxWnd 3DE - d210 x109X 1 X 10 -3D 余变形的轴径D。二 0.3m 二 30cm700 X10 6矩形悬臂梁如图示.已知1= 41 _ Mcs6-5m，b2=,q=10kN/m，许用应力o=10Mpa。 h3试确定此梁横截面尺寸。解：M =1 ql2 = 1 x 10 x 42 = 80KN - m max 2 2h x h 2 3_=h 3=980 X 10 310X106h2=60.416 m = 41 .6cm27 . 7 cm6-6 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若o=160MPa,试求许用载荷P。解：W= 237 cm 32PMKN - mmax333解：110X(30 x 20 3130 x 12 31=1568 mm 2m = L W 二 160 X 106 X 237 X 10-6pL 2X 160 X 237 二 56880KN6-7压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为 45钢，b =380 MPa,取安全系数 s1.5 。试校核压板强度。M = 18 x 10 3 x 20 x 10 -3 = 360 N - mM 360G =W 1568 X10-9二 229 .6MPa 200 cm 3)xM 图）6-9害U刀在切割工件时，受至IP = 1k N的切销力的作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀 内最大弯曲应力。解：M = p x 8 x 10 - 3 = 8 N - miM = p x 30 x 10 -3 = 30 N - m nW = 2.5 X 13 $ = 70.42 mm 31 64 x 15 26= 150 mm 3G ）= 114 MPai m axW70 .4 x 10 - 9i（） M30匕丿=n= 200 MPan max W150 x 10 -9n6-10图示圆木，直径为D,需要从中切取一矩形截面梁。试问（1）如要使所切矩形截 面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？ （2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又 分别为何值？bh2 b(D2 - b2)解：W =飞=D2 - 3b2=06从强度讲：b = 0.57735Dbh2b J(D2 - b2)312J =12(D2 - b2)2 + b X 2 X (D2 - b2)2 X (-2b) = 0从刚度讲fb = 0.5DL h = 0.866D6 11 T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍, 巳知h二12cm, t=3cm,试确定其翼板宽度b之值。c压ymax = 上 3 解：c拉ymax下盲3 y、y -py =h=12上下S 二(b x 3)(3 - 2) - (9 x 3) x 4.5 二 09 x 3 x 4.53 x 1.5=27 cm6-12图示简支梁，由工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵向正应变e = 3.0 x 10-4，试计算梁的最大弯曲正应力。心。已知钢的弹性模量E=200GPa, a=1m。解：c 二 Ee = 200 x 109 x 3.0 x 10-4 二 60MPaAcmaxcAmax3/43/8c二 2cA 二 2 x 60 二 120 MPa33M 图）6-13试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。解：11截面Q 二 3.6364 KNM = 3.6364KN - mbh 3J =127.5 x15 3=2109 .375 cm 412彳6364 X103 x 3.5 x 10- 22109.375 x 10-8=6.03 MPa 3.6364 x 103 x 7.5 x 10-22109.375 x 10-8=12.93 MPaQS3.6364x103 x(4x7.5)x5.5x10-6Ta Jb2109.375 x 10-8 x 7.5 x 10-2= 0.379 MPa6T4计算在均布载荷q=10 kN/m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。解：M =丄 ql 2 = x 10 x 103 x 12max 88=1.25 x 103 N - mQmax=2ql = 2x 10x 103 x 1=5 x 103 NGm ax1.25 x10 3x 5 3 x 10 - 632101 .86 MPa在跨中点上、下边缘Tmax5 x 10 33 兀x 52 x 10 -4425.46 MPa在梁端，中性轴上解：max6-15 试计算 6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。3 qa 2.TmaxQS _22.2 x 103Jt15.4 x 10-2 x 6.5 x 10-3_ 22.12MPa6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示面尺寸，设h : b _ 2:1材料的许用应力o=10Mpa。试选择该梁的截（Q图）（M图）解：R _ 19 KN R _ 29 KNAB1bhh3W_2 612GM 14 x 10 3抽m axWh 3h_ 25 . 6 cmV114 x 103 x 12 _ 0.256 m310 x 10 6b _ 12 .8 cmT max = 1.5 晋=1.5 X 12.8 X 25.61 X 10 - 4 = 0.961 MPa 6-17试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力。=160MPa,T =80Mpa。解：_ 125 cm 3W _ M _ 20 x 1000160 x 10 6取 I ， W _ 141 cm 3 16J : S _ 13.8(cm )QSJt15 x 10 313 .8 x 6 x 10 - 3_ 0.181 MPa -2- 438cm36-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h。用应变仪测得其上边的纵向线应变 =-42 x 10 -6，下边的纵向线应变二14 x 10 -6。试求此截面形心的位置。12M - y解:C上J = E-ibM - y E =E 12J=3y42二y142yi + y 2=h3y + y = h22:.y = h y = h24146-20简支梁承受均布载荷q,截面为矩形b x h，材料弹性模量E,试求梁最底层纤维 的总伸长。q1 32 Ebh 2旦J1Ebh 2 06-21矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分:（1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）；（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？解：3Q2A3 qx2 bh（2）由e产生的合力为TT =J i e bdx =J i3 竺 bdx =型0 x0 2 bh4h由弯曲产生的轴间力为 Nq1 2N = Jh/2b b dy = Jh/2 Mmax b dy = Jh/2 bdy (自证) 00J0_h 3证12j q1 24h6-22正方形截面边长为a,设水平对角线为中性轴。试求a（1）证明切去边长为9的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；（2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算打时 可按图中虚线分三块来处理）。解：原来正方形：0 maxWz0=寻a 3=-1179 a 3削去 x 后：J = (a -x)4 + 2 z12/ K 、/ a x(/2 - x)( )32k a - x (a - x)2ymax(a - x)2(a + 3x)12dW = 0 dx9 x 2 - 10ax + a 2 = 0=2(-a)2(Ea) = 土2a3 = 0.1397 a312 9981GmaxGmax原0.1179=0.844(倍) W 0.1397z6-23悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。横截面为正方形a x a, 正方形的对角线。试计算最大剪应力Tma值及其所在位置。中性轴即解：Q = (P + ql)QST 二J bz_ a 4_12S =(丰 a - y) x 耳 a - y) x y + 話P + ql 辭 )J2 丄 2 ) ( a y) x (a +y)a 426326( P + ql) 122=-(6a2 +石ay- 3 y2)a4+ Q 2 - x= 12J22 迈空=0 dyTmax(P + ql)八迈 返)x (a a) x a4 2 八;22 )28-2 - ( a - a)12 2 8v222 迈、9( P + ql)a 一 a) x ( a + x a)=QS “Jbz286388 a 26-24 试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。解：6-25确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。设环的平均半径R0壁厚t,设壁厚t与半径R0相比很小。解 dS = R dq -1 - R - sin q解： 0 0S = 10 tR 2 sin qdq = tR 2(1 一 cos 0) 0 0 0J = 2L tR dq(R sin屮)2 = tR 3 兀 z 0 0 0 02卩tR 2(1 -cos0)R -R d0e = o 000= 2RtR 3 兀006-26 试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置(当在垂直于对称轴的平面内弯曲 时)。假设厚度t与其他尺寸相比很小。解：e i(2b)2 h 2t=4 Jzb 2 h 2 te 114 Jzzh22(3bXt)X Wth 3123b2h2t3b2h2t9b24Jth 3112+ 2(3bt 竺)4h + 18 b6-27在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b=常量，试求截 面高度沿梁轴线的变化规律解：ql 2 =2bh 2063 ql 2bh 201qx 22 _bh 2x63ql 2=b -l bh 203qx2 3ql2b = 一x bh bhx0x 2 h2xl 2h 207h 2 x 2 h xh ox 12 l6-28图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P作用，梁的尺寸1、b、h均为已知。试计算梁 内的最大弯曲正应力。解：M (x) = P - xh( x) = h(丄 + x)/ 22(l1、2h (- + x)/-I 22丿66 l 2 Px4bh 2 (+ x)22db (x) = 02dxl l l 、2bm ax1 pi2bh 23 Pl4 bh 2( l l h (- + -)/丄22(2 2 2 丿 66-29当载荷P直接作用在跨长为1 = 6m的简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超过容许值30%。为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD,试求此梁的最小跨长a。解：P| x 0.70 = Px42x = 0.35 1 a = 1 2 x = 1 0.71 = 0.31 = 1.8 m6-30图示外伸梁由25a号工字钢制成，跨长l=6 rn，在全梁上受集度为q的均布载荷作 用。当支座截面A、B处及跨度中央截面C的最大正应力。均为140MPa时，试问外伸部分的长 度及载荷集度q等于多少？解：Ra=ql + qa +8qa22l1=qa 22(3 ql+ qa +qa2lqa x（I+2）ql 2 qa2 16M = M n l = .J12 - aACa = -1= 0.2887 l = 1.7322 m12查表：1qa 2 = 140 x 10 6 x 401 .883 x 10 -6 22 x 140 x 401.8831.7322 2=37.503KN /mMMA（M图）6-31图示悬臂梁跨长L=40cm，集中力P=250N，作用在弯曲中心上，梁的截面为等 肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了 b和工之值。max max解：Jz4043841212=39571 .999 mm 4M = Pl = 250 x 0.4 = 100 N - m maxQ = 250 Nmaxbmax100 x 2 40 x 10 - 3239572 x 10 -12= 71.46 MPaTmaxQSJt250 x 40 x 2 x 2 x 20 x 10 -9239572 x 10 -12 x 2 x 10 -3= 3.57 MPa6-32圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db：d=3:1,在自由端承受集中力P作用，试ba 求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。解：M (x) = PxW ( x) =l1丿( l ) 3 da - ( + x)兀32M (x)W (x)dcl=0 x =dxm 4cmax64 Pl27 x 兀，da 38 x 3227 兀 da 3Pl32 Plc =b 兀(3da)327兀da 332cmax = 2 cb6-33工字形截面的简支钢梁，跨度l = 4m，跨度中央受集中载荷P作用。如材料屈 服点c =240MPa，安全系数n=，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。S解：200 x 50 + (y - 50) x 25 二 100 x 50 + 1(300 - y ) - 50良 25二 50 mmS= 200 x 50 x 25 = 25 x 10-5 m 31S 二 100 x 50 x 225 + 25 x 200 x 100 二 162.5 x 10 -5 m 32M = 240 x 106 x (25 x 10 -5 + 162 .5 x 10-5) = 450 KN - m maxPjx4Mmaxl4 x 4504二 450 KNP=令=281 -25 KN6-34矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P。论确定塑性区域的长度和塑性区城 边界方程式a二f (x )。解：W = bh 2z6W = 1 bh 2jx 4M丄=1.5M =1 PlMjx 4故sM = x (丄1 - e)S 221 Pl4(l - e)221.5l - x42Plbh 2M = J o ydAaA=2 b J 2 艺0ahy 2 dy + 2b J 2 ydys a_2bh 2 ba 2)ba 2=o (+s 644将o及M代入上方程: sa12h2 xa2 =3la = h 淫l