物理竞赛复赛模拟卷及答案

物理竞赛复赛模拟卷1.试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系:E2 p2C2 + E202.在用质子（:戶）轰击固定锂（；力）靶的核反应中，1计算放出a粒子的反应能。2 如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到a粒子的能量有多大？有关原 子核的质量如下：屮，；严，;Ll, 7.015999.图 51-213 X 10-2永g,电离能E = 13.6eV = 2.18xl0-18Jo4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W,内放两个重量均为G的光滑球，圆筒半径为R,球半径为且rR2r，试求圆筒发生倾倒的条件。图 11-1365. 两个完全相同的木板，长均为L,重力均为G,彼此以光滑较链A相连，并通过光滑 较链与竖直墙相连，如图甲所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处施加外 力？所施加的最小外力为多大?6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、 29,其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各 绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如下图，绞接点3承受有竖直向下的压 力P/2,点1承受有竖直向下的压力P,求绞接点3和4间杆的内力。7. 一平直的传送带以速度v=2m/s匀速运行，传送带把A点处的零件运送到B点处,A、 E两点之间相距L=10m,从A点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s,能送到E点, 如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到E点，要让零件用最短的时间从A点传 送到E点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍， 则零件传送时间为多少10/s2？8- 一物体以某一初速度v开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s,当其位移为 2/3s时，所用时间为5；当其速度为l/3v时，所用时间为亡2，则有什么样的关系？图 12-319- 一根长为lm具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后, 把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。10- 静止的原子核衰变成质量为m,rn2，rn3的三个裂片，它们的质量损为A m。假设三裂 片中每两片之间速度方向的夹角都是120 ,求每个裂片能量。11. 玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液 体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为珥，液体对绿光的 折射率为丐。当容器壁的内、外半径之比r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？12. 1用折射率为J亍的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大 于a,内外表涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积 为多大？注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物 质的吸收和外外表的反射。图33-114所示是经过球心的截面图。2如果外半径b趋于a时，第1问中的答案还能成立？为什么？13. 真空中有一个半径为R的均匀透明球，今有两束相距为2d(dWR)对称地即两光束 与球的一条直径平行并且分别与其等距离射到球上，试就球的折射率n的取值范围进行讨 论1n取何值时两束光一定在球内相交？2n取何值时两束光一定在球外相交？3如果n、d、R均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。14.一点电荷+q和半径为a的接地导体的球心相距为h,求空间的电势分布。15.电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R, CD为通过半球顶点C与球心0 的轴线，如图41-91。P、Q为CD轴线上在0点两侧，离0点距离相等的两点，已知P点的 电势为U,试求Q点的电势U。PQ1.试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系:证明：E2p2c2 =E2 p2C2 + E20-(muc)2()m2c2 (=m2c2 Y?2 U2 厶 _Q Y?2-U21巴C2加2c4XL2-0202 _c2=m2c4 = E20 0E2=p2C2E2读者可试为之，从E2-E：入手证明它等于P2C2。2.在用质子（:戶）轰击固定锂（力）靶的核反应中，1计算放出a粒子的反应能。 如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到a粒子的能量有多大？有关原图 51-21子核的质量如下：H，-,严,;屮,7.015999.3122静质量M0M1M3M2动能E0E1E3E2由总质量和总能量守恒：EEEEM+a- + M + M + 二+ M +C21 c22 C23C2vLz+i P4 屁+4 He由反应能Q的定义得:解：1核反应方程如下：Q = (E +E )-( +E)2301= (M +M ) (M +M )c20123二(7.015999 -1.007825)-2x4.002603x931.5= 17.35兆电子伏特其中:lu-c2 =(1.66x10-27 千克)x (2.997925 x 108 米/ 秒)2=931.5 x 106兆电子伏特 兆电子伏特2设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的a粒子：核), 应沿入射质子的方向对称分开，如图51-21所示。由动量守恒定律有p = p + p1 23矢量卩出巴 合成的三角形，两底角皆为又因Mi=M3,因而有E = E2 3已知反应能兆电子伏特，且Q = E2+E3E1其中兆电子伏特，可得E =E =(0 + E)2321= 1x(17.35 + 1) 2兆电子伏特 即反应所生成的a粒子其能量为兆电子伏特。a粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为9，因此P2 = P2 + P2 2p p COS031212由于P2 = 2ME,得：M E -ME E - 2M M E E cosO3 311221212代入反应能Q的定义式：Q = E +E -E231M 1 + 3-M丿3 7M )i-M丿3 72jM MEEE一i一_cos91M3将上式中质量数改为质量比得其中A =11A =A =423代入上式:r r a)i+E -EA2A11 “3丿J3丿Q =2JA AEEcos9A332E -Q-E24 1COS9 二.所以JeeT7 1 232x9.175 17.35 xl一 二 0.08251x9.175所以0 =85 16由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到：的能量近似就是兆电子伏特。3 X 10-2永g,电离能E = 13.6eV = 2.18xl0-18Jo解：处于基态的氢原子能量为E1 = EU ,第二激发能量为疋2 一被氢原子吸收的最小能量子为=E12 22= 1.16x1018/我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，则碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是%初动能和末动能之差为mU2T这个值应等于最小的能量子AE 二 m24因此u 二 i4AE/ =6.26x104 齐 /m在非弹性碰撞后，两个原子的速度为- = 3.13xl04 V2厶此题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有6.26x104 :3x10 =2.09x10-4 =2.09x1 oX两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W,内放两个重量图 11-136均为G的光滑球，圆筒半径为R,球半径为1,且rRQ（2）将1式代入2式有2G（2R-r）WRG RW R-r）G R假设该圆筒倾倒必须有*26 厂）。讨论：1从答案中可以看出，当G大W小，r与R很接近，就容易倾倒，这也符合 重心高、支面小稳度就小的结论。2如果是一个有底圆筒，则在没有其他力推它的情况下，就绝不会倾倒。请同学们 想一想，这是为什么？5. 两个完全相同的木板，长均为L,重力均为G,彼此以光滑较链A相连，并通过光滑 较链与竖直墙相连，如图11-245甲所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何 处施加外力？所施加的最小外力为多大？分析：要使两板均处于平衡状态，外力只能作用在板2上，作用点应位于较链A与板2 的重心之间，以便使板1的右端受到向上的作用力，方可使板1也处于平衡状态。为使作用力最小，外力应与木板垂直。解：如图11-245乙、丙所示。为使板1达水平平衡状态，其右端A应受到向上的人作用，人的施力物体是板2左端。根据力矩平衡条件有1FL = G-L1 2F =-G解之得12隔离木板2,其左端受到Fi （与人为作用力的反作用力及重力mg作用，为使板2呈水平且平衡，外力F的作用点应在人和G的作用点之间。设F作用点距A为x,选F作用点B为转轴，根据力 矩平衡条件有Fx-L-xF =-G将12代入上式得-Gx =(i-L-xU 丿Fi G丙图 11-2451匕丿解之得x = L3一F = F +G = -G板2所受合力应为0,有12点评：此题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法，尸1和F的方向及作用点均由 此方法推出。此题两次使用隔离法。6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多根9,其中绞接无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、2点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方 向上的间距和沿竖直方向上的间距如下图，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2,点1承受 有竖直向下的压力P,求绞接点3和4间杆的内力。解：由于点9可沿水平方向无摩擦滑动，故屋架在点9处所受外力只可能沿竖直方向, 设为N9o由于屋架所受外力P/2和P均沿竖直方向，则屋架在点8所受的外力也只可能沿竖直方向，设其为Ng。以整个屋架为对象，列各外力对支点8的力矩平衡方程，有Pl + = .2l = N -4/29所以Ng的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有PN +N 二P + _892N = P + L N =P所以829的方向竖直向上。假设将绞接点5、6、7、9这部分从整个屋架中隔离出来，则这部分受到杆15、杆47、 杆36的作用力，这几个作用力均沿与杆15平行的方向，设其以一个力T表示，则这个力T 也必与杆15方向平行。此外，这部分还受到杆25的作用，设其为T25,显然T25的方向应 沿水平方向；这部分还受到支持力Ng的作用。这样，这部分就等效为受T、T25和Ng三个 力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角形，由前述此三力的方向关系可以 确定，这一三角形只能是如图11-506所示的三角形，由此三角形可见，Ncos 45。+ = P2杆25对点5的作用力方向水平向左，可见杆25中的内力为张力。又假设取绞接点8为研究对象,它受到支持力N&和杆82对它的作用力Ta?和杆81对它的作用力Ta】，由于此三力平衡，则N&与Ta?的合力必沿杆81的方向，可见应有T =N =P82 8且Ta?的方向应水平向右，即杆82的内力为张力。再假设取绞接点2为研究对象，由以上分析知，其左、右两水平杆对它的作用力均为拉 力，其大小分别为P和P/2。而另外只有杆24能对点2提供水平方向的分力，则为使点2 在水平方向受力平衡，杆24作用于点2的力必沿由2指向点4的方向，进而为使点2在竖 直方向上受力平衡，则杆12对点2的作用力必沿竖直向下的 方向。综合上述可得点2的受力如图11-507所示。由图知即杆24中的内力为张力，其大小为2最后以点4为研究对象，它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。此三力应互相平衡。现以T42、T47、T43表示这三个力，由于T42的方向是确定的杆42的内力为张力，则T42 必沿由点4指向点2的方向，而T47、T43又只能沿对应杆的方向，则此三力只可能取如图图 11-50811-508所示的方向。由点4在水平方向的受力平衡，应有T cos45 =T cos45所以4247由点4在竖直方向的平衡，应有4742T =T sin45 + T sin45。=2卩 sin4543424742=P即杆43中的内力为张力，大小为P。7. 一平直的传送带以速度v=2m/s匀速运行，传送带把A点处的零件运送到B点处,A、E两点之间相距L=10m,从A点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s,能送到E点,如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到E点，要让零件用最短的时间从A点传送到E点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍， 则零件传送时间为多少g=10/s2？分析：零件在传递带上加速运动，当零件与传送带的速度相等时，就与传送带一起作匀 速运动，这就说明了传送带的速度大，它加速的时间长，由于传送带的长度一定，只要零件在这有限的长度内一直是加速的，在此加速过程中得到的最大速度也就是传送带要使零件一 直加速具有的最小速度，假设传送带的速度再加大，也不能使零件运送的时间变短。反过来 看，假设是零件以一定的初速度滑上传送带，它在传送带上运动的时间有一个最大值和最小 值，显然，最小值就是它在传送带一直是加速的，而最大值就是零件在传送带上一直是减速 的，同样地，减速过程中对于传送带的速度也有一个临界值，当传送带小于这个临界值时， 零件到达传送带另一端的时间不会变。这两个临界值是值得注意的。解：零件的初速度为零，放在传送带上，受到传送带对它的滑动摩擦力，提供它作加速 运动所需要的外力，即f = mg=ma,a = g。假设零件一直是加速，到达E点的速度为L = -由题意可知 2,2L2x106mls = 3.6m/s 2m!s显然这是不可能的，当零件与传送带的速度相等时，它们之间的滑动摩擦力消失，零件L-上+ “与传送带一起作匀速运动，由题意可知。v ,代入数据后解得a = lm/s2c要使零件能较快地从A点到达E点，则零件在A、E之间应该一直加速，也就是零件 到达E点时的速度带，而v = J2 x 1 x 10加/ s = 2&5加/ s v v = 2J5m/ sBm? 带 Bmt = 二 2頁 s 故最短的时间mln假设传送带的速率提高一倍，则零件传送的时间不变，这是因为零件一直是加速的，由于加速度和加速的距离一定，故运行的时间也就一定了，还是2J5s。8. 一物体以某一初速度v开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s,当其位移为2/3s时，所用时间为3当其速度为l/3v时，所用时间为I?,则有什么样的关系？解法一：设物体的加速度为a大小，由速度公式得1-v = v - at3 0 0 2有根据位移公式得2 1 s = vt - at 23 oi2i且此两式联立得V2S 二Q- 2a解之得2v2cat 2 -2v t +一 二 0 i o 1 3aV J0T = Ll因为该物体运动的总时间 ,因此有T ,由此知只能取oV0比较1、2式可知I 解法二：物体在1时间内的位移为物体在2时间内的位移为4v280- = S9a 9比较 、 式可知S1S2因而其对应的时间应满足解法三：根据题意作出物体的卩-t图像如图12-31所示，显然，当经过时间I时，发生2的位移早已超过了I原因是，根据图中AABCAADO,由此可知，AABC表示的位移为9 ,即在I时间内发生的位移为9 ,所以，9- 一根长为lm具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后， 把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。解：埋入水中后，玻璃管中水柱为。取出水面时，有一小部分水流出。如留下的水柱高 度为h,水管内的空气压强可用玻意耳-马略特定律算出：PV P（L/2）A PLA、Z A式中L=lm, A为玻璃管的截面。玻璃管外的压强等于玻璃管内水柱和空气的压强之和。PL 1其中P =103kg/m3为水的密度。解此方程，得出h = 0.475m = 47.5cm.这从物理上看是可接受的数值。10-静止的原子核衰变成质量为m3的三个裂片，它们的质量损为Am。假设三裂 片中每两片之间速度方向的夹角都是120 ,求每个裂片能量。解：由题建立如下坐标系图51-1原子核衰变释放能量：人疋二A%c2由能量守恒知:由轴方向动量守恒得：Psim6Q Psim6Q = 0P =P.23又由y轴方向动量守恒得：P2sim3Q + P3sim3Q 片=0 P +P = 2P231+ 2m33图 51-1如宀竺+竺+空2m1 2m 2 21 1 1 話2（丄+丄+丄）1 2ml 2m22厂2Amc2 mm mP2 = 1_3_31 m -m + m -m + m -mAmc2m m122313E =IL =kl 2m肌严? + 加 2加3 + mim2k22m2Ek3Amc2mmm严 2 + m2m3 + 加i 加311. 玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液 体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为珥，液体对绿光的 折射率为比。当容器壁的内、外半径之比r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？分析：所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C 点处沿容器外壁的切线方向射出，即此题所描述为折射角为90的临界折射，因为题中未给出件、*的大小关系，故需要分别讨论。解：1当 n时因为是要求厂:尺的最小值，所以当nfn2时，应考虑的是图33-104中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有sin i 12 sin 90 n1设此时容器内壁半径为厂0,在直角三角形ECO中，血1=厂。/尺。当厂 r0时，荧光液体中很多点发出的光都能 在C处发生临界折射，所以只要满足r / R 1/ni即可看到壁厚为零。此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁，只要在CE及 其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足的条件 仍然是rlRlnY当nln2时因为件2,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为9的临界折射, 因此当r = r0时，所看到的壁厚不可能为零了，当rr0时，应考虑的是图33-105中AECD 这样一种临界情况，其中AE光线的入射角为90 , BC光线的折射角为此时应该有sin 90 nsinrn1 2在直角三角形OBE中有血=OE/OB因为图33-104和图33-105中的I角是相同的，所以OE = r0,即sin 90 n将件代入，可得当 时，可看到容器壁厚为零。上面的讨论，图33-104和图33-105中B点和C点的位置都是任意的。故所得条件对眼12. 1用折射率为的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空心球，b远大于a,内外表涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此图 33-114球时被吸收掉的光束横截面积为多大？注意：被吸收掉的光 束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质 的吸收和外外表的反射。图33-114所示是经过球心的截面 图。2如果外半径b趋于a时，第1问中的答案还能成立？为什么？分析：1如图33-115所示，不被。球吸收的极限光线是与。球相切的光线AE,因此相距为R的光线在b球面折射后折射光线AB恰好与。球相切，则有R = bsmi又因为所以R = na = y/2a图 33-116在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行所以R = nbsinr. asmr =；-b , n= n0时, 两光线将比图示情况偏折得更厉害图中角T将更小，两光线的交点必在球内；当nsd解： 当n2,对于任何示来说，都有nn0,即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球内相交。d2当n41时，对于任何斤来说，都有nn0时，两光线的交点在球内；当n=n0时，两光线的交点在球面上；当nnQ时，两光线的交点在球外；14. 一点电荷+q和半径为a的接地导体的球心相距为h,求空间的电势分布。分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此处导体是一导体球，而非平 板。我们自然地猜想，球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？假设可以，该电荷应在何处？解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势如图41-85 (aD来看, 感应电荷与-电荷一/相当。据对称性，一/应在z轴上，设其距球心力。如图41-85 (bL点电荷+q与像电荷一/在P点的电势为u=k , q - ( q.J厂2 +加2q/zcos0 J厂2 + lii - 2rAfcosO 丿由球面上U=0,即r=a处。U=0,有q二d+ 加 一 2ra/zcos0 、i：q2 + h2 一 cosB上式含有参量/与力，因而问题化成能否找到两个参量/和力，使上式对于任意的都 能满足。两边平方q22 + 力2) 2qahfhcosQ - q2 C2 + 7/2)- Iqiah cos0要使此式对任意都成立，必须q2h = q2h图 41-85 a1 。2 n = ha= qh+ Z图 41-85 bhf = hq = +q其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在q处，其对球内空间作用与感应电荷相同第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一结 果有很好的应用。虽然它看起来显而易见。球外空间电势为匕2 +一丫 21(a丿-2/zrcos0+ 厂2 2r/zcos0球内空间电势为零。讨论：假设导体球绝缘，并且原来不带电，则当导体球放在点电荷q的电场中时，球将感应等量的正负电荷，球外空间的电场由点电荷q及球面上的感应正负电荷共同产生。这时 感应电荷的奉献，除了负电荷根据上面的讨论可由球内Z轴上的象-/代替外，还应有一个 感应正电荷的像为了保持球面等势，这个像的位置位于球心。那么对于球面上任意一点U=K=K二常数从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷q在球心的电势。实际上，由于球 外表带电总量为零，这一点是显而易见的。如果q移到无限远，即h*,同时增大q,使在球心处的电场EQ=kq/h2保持有限。这时，像电荷一 /的力无限趋近球心，但Q，h，= a3q/h2保持有限，因而像电荷/和- /在球心形成一个电偶极子，其偶极矩为ff Z3 ffP = qh=E = 4ti aEk oo o o无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场E。可看作是均匀的。因此一个绝缘的金属球在匀强电场中受到感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一E个处在球心，电偶极矩为K。的偶极子。15. 电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R, CD为通过半球顶点C与球心0 的轴线，如图41-91。P、Q为CD轴线上在0点两侧，离0点距离相等的两点，已知P点的 电势为U,试求Q点的电势U。PQ分析：此题关键是将其转化为空间对称情形，而后用电势叠加原理求解。解：设想一匀匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均 匀带电球面，由对称性可知，右半球在P点的电势“卩等于左半球在Q点的电势，即所以而uP+up正是两个半球同时存在时p点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都相k如等，其值等于 R , k为静电力恒量，所以得16