有限元基础及应用

有限元基础及应用,主讲：姚林泉 电话:13915587868 E-mail:,课程介绍,一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进行分析。 二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩,第一章 绪论,1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943年），随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。,一、什么是有限元法？,有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。,二、有限元法的基本思想,有限元法的基本思想是：“分与合”。 “分”是为了划分单元，进行单元分析； “合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。 结构离散-单元分析-整体求解,三、有限元法的基本步骤,无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为： （1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等； （2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；,（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。,（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。 重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。,四、有限元法的学习路线,从最简单的杆、梁及平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论以及应用。利用ANSYS软件分析问题。,五、有限元法的发展与应用,有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。,（一）算法与有限元软件,从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： 大型线性方程组的解法； 非线性问题的解法； 动力问题计算方法。,目前应用较多的通用有限元软件如下表：,另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。,（二）应用实例,有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学 ； 。,转向机构支架的强度分析,基于ANSYS的齿轮啮合仿真,1.2 有限元法在汽车工程中的应用,随着大型有限元通用程序的推广和普及以及计算机硬件技术的飞速发展，有限元已成为汽车设计中的重要环节，无论在车型改造，还是在新车开发阶段，就产品中的强度、疲劳、振动、噪声等问题进行设计计算分析，可提高设计质量，缩短开发周期，节省开发费用，从而真正形成自主的产品开发能力。,车辆结构由不同的材料组成，其结构也非常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊接而成。 车辆结构承受的载荷也十分复杂，其中包括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束力。,各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以下几方面： 1.整车及零部件强度和疲劳寿命分析 2.整车及零部件刚度分析 3.整车及零部件模态及动态分析 4.汽车NVH（噪声、振动、声振粗糙度）分析 5.整车碰撞安全性分析 6.设计优化分析 7.气动或流场分析 8.热结构耦合分析,有限元应用实例 接触问题,有限元应用实例 冲压成型,有限元应用实例 汽车安全气囊计算,有限元应用实例 汽车碰撞1,有限元应用实例 汽车碰撞2,有限元应用实例 超弹性,总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有限元的引入对降低开发成本，缩短研制周期，实施优化设计等都非常关键且效果显著。,设计,计算,判断（强度，刚度，稳定性等）,结束,不合理,合理,学习有限元需要的基础知识,线性代数 数值计算：数值代数、数值逼近、数值积分等 弹性力学 变分原理,第 2章 有限元分析过程的概要,2.1 有限元分析的目的和概念,描述可承力构件的力学信息一般有三类： (1)位移：构件因承载在任意位置上所引起的移动； (2)应变：构件因承载在任意位置上所引起的变形状态； (3)应力：构件因承载在任意位置上所引起的受力状态。,为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？,有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。 一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近似” ，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法： (1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)； (2)基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接),例：一个一维函数的两种展开方式的比较,两种方法特点,第一种方法（经典瑞利-里兹方法(Rayleigh-Ritz )的思想）： 所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；,第二种方式（有限元方法的思想）： 所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定义的，它通过各个子域组合出全域 ，但它是线性函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。,基于分段的函数描述具有非常明显的优势：,(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简” ，使得描述和求解成为可能 (2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数 (3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。 但分段的做法可能会带来的问题有： (1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低， (2) 由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。,2.2 一维阶梯杆结构问题的求解,以 1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介绍有限元分析的过程。,方法一：材料力学求解,（1）求内力,（2）求应力,（3）求应变,（4）求伸长量,（5）求位移,计算结果图示,讨论：,（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出； （2）对于静不定问题，则需要变形协调方程，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧； （3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的求解。,方法二：节点位移求解及平衡关系,要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。,首先分析杆内部的受力及变形状况,节点 A、B、C的受力状况，分别建立它们各自的平衡关系,写成矩阵形式,代入已知数值,求解得：,已知,回代求出应变和应力,讨论：,物理含义就是内力与外力的平衡关系。内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移来获取。,方法三：基于位移求解的通用形式,此方程的左端就是杆件的内力表达和杆件的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。,标准化过程,单元节点位移,单元节点外力,单元节点内力,单元节点的内力与外力平衡：,即：,或,其中,为单元的刚度矩阵,例：三连杆结构的有限元分析过程,(1)节点编号和单元划分,(2)计算各单元的单元刚度方程,(3)组装各单元刚度方程,(4)处理边界条件并求解,(5)求支反力,由方程组的最后一行方程，可求出支反力为,(6)求各个单元的其它力学量（应变、应力）,有限元分析的基本流程,总结：（1）有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力；（2）然后，基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚度方程；（3）再针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。（4）因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括 1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；（5）当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵，推导单元刚度矩阵的方法的力学基础在后面介绍。,第3章 杆梁结构分析的有限元方法,一、杆件有限元分析的标准化表征与算例,1 杆件分析的基本力学原理 连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，它不传递和承受弯矩。,平衡方程,几何方程,物理方程,位移边界条件,力边界条件,（1）1D问题的基本变量,（2）1D问题的基本方程,（3） 虚功原理及虚功方程,图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程： 图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图： 综合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,虚功原理,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图中的反力 ，由于支点C没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,虚功原理,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为： 这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图中的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总虚功要包括外力虚功(W)和内力虚功(U)两部分，即： W - U ；内力虚功(- U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： W - U = 0 外力虚功 （W） = 内力虚功 （U） 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件 BC(u)的许可位移。,（4）1D问题的虚功原理求解,试函数（满位移足边界条件）：,由虚功原理：,（5）1D问题的最小势能原理求解,设有满足位移边界条件 BC(u)的许可位移场,计算该系统的势能(potential energy)为,对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即,由上面的计算可以看出，基于试函数的方法，包括虚功原理以及最小势能原理，仅计算系统的能量，实际上就是计算积分，然后转化为求解线性方程，不需求解微分方程，这样就大大地降低了求解难度。同时，也可以看出，试函数的方法的关键就是如何构造出适合于所求问题的位移试函数，并且该构造方法还应具有规范性以及标准化，基于“单元”的构造方法就可以完全满足这些要求。,2. 局部坐标系中的杆单元描述,1）杆单元的描述,(1) 单元的几何及节点描述,2. 局部坐标系中的杆单元描述,1）杆单元的描述,(2) 单元位移场的表达,该函数将由两个端节点的位移 ， 确定，故取：,单元节点条件为,将其代回位移试函数表达式得：,形状函数矩阵,(3) 单元应变场的表达,几何矩阵,(4) 单元应力场的表达,应力矩阵,(5) 单元势能的表达,单元刚度矩阵,节点力列阵,(6) 单元的刚度方程,利用最小势能原理，取极小值，可以得到单元的刚度方程,2. 局部坐标系中的杆单元描述,2）变截面杆单元的推导,标准化过程：,1) 平面杆单元的坐标变换,3. 杆单元的坐标变换,局部坐标系中的节点位移为,整体坐标系中的节点位移为,1) 平面杆单元的坐标变换,3. 杆单元的坐标变换,等价变换关系,写成矩阵形式,坐标变换矩阵,整体坐标系下刚度方程的推导,整体坐标系下的单元刚度矩阵,整体坐标系下的节点力列阵,由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程,2） 空间杆单元的坐标变换,局部坐标系中的节点位移为,整体坐标系中的节点位移为,杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为,2） 空间杆单元的坐标变换,刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但,2） 空间杆单元的坐标变换,3.杆结构分析的算例,各杆的弹性模量和横截面积都为 ，试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。,（1） 结构的离散化与编号,（1） 结构的离散化与编号,（2）各个单元的矩阵描述,（2）各个单元的矩阵描述,（3） 建立整体刚度方程,刚度矩阵：,节点位移：,节点力：,整体刚度方程为,（3） 建立整体刚度方程,(4) 边界条件的处理及刚度方程求解,边界条件 BC(u)为：,(5) 各单元应力的计算,同理，可求出其它单元的应力。,(6) 支反力的计算,将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求出,训练题,1. P.91习题3,4. 等效载荷。 2. 总刚度矩阵组装方法。,二、 梁件有限元分析的标准化表征与算例,1 梁件分析的基本力学原理,图. 受分布载荷作用的简支梁,图. 梁问题的dx“微段”及受力平衡,梁特征：（1）梁为细长梁 ，可只用 x 坐标来刻画， （2）主要变形为垂直于 x 的挠度，可只用挠度来描述位移场。 针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以下设定：(1)变形后的直线假定；(2)小变形假定。,应变： (采用 ，沿高度方向满足直线假定),应力： (采用 ，其它应力分量很小，不考虑)，该变量对应于梁截面上的弯矩 M。,【基本变量】 平面梁的基本变量,位移：,（中性层的挠度）,【基本方程】 平面梁的基本方程,（1） 平衡方程,（2） 几何方程,（3） 物理方程,（4） 边界条件,或：,对以上方程进行整理, 有描述平面梁弯曲问题的基本方程：,为梁截面的惯性矩,(y方向的平衡）,(x方向的平衡）,(物理方程）,(几何方程）,其中：,【求解原理】 （1）简支梁的微分方程解,这是一个常微分方程，其解的形式为,由四个边界条件求出待定参数，最后有结果,【求解原理】 （2）简支梁的虚功原理求解,假设有一个只满足位移边界条件 BC(u)的位移场为,该简支梁的虚应变能为：,由几何方程：,该简支梁的外力虚功为,由虚功原理,，则,【求解原理】 （3) 简支梁的最小势能原理求解,为提高计算精度，可以选取多项函数的组合，这里取满足位移边界条件 BC(u)的许可位移场为,计算应变能U 为,则为使总势能( ) 取极小值，则有,相应的外力功W 为,解出 和 后得,注：该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同，与精确解相比，该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的重要途径。以上求解过程所用的试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上述求解方法也是瑞利-里兹方法。 以上的【求解原理】（2）和（3）都是基于试函数的能量方法(也称为泛函极值方法)，基本要点是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件 BC(u)的许可位移场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。下面的重点将讨论通过基于“单元”的位移函数的构建就可以满足这些要求。,【局部坐标系中的平面梁单元 】,【单元构造】平面纯弯梁单元的描述,(1) 单元的几何及节点描述,节点力列阵为,节点位移列阵为,(2) 单元位移场的表达,由该单元的节点位移条件,其中：,叫做单元的形状函数矩阵,(3) 单元应变场的表达,由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式,叫做单元的几何矩阵，即,(4) 单元应力场的表达,由梁的物理方程,叫做单元的应力矩阵,其中： E 为弹性模量，,(5) 单元势能的表达,该单元的势能为,外力功为：,其中：,(6) 单元的刚度方程,由最小势能原理，将式 中的,对,取极小值，有单元刚度方程,【单元构造】 一般平面梁单元的描述,为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础上叠加进轴向位移(由于为线弹性问题，满足叠加原理)，这时的节点位移自由度(DOF)共有 6 个。,平面梁单元图,平面梁单元的节点位移列阵：,平面梁单元的节点力列阵：,对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到单元刚度矩阵，即,【典型例题】 受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷,解答：,讨论 1：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，每个节点各分一半进行静力等效，则计算出的节点等效力为,显然这样计算出的 M1和M2都是错误的！,讨论 2：该等效节点载荷是按照外力功进行计算的，是通用的均布载荷的节点等效载荷，与节点的实际约束状态没有关系。也就是说，图 （a）中的几种情况的节点等效载荷都用式（*）。,(*),【典型例题】 悬臂-简支平面连续梁的有限元分析,试确定节点 3 的竖向位移、节点 2 和节点 3 的转角。同时计算节点 1 和节点 2 的反力。,解答：由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两个梁单元。则该结构的整体节点位移列阵,该结构的整体刚度方程为,考虑位移边界条件：,然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩,注意：转角 在两个坐标系中是相同的,平面梁单元的坐标变换,设局部坐标系下的节点位移列阵为,整体坐标系中的节点位移列阵为,按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系。,与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的刚度方程为,其中：,空间梁单元及坐标变换,1. 空间梁单元,(1) 对应于图 中的节点位移,有对应于杆单元的刚度矩阵为,(2) 对应于图 中的节点位移,有对应于轴单元的刚度矩阵为,(3) 对应于图 中 Oxy 平面内的节点位移,(4) 对应于图中 Oxz 平面内的节点位移,这是梁在 Oxz 平面内的纯弯曲情形，可得到与上式类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。,(6) 将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵,2. 空间梁单元的坐标变换,局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵为,整体坐标系中的节点位移列阵为,有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度矩阵和刚度方程。,梁单元的常用等效节点载荷,表 3-4 列出了常用的梁单元在承受非节点载荷下的节点载荷等效值，该等效值是根据外力功的计算公式得到的，因此，它与梁单元的边界条件没有关系(表 3-4 中的图示虽为固支，这些节点载荷等效值也可以用在其它边界情况)。,【典型例题】 三梁平面框架结构的有限元分析,解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。,（1） 结构的离散化与编号,节点位移列阵为,节点外载列阵为,支反力列阵为,总的节点载荷列阵为,（2） 各个单元的描述,单元的局部坐标与整体坐标是一致的，则可以直接得到,单元和单元的情况相同，只是节点编号不同而已，其局部坐标系下的单元刚度矩阵为,这两个单元轴线的方向余弦为,则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元和单元）,注意这两个单元所对应的节点位移列阵分别为,对于单元：,对于单元：,（3） 建立整体刚度方程,组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程,其中刚度矩阵的组装关系为,（4） 边界条件的处理及刚度方程求解,该问题的位移边界条件为,处理该边界条件后的刚度方程为,求解后的结果为,第2章 弹性力学基本方程及平面问题的有限元法,2.1 弹性力学简介,本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。,弹性力学 区别与联系 材料力学,1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。,弹性力学 区别与联系 材料力学,3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。,弹性力学 区别与联系 材料力学,例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。,弹性力学 区别与联系 材料力学,总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。,弹性力学基本方程,一 、弹性力学中的几个基本概念： 1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 2、面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。,3、 内力、平均应力和应力 （1）内力（Internal forces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力； （2）平均应力（ the average stress ）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（ elementary area ）A 上的力为F ，则F/A 称为A 上的平均应力； （3）应力：如果假设内力分布连续，命 A无 限减小并趋向P点, 则F/A 将趋向一个极限 p:这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。,弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,内力、平均应力和应力的概念,4. 正应力和切应力的概念 正应力：应力在作用截面法线方向的分量；切应力：应力在作用截面切线方向的分量。 正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为x, y, z.正平行六面体应力如图所示.,(1) 应力的表示 正应力用表示. 它的下表表示作用方向.如x 表示正应力沿着 x 方向;剪应力用 表示, 它有两个下表, 例如xy 表示剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向. (2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。,这个应力符号的规定与材料力学的不同, 在材料力学中: 正应力的符号为拉为正, 压为负; 而剪应力为正面向下的为正; 负面向上为正. 或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正, 顺时针为负.,材料力学中正的剪应力,弹性力学中正的剪应力,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,可以证明:如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,5、形变和正应变、剪应变的概念 （1）形变: 形状的改变，它包含长度和角度的改变。 （2）正应变： 各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。 （3）剪应变： 各线段之间的直角的改变。,6、位移 是指位置的移动. 它在 x, y 和 z 轴上的投影用 u, v 和 w, 来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。,二、弹性力学中关于材料性质的基本假定,(1) 连续性:假定物体是连续. 即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满, 不留任何空隙. 这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示; (2) 完全弹性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性, 是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质. 而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形. (3) 均匀性:假定物体是均匀的, 整个物体由同一材料组成. (4) 各向同性:假定物体是各向同性的, 即物体的弹性性质在所有各个方向都相同. 符合以上四个假定的物体, 称为理想弹性体.,(5) 小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小于1. 因此, 本课程所讨论的问题, 都是理想弹性体的小变形问题.,三、弹性力学的研究方法,在弹性体内部, 考虑静力学, 几何学和物理学三方面条件, 分别建立三套基本方程. 此外, 在弹性体的边界上, 建立边界条件.,位移边界条件,边界条件,应力边界条件,弹性力学的基本变量,弹性力学的基本方程-平衡方程,由物体的受力平衡条件建立的方程：,弹性力学的基本方程-几何方程,由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的 关系建立的方程：,弹性力学的基本方程-物理方程,由物体材料本身的物理特性建立的方程， 其中E-弹性模量； -泊松比；G-剪切弹性模量。 且对各向同性材料，,在限元法中，物理方程可表示为：,弹性力学的基本方程-边界条件,四、弹性力学问题的解法,空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量 ，6个应变分量 ，3个位移分量 ，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。 弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。,按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。 由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。,根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：,（1）应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。 （2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。 （3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。,五、 虚功原理及虚功方程,图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程： 图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图： 综合可得： 即： 上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,虚功原理,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力 ，由于支点C没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为： 这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,六、两种平面问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。 平面应力问题 平面应变问题,平面应力问题,厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有： 另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有： 于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即 ，所以称为平面应力问题。,平面应力问题,应力矩阵(1-2),可以简化为：,物理方程(1-10)中后两式可见，这时的剪应变： 由物理方程(1-10)中的第三式可见： 一般 ， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-3-2)简化为：,平面应力问题,物理方程(1-10)简化为： 转化成应力分量用应变分量表示的形式：,平面应力问题,将(1-21)式用矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵D则简化为：,平面应力问题,只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3) 简化为：,平面应力问题,弹性体的虚功方程(1-17) 简化为,平面应变问题,一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。 由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。,平面应变问题,既然w = 0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程(1-3-1) 可见 。于是只剩下三个应变分量 ， 几何方程仍然简化为方程(1-24)。,平面应变问题,因为 由物理方程(1-11)中后两式可见 又由物理方程(1-11)中的第三式可见： 在平面应变问题中，虽然 ， 但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。,平面应变问题,物理方程(1-11)简化为：,平面应变问题,将(1-25)式用矩阵方程表示： 它仍然可以简写为： 弹性矩阵D则为：,平面应变问题,平面应变问题，由于在Z方向没有外力，应力和应变也不沿Z方向变化，所以虚功方程(1-25)仍然适用，其中的t可以取为任意数值，但 必须是这个t范围内的外力。 需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,平面应力问题与平面应变问题,对于两种平面问题，几何方程都是(1-24)，虚功方程都是(1-25)，物理方程都是：,平面应力问题与平面应变问题,对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式， 而对于平面应变则采用(1-28)式， 还可注意，在(1-23)式中，若将E改换为 ，将 改换为 ， 就得出公式(1-28)。,平面应力问题与平面应变问题,在两种平面问题中，如果 ，则和1-3中(1-4)式相似， 由几何方程的积分得出： 其中 及 分别代表弹性体沿x及y方向的刚体移动，而 代表弹性体绕Z轴的刚体转动。,2.2 平面问题的有限元法,有限单元法的基本思路： (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用节点相连接。 (2) 把单元节点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将节点的位移与节点的力联系起来。 (4) 列出节点的平衡方程，得出以节点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各节点的位移，根据节点位移求出各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是节点位移，用节点的平衡方程来求解。,车辆工程技术中心,弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化 2、单元分析 3、单元综合,1、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在节点处用铰相连，荷载也移置到节点上，成为节点荷载。在节点位移或其某一分量可以不计之处，就在节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。,2、单元分析 对三角形单元，建立节点位移与节点力之间的转换关系.,节点位移,节点力,2、单元分析-单元刚度矩阵 取节点位移作基本未知量。由节点位移求节点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：,3、单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用节点平衡方程求出节点位移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-节点位移。为此需要建立节点的平衡方程。,i点总的节点力应为： 根据节点的平衡条件，得 单元e的节点力，可按式(2-2)用节点位移表示，代入得到用节点位移表示的平衡方程。 每个可动节点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的节点位移。 单元综合的目的就是要求出节点位移。节点位移求出后，可进一步求出各单元的应力。,2.2.1 平面问题的离散化,对任何工程平面构件进行有限元分析，首先都是从简化其几何形状，绘出其平面简图入手。连续体的离散化就是单元网格划分。平面问题中最常用的单元是三角形和矩形单元。 总之，通过单元划分，载荷移置以及约束简化，就形成了有限元模型。,在划分单元时，应注意以下几点： （1）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状、施加的载荷类型和要求的计算精度。 （2）单元的大小（即网格的疏密），从有限元的理论上讲，单元划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。但相应要求计算机容量也增大，计算时间也增加。 （3）单元有疏有密，对结构的不同部位可采用不同大小的单元。 （4）不同厚度或不同材料处，应取作为单元的边界线，而且在该处附近的单元还应划分的小一些，以尽可能反映出边线两侧应力的突变情况。 （5）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和集中力作用处，应布置节点，以利加载，并且其附近的单元也应划分的小些，以反映此处的应力变化。,下面单元划分是否合理？为什么？,2.2.2 单元位移函数,如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。,三节点三角形单元,六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3结点三角形单元的位移函数如下， 所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。,位移函数写成矩阵形式为：,最终确定六个待定系数,令 （下标i，j，m轮换） 简写为,I是单位矩阵， N称为形态矩阵， Ni称为位移的形态函数,选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件： (1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6个参数 到 反映了三个刚体位移和三个常量应变。 (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性),例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵N。,由三角形的面积,本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。 用结点位移表示单元的应变的表达式为 ，B矩阵称为几何矩阵。,2.2.3 单元应变和应力,对于平面应力问题:,2.2.4 单元刚度矩阵,单元节点力与单元位移的关系式，称为单元刚度方程组。,单元刚度矩阵的性质：,（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义； （2）刚度矩阵是对称矩阵； （3）刚度矩阵是奇异矩阵；,另外，单元刚度矩阵取决于： （1）单元的位移函数； （2）单元的几何参数； （3）单元的材料性质。,2.2.5 单元等效节点载荷,连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向结节移置。 将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。,在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。,均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/3的重力移到每个节点,例：,总载荷的2/3移置到节点i，1/3移置到节点j，与原载荷同向,常用的等效节点外载列阵（3节点三角形单元）,载荷向节点的移置，可以用普遍公式来表示。 体力的移置 分布面力的移置 在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。,2.2.6 总刚度矩阵,K为总刚度矩阵，R为节点力分量矩阵。 为节点位移分量矩阵。 总刚度矩阵性质： （1）总刚度矩阵也是对称矩阵； （2）总刚度矩阵呈稀疏带状分布； （3）总刚度矩阵奇异矩阵。,2.2.7 边界约束条件,有限元法中通常采用两种方法: 划行划行法和乘大数法. 其中前者适用于简单的手算练习,后者适合于实际问题的计算机处理.,2.2.8 解题步骤与算例,有限元法的一般分析步骤如下: (1)首先绘出结构的几何简图,在此基础上将结构离散; (2)其次进行单元分析; (3)组集总刚度矩阵; (4)最终求单元应力和节点应力.,【单元构造】 平面问题的4节点矩形单元,(1) 单元的几何和节点描述,若采用无量纲坐标,单元4个节点的几何位置为,(2) 单元位移场的表达,由节点条件:,其中形函数：,以无量纲坐标系来表达：,写成矩阵形式，有,其中，N(x,y)为该单元的形状函数矩阵。,(3) 单元应变场的表达,由弹性力学平面问题的几何方程，有单元应变的表达,(4) 单元应力场的表达,由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式,(5) 单元势能的表达,其中，,【单元特征】 4节点矩形单元的线性应变和应力,由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界x=a和y=b上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应变单元精度高。,例：三角形单元与矩形单元计算精度的比较,试在以下两种建模情形下求该系统的位移场、应变场、应力场、各个节点上的支反力、系统的应变能、外力功、总势能。并比较这种建模方案的计算精度。,两种建模方案：,整体的节点位移列阵为,(1) 建模方案1的有限元分析列式,总刚度矩阵为,该系统的刚度方程为,计算各个单元的位移场、应变场、应力场：,位移场、应变场及应力场的分布图：,该系统的应变能：,外力功：,系统的总势能：,(2) 建模方案2的有限元分析列式,可求出节点位移和支反力为,系统的节点位移列阵为,单元位移场为,应变场为,应力场为,位移场、应变场及应力场的分布图,该系统的应变能：,外力功：,系统的总势能：,从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，比较两种单元计算得到的系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角形单元高。,三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较,4.4 轴对称问题有限元分析的标准化表征,4.4.1 轴对称问题的基本变量及方程,反之：,三维,对于平面4节点等参元，上式刚度矩阵的元素可转化为：,这个积分很难用解析的形式进行积分，一般采用近似的数值积分方法。常用的是Gauss积分方法。它是一种高精度、高效益的积分方法。,如何确定：,3、应用等参单元应注意以下几点问题,1）各向长度的相对大小：单元长度之比不宜相差太大，接近正方形的单元误差最小，长宽比很大，误差也很大。 2）棱边的曲折：应使单元边上没有折点，如边上不可避免有折点，应使棱边只有凸出的折点。 3）棱边的夹角：尽量接近90度。 4）棱边上节点的间距：尽量均匀。,