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第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用1.1.偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性有限性有限性对称性对称性显小性显小性抵消性抵消性一定观测条件下有限次一定观测条件下有限次观测值中，其绝对值不观测值中，其绝对值不超过一定界限超过一定界限绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多大的误差出现的机会多观测次数无限增多时，偶然观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零误差的算术平均值趋近于零绝对值相等的正、负误差出绝对值相等的正、负误差出现的机会大致相等现的机会大致相等第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用1.1.偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性制定测量限差的依据制定测量限差的依据判断系统误差（粗差）判断系统误差（粗差）第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用2.2.精度指标及应用精度指标及应用精度：是指误差值分布的密集或离散程度，它反映了观测结果与中数（估计值）的接近程度。误差分布密集误差分布密集误差分布离散误差分布离散观测质量情况？观测质量情况？第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用 准确度：反映观测结果系统误差大小的程度。精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用1.中误差中误差：在一定条件下，对某一量进行在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值次观测，各观测值真误差平方和的平均值开方，用真误差平方和的平均值开方，用m表示。表示。nnmn222212方差方差n2第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用例题：例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次次观测，各次观测的真误差如下：观测，各次观测的真误差如下：A组：-4，-3，0，+2，+4；B组：-6，-1，0，+1，+5。解解：0.354203-)4(2222）（）（）（Am5.355101-)6(2222）（）（）（BmBAmm 说明说明A A组的观测精度比组的观测精度比B B组高组高第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用2.2.允许误差允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也称为极限误差或限差。称为极限误差或限差。以以3 3倍中误差作为偶然误差的极限值倍中误差作为偶然误差的极限值m3限m2限要求较高时，也常采用要求较高时，也常采用2 2倍中误差作为极限误差倍中误差作为极限误差第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用例题：例题：分别丈量了分别丈量了1000m1000m和和200m200m两段的距离，中误差两段的距离，中误差均为均为 0.2m 0.2m，试问哪个测量的精度高？，试问哪个测量的精度高？3.3.相对误差：相对误差：观测值中误差的绝对值观测值中误差的绝对值与观测值之比。与观测值之比。MmDDmK115000110002.01K100012002.02K第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用1.1.观测值的和或差的函数中误差观测值的和或差的函数中误差 yxz22yxzmmmnxxxz2122221nxxxzmmmm3.3.误差传播定律误差传播定律第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用例题：例题：测定测定A A、B B间的高差间的高差 ，共连续测了，共连续测了9 9站。设测量每站。设测量每站高差的中误差站高差的中误差 ，求总高差，求总高差 的中误差的中误差 。921hhhhABmm692nmmhABhmmm2ABhhm第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用2.2.观测值倍数函数的中误差观测值倍数函数的中误差设函数为：设函数为：kxz xzkmm例题：在例题：在1:10001:1000比例尺地图上，量的比例尺地图上，量的A A，B B两点间距离两点间距离 ，其中误差，其中误差 ，求，求A A、B B间的实地间的实地距离距离 及其中误差及其中误差 。mmSab5.26mmmab2.0ABSABm解：解：mSSabAB5.261000mmmmmmmabAB2.02002.010001000第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用3.3.观测值线性函数的中误差观测值线性函数的中误差设函数：设函数：nnxkxkxkz22112222222121nnzmkmkmkm4.4.一般函数的中误差一般函数的中误差设有函数设有函数nxxxfz,212222222121nxnxxzmxfmxfmxfm第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用例题：例题：已知矩形的宽已知矩形的宽x=30m，其中误差，其中误差 ，矩形的长矩形的长y=40m，其中误差，其中误差 ，计算矩形，计算矩形面积面积A及其中误差及其中误差 。mmx010.0mmy012.0Am解：已知计算矩形面积公式解：已知计算矩形面积公式对各观测值取偏导数对各观测值取偏导数yxfxyf,根据误差传播定律根据误差传播定律22222222254.02896.0012.030010.040mmxfmyfmxyA21200mxyA2254.01200mmA例题：例题：水准测量中，视距为水准测量中，视距为75m75m时在标尺上读数的中误差时在标尺上读数的中误差 (包括照准误差、气泡居中误差及水准标尺刻划误差）。包括照准误差、气泡居中误差及水准标尺刻划误差）。若以若以3 3倍中误差为允许误差，试求普通水准测量观测倍中误差为允许误差，试求普通水准测量观测n n站所站所得高差闭合差的允许误差得高差闭合差的允许误差。mmm2读解：解：普通水准测量每站测得高差普通水准测量每站测得高差 则每站观测高差的则每站观测高差的),2,1(nibahiiimmmmmm8.2222读读读观测观测n n站所得高差站所得高差 ，高差闭合差，高差闭合差 ，为已知值（无误差）。则闭合差为已知值（无误差）。则闭合差 的中误差为：的中误差为：nhhhh210hhfh0hhf)(8.2mmnnmmhf以以3 3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：)(88.23mmnn允补充知识补充知识线性代数线性代数二阶行列式二阶行列式定义定义bcaddcbadcba补充知识补充知识线性代数线性代数例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值3526)5(2)3(6cossinsincos)sin(cos22补充知识补充知识线性代数线性代数三三阶行列式阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa补充知识补充知识线性代数线性代数例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值202123415320)1(5231)2(24034)2)(1(1225补充知识补充知识线性代数线性代数n n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211补充知识补充知识线性代数线性代数余子式余子式333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa11a的余子式的余子式3332232211aaaaM11a的代数余子式的代数余子式33322322111111)1(aaaaMA补充知识补充知识线性代数线性代数余子式余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中划掉就是在行列式中划掉元素元素 所在的行和列，余下的元素按原来所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式。的相对位置而构成的行列式。ijaijMija代数余子式代数余子式ijjiijMA)1(补充知识补充知识线性代数线性代数333231232221131211aaaaaaaaa131312121111AaAaAa202123415133113122112111111)1()1()1(MaMaMa补充知识补充知识线性代数线性代数习题习题2010100301020301补充知识补充知识线性代数线性代数行列式的转置行列式的转置把矩阵把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩的行换成相应的列，得到的新矩阵称为阵称为A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 。TA333231232221131211aaaaaaaaaA 332313322212312111aaaaaaaaaAT补充知识补充知识线性代数线性代数2010100301020301202123415补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的定义矩阵的定义称称m行、行、n列的数表为矩阵，表示为：列的数表为矩阵，表示为：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的特殊形式矩阵的特殊形式n阶矩阵阶矩阵行矩阵行矩阵),(321naaaaA列矩阵列矩阵TnbbbbB),(321零矩阵零矩阵所有元素为所有元素为0的矩阵，记为的矩阵，记为O补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的特殊形式矩阵的特殊形式对角阵对角阵),(0000000000002121nndiag单位阵单位阵1000010000100001E补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的运算矩阵的运算333231232221131211aaaaaaaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB333332323131232322222121131312121111baaabababababababaBA补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的运算矩阵的运算333231232221131211aaaaaaaaaA333231232221131211aaaaaaaaaA补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵的运算矩阵的运算333231232221131211aaaaaaaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB312321221121321322121211311321121111bababababababababaAB补充知识补充知识线性代数线性代数20121301A431102311014BAB9-2-19911补充知识补充知识线性代数线性代数矩阵运算的几种结果矩阵运算的几种结果4433221143214321),(bababababbbbaaaa3424143323133222123121113214321,bababababababababababababbbaaaa补充知识补充知识线性代数线性代数线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示434333232131342432322212124143132121111xaxaxaxayxaxaxaxayxaxaxaxay321343332312423222114131211321xxxaaaaaaaaaaaayyyAxy 补充知识补充知识线性代数线性代数逆矩阵逆矩阵设设A为为n阶方阵，若有同阶方阵阶方阵，若有同阶方阵B使得：使得：AB=BA=E，则称，则称A是可逆的，是可逆的，B为为A的逆的逆矩阵。矩阵。EAAAA11补充知识补充知识线性代数线性代数逆矩阵的计算逆矩阵的计算44342414433323134232221241312111111AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA补充知识补充知识线性代数线性代数例题：例题：343122321A求求1A解：解：2343122321A22256346221113323133222123121111AAAAAAAAAAAAA第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用权与定权的常用方法权与定权的常用方法设对设对1个已知角个已知角A(302536)进行两次进行两次不同精度不同精度的的观测，其观测值为观测，其观测值为A1=302534，A2=302542，它们的中误差分别为，它们的中误差分别为2.0、4.0。试求该角的最或是值及其中误差。试求该角的最或是值及其中误差。处理方式一处理方式一：将A1和A2等同看待，各自所占的份额数为1:1382530221AAA5)0.4(41)0.2(4141412222212AAA24.2A第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用处理方式二处理方式二：将A1和A2各自所占的份额数为4:16.3525305214AAA2.3)0.4(251)0.2(251625125162222212AAA79.1A第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用处理方式三处理方式三：将A1和A2各自所占的份额数为10:17.342530112110AAA85.1A1.当观测值的精度不相同，在做数据处理时，不能将观测值等当观测值的精度不相同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待。同看待。2.当观测值的精度不相同，在做数据处理时，精度高的观测值当观测值的精度不相同，在做数据处理时，精度高的观测值参与计算所占的比重大一些，精度低的观测值所占的比重小参与计算所占的比重大一些，精度低的观测值所占的比重小一些，并且二者的比重关系还必须适当。一些，并且二者的比重关系还必须适当。第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用权的定义：权的定义：表示观测值之间精度相对高低的指标，这个指标在表示观测值之间精度相对高低的指标，这个指标在测量中就称其为权，用符号测量中就称其为权，用符号P 表示。表示。220iiP第第i个观测值的权个观测值的权比例常数比例常数注意：注意：权也是精度指标，是观测值的相对精度指标，权的意权也是精度指标，是观测值的相对精度指标，权的意义不在于它们本身的数值大小，重要的是一组观测值相互之义不在于它们本身的数值大小，重要的是一组观测值相互之间的精度所存在的比例关系。间的精度所存在的比例关系。第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用 设每千米观测值高差的方差为2千米2120220iiP2121千米S2222千米S2323千米S2424千米S2525千米S2626千米S11P5.02P4.03P25.04P125.05P1.06P2620101P52P43P5.24P25.15P16P第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用 注意事项：选定了一个 的值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的 值。一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一个问题中只能选定一个 值。权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。2020202020第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用单位权中误差：单位权中误差：权为权为1 1的观测值称为单位权观测值，的观测值称为单位权观测值，与之相对应的中误差称为单位权观测值的中误差。与之相对应的中误差称为单位权观测值的中误差。212011P262016P第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用测量中定权的常用方法测量中定权的常用方法水准测量的权，见书上水准测量的权，见书上18页图页图2-6。有。有7条水准路线，条水准路线，各路线的观测高差为各路线的观测高差为 ，各路线，各路线的测站数分别为的测站数分别为7654321,hhhhhhh7654321,NNNNNNN设每一测站观测高差的精度相同，中误差均为设每一测站观测高差的精度相同，中误差均为 。2站各路线观测高差的中误差：各路线观测高差的中误差：站iiN设单位权中误差：设单位权中误差：站C0iiiNCP220第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用iiiNCP220765432176543211:1:1:1:1:1:1:NNNNNNNPPPPPPP第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用各路线的观测高差为各路线的观测高差为 ，各路线，各路线的测站数分别为的测站数分别为7654321,hhhhhhh7654321,SSSSSSS设每一测站观测高差的精度相同，中误差均为设每一测站观测高差的精度相同，中误差均为 。2km各路线观测高差的中误差：各路线观测高差的中误差：kmiiS设单位权中误差：设单位权中误差：kmC0iiiSCP220765432176543211:1:1:1:1:1:1:NNNNNNNPPPPPPP第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用 小结：当各测站的观测高差为同精度时，各路线的权与测站数成反比；当每千米观测高差为同精度时，各路线观测高差的权与距离的千米数成反比；一般来说，在起伏不大的地区，每千米的测站数大致相同，可按水准路线的距离定权；在起伏较大的地区，每千米的测站数相差较大，则按测站数定权。第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权iiN0CCNPii第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用协因数传播律及应用协因数传播律及应用2021iiiiPQ2021jjjjPQ20ijijQ iiLjjLiL的协因数和权倒数的协因数和权倒数关于 的协因数或相关权倒数jL第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用观测值的协因数阵和权阵观测值的协因数阵和权阵nnnnnnQQQQQQQQQ2122221112111 QP1 PQ第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用协因数传播律及权倒数传播律协因数传播律及权倒数传播律设有观测值 ，已知它的协因数阵为Xn 1,XXQnn,00KKXZFFXYTXXYZTXXZZTXXYYKFQQKKQQFFQQ第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用例题：已知 的协因数阵为21,LL2112LLQ试求 的协因数阵。21211211LLyyY112121121211TLLYYFFQQ第二章第二章 测量误差理论及其应用测量误差理论及其应用由真误差计算中误差的实际应用由真误差计算中误差的实际应用nnlimn3
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