小学数学思想与方法的渗透与实践

问题一：数学是被发明的还是发现的？,美国物理学家维格纳：“数学有一部分是被发明的，有一部分是被发现的。通常情况下，人类发明了数学概念，之后则是发现了概念之间的联系。”,数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。,问题二：数学的最高教育价值追求是什么？,知识与 技能,思想与 方法,数学 观念,数学观念,数学观念属于哲学范畴。它主要是指人们对于数学本质的基本看法和概括认识，是数学文化的主体即数学共同体在长期的数学活动中形成的数学价值观和行为规范。,主要表现为对数学的根本态度以及运用数学精神、数学意识或数学思维方式考察和处理事物的意识或习惯。包括数学观、数学价值观和行为规范。,课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。 数学课程标准2011版P2,数学思想与方法,教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 数学课程标准2011版P3,通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（四基） 2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。（四能） 数学课程标准2011版P8,最有价值的知识 是关于方法的知识。,达尔文,作为知识的数学，通常在出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想和研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。,日本数学教育家米山国藏,史宁中教授在数学思想概论一书这样写到“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”。,数学是抽象的科学。,数学是推理的科学。,数学是模式的科学。,数学是思维的体操。,一流的数学老师教思想， 二流的数学老师教方法， 三流的数学老师教知识。,一个优秀的数学老师不仅要教看得见的知识，还要教看不见的知识。因为看不见的知识才是学生能带走的真能力。,数学的历史发展始终反映着两条线，即数学知识的积累与数学思想方法的创新。数学思想方法伴随着数学知识体系的建立而确立，数学思想方法寓于数学知识之中，没有游离于数学之外的数学思想方法，同时也没有不包含数学思想方法的数学知识。 摘自数学思想方法通论,课程观点,数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学。而数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。,目 录,什么是数学思想方法,如何开展数学思想方法的渗透教学,小学数学思想方法 (教材中的体现、教学中的实施）,数学思想方法是数学思想与数学方法的合称。所谓数学思想是指从具体的数学内容提炼出来的对数学知识的本质认识，是建立数学理论和解决问题的指导思想。,一、什么是数学思想方法,数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、途径、方式、步骤、程序等，它通过一些规则或模式达到某种预期的目的。,形而上,形而下,1数学思想方法的教学规定（课标、课程）,1950年的小学算术课程暂行标准(草案) 1952年的小学算术教学大纲(草案) 1956年的小学算术教学大纲(修订草案) 1963年的全日制小学算术教学大纲(草案) 1978年的全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案) 1986年的全日制小学数学教学大纲 1992年的九年义务教育全日小学数学教学大纲(试用) 2001年的数学课程标准 2011年的数学课程标准,二、如何开展数学思想方法的渗透教学,2001年数学课程标准（实验稿）： 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。,数学课程标准（2011版）： 教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，基本的数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中,处理好讲授与学生自主学习的关系,基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活 动经验。,基本 的数学知识与技能，基本的数学思想和方法，获得基本的数学活 动经验。,从整体把握小学数学课程的角度来看数学思想方法,整体把握小学数学课程,数学课程目标,学生的数学学习,学习内容及其教育价值,学生的学习任务,学习活动的系列设计及教学策略,数学课程内容,数学课程目标 基础知识和基本技能 基本活动经验 基本思想 发现和提出问题、分析和解决问题 情感态度价值观,数学课程内容,（1）渗透数学思想方法三个时期： 潜意识时期明朗和形成时期深化时期,2数学思想方法的渗透教学,（2）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个阶段,多次孕育（渗透） “教者有意、学者无心”,初步形成（介绍） “理性认识”,应用发展（突出） “选用善用”,三、小学数学思想方法 （教材中的体现、教学中的实施）,在小学数学体系中最基本的、最核心的数学思想是数学抽象、数学推理、数学模型。,十大核心概念本质上体现的是数学的基本思想。如“数与代数”领域内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度地直接体现了抽象、推理和模型的基本思想的要求。,十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、数据分析观念、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。,在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？,1.符号化思想,2.分类思想,3.对应思想,4.转化思想,5.模型思想,7.数形结合思想,6.类比思想,8.集合思想,9.极限思想,10.函数思想,11.优化思想,13.代换思想,12.方程思想,14.统计思想,15.归纳思想,16.演绎思想,17.分析法与综合法,抽象,1.符号化思想,2.分类思想,3.对应思想,4.转化思想,5.模型思想,7.数形结合思想,6.类比思想,8.集合思想,9.极限思想,10.函数思想,11.优化思想,13.代换思想,12.方程思想,14.统计思想,15.归纳思想,16.演绎思想,推理,模型,17.分析法与综合法,抽象,1.符号化思想,2.分类思想,3.对应思想,4.转化思想,5.模型思想,7.数形结合思想,6.类比思想,8.集合思想,9.极限思想,10.函数思想,11.优化思想,13.代换思想,12.方程思想,14.统计思想,15.归纳思想,16.演绎思想,推理,模型,17.分析法与综合法,符号化思想就是用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容。,1、符号化思想（抽象）,小学数学课程中的数学符号大致可分为数字符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。,符号的特点：,（1）简洁性：简单明了,（2）统一性：世界性语言，方便交流与表达,（3）一般性：得到的结论具有一般性,“数与代数”版块,符号化思想在教材中的体现,用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）,用字母表示数、数量关系,数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号,“图形与几何”版块,用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）,用字母表示图形的计算公式,用数对确定位置,各类图形、位置关系等的符号（如角，直线、线段、射线，垂直，平行等）,“统计与概率”版块,统计中整理与记录的符号（如“正”字记录法）,用分数表示概率的大小,符号化思想典型案例分享,用字母表示数,类比推理是根据两个或两类对象在某方面相同或相似的性质，通过推理得出它们在其他方面也相同或者相似的一种思维方法。,2、类比思想（合情推理）,类比思想是以比较为基础。首先对两类或两个不同的事物的部分性质进行比较，找出它们的一些相同点或相似点，再以此为基础由一事物所具有的性质推断出另一事物也具有这些性质。,类比思想在教材中的体现,“数与代数”版块,万以内数的加减法与100以内数的加减法类比，得出竖式计算的方法。,如：650+220，65+22=65+20+2=85+2=87，650+220=870,三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。（除法同理）,小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同样适用于小数。,万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发现它们的方法是相似的。,类比思想在教材中的体现,“图形与几何”版块,将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而推导出来的。,类比思想典型案例分享,3、归纳思想（合情推理）,归纳思想是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推理得出这类事物的所有对象都具有这种性质的思想（简称归纳），即从特殊到一般的过程，它属于合情推理。,归纳分为完全归纳和不完全归纳，完全归纳是必然推理，不完全归纳是或然推理（合情推理）。小学阶段更多的是不完全归纳。（合情推理）,归纳思想在教材中的体现,万以内或万以上数的认识中读法、写法、大小比较等都是与已经知识进行类比、比较后，归纳出方法。,运算法则的得出都是通过几个式子的计算，然后观察、比较，归纳出计算方法。,“数与代数”版块,探索规律：观察-猜想-验证- （归纳）结论。,归纳思想在教材中的体现,多边形面积公式的推导，总体思想是转化，具体方法是几何变换，实际上用到了归纳，即通过几个不同的图形进行研究，然后得出一个普遍的结论。,“图形与几何”版块,4、分类思想（抽象）,分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。,分类的结果有两种：一种是不重不漏的分类（完全分类），例如三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。另一种是套桶式的分类，例如等边三角形在等腰三角形之内，等腰三角形套在三角形之内。,分类时要明确：为什么要分类？怎样分类？（标准的确定）分类的结果怎样？,分类思想在教材中的体现,数认识的分类（如整数、小数、分数、负数；非零自然数分为质数、合数和1，或者偶数和奇数；小数分为有限小数和无限小数等）,数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等）,数字编码的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出生地为依据来确定的）,“数与代数”版块,分类思想在教材中的体现,图形认识的分类（如长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）,立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）,同一平面上两条直线的位置关系：相交（垂直）、平行,“图形与几何”版块,分类思想在教材中的体现,统计表的分类（如单式统计表、复式统计表等）,统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）,“统计与概率”版块,事件发生的分类（如确定事件、不确定事件-概率等）,分类思想 典型案例 分享,数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。,5、模型思想（抽象/模型）,小学阶段的数学模型是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学结构。如用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程，各种图表、图形等。,模型思想是一种数学的基本思想，建立模型思想的本质是使学生体会和理解数学与外界世界的联系。,数学模型的建立需要让学生经历“问题情境-建立模型-求解验证”的过程。,模型思想在教材中的体现,常见的数量关系式（如速度时间=路程，单位数量=总价等）,“数与代数”版块,植树问题，出勤率、发芽率、成活率等,四则运算意义的模型（如乘法-几个几，除法-平均分、包含）；计算法则。,各类图形周长、面积、体积的计算公式 如：长方形周长计算公式C=2（a+b）,“图形与几何”版块,图形概念的建立 如：相交（垂直）、平行,模型思想典型案例分享,模型思想 典型案例 分享,转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成已经解决或者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。,6、转化（化归）思想（推理）,转化（化归）的总方向是“由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易”。,转化（化归）解决问题的三个环节：转化、求解、还原。,待解决的问题A （化归对象）,转化（化归）解决问题的三个要素：化归对象（即对什么化归）、化归的目标（即化归到何处去）和化归途径（即如何化归）。,可以解决的问题B （化归对象）,问题A的解答,问题B的解答,转化 （化归途径）,求解,还原,转化思想在教材中的体现,“数与代数”版块,100以内数的加减法转化成20以内的加减法来计算。,小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积的变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。,除数是小数的除法运用商不变的性质转化成除数是整数的除法。,分数除法根据分数的意义、分数与除法的关系，转化分数乘法来进行计算。,转化思想在教材中的体现,“图形与几何”版块,由于千米概念不容易理解，转化成10个100米跑道或2圈半的标准400米跑道。,多边形面积公式的推导，总体思想是运用转化，把新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是平移和旋转。,“多边形的面积”组合图形的面积，把组合图形分割后转化成几个简单的能够直接计算面积的图形。,圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。,转化思想 典型案例 分享,数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。,7、数形结合思想（抽象）,它是一种基本的数学思想方法。 特点： （1）复杂问题简单化； （2）抽象问题具体化； （3）兼具数的严谨、形的直观,数形结合思想在教材中的体现,“数与代数”版块（以形助数）,“数的认识”运用大量的图形作为直观手段及操作学具帮助理解与计算-以形助数。,“数的运算”运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和算法-以形助数。,“问题解决”运用线段图等作为直观手段帮助理解数量关系，解决问题-以形助数。,“图形与几何”版块,“多边形周长、面积的计算”用数量描述多边形的特征-以数解形。,“统计与概率”版块,“条形统计图”描述生活中的各种数据时，在直角坐标系里画长方形（直条），具有直观、易比较等特点-以形助数的直观性。,“扇形统计图”体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分数量与总量之间的关系-以形助数。,对应是现代数学中重要的基本概念之一。它所反映的是两个集合的元素间的关系。对应思想是许多数学概念与数学方法的基础。,8、对应思想（模型）,“数与代数”版块,对应思想在教材中的体现,“植树问题”关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵数一一对应。,“倍的认识”用一倍量与几倍量的去一一对应。,“数的大小比较、数量多少的比较”采用一一对应找出相同的部分，剩下的部分就是多的。,“图形与几何”版块,“位置”一个有序数对（a,b）对应平面上一个点，数a对应横轴上的一个点，数b对应纵轴上的一个点。,极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。它是事物转化的重要环节，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有重要意义。,9、极限思想（抽象/推理）,“数的认识”关于自然数（质数与合数， 偶数与奇数）的个数,极限思想在教材中的体现,“数与代数”版块,“循环小数的认识”通过无限小数位数去感受极限思想。,“直线、射线、平行线的认识”让学生想像两端无限延长，体会无限思想。,“图形与几何”版块,“圆的面积”把圆转化成近似的长方形，当分的份数越来越多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。,“圆柱的体积”把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极限思想。,把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思想就是集合思想。,10、集合思想（推理）,“数与代数”版块,集合思想在教材中的体现,“四则运算的意义”关于每种运算意义的理解，让学生体会每种运算就是一个集合。,“数的整除”关于因数和倍数，质数和合数，2、3、5倍数的 特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让 体会集合的意义。,“平行四边形、长方形与正方形的关系”通过感受它们之间的包含关系，体会集合思想的意义。,“图形与几何”版块,“图形的分类”通过分类，把相同性质的每类事物放在一起就是一个集合，体会集合思想的意义。,函数思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。,11、函数思想（模型/推理）,“积的变化规律”结合乘法中积的变化规律体会函数思想。,函数思想在教材中的体现,“数与代数”版块,“商不变的性质”结合除法中商的变化规律体会函数思想。,“常见的数量关系式”如单价数量=总价。,“正比例和反比例”通过画正反比例的图像，感受函数思想。,“问题解决”如出租车计费。通过出租车计费的计算体会分段函数的思想，即打车计费分两种情况考虑。y=10+1.8(x-3)。,“图形的计算公式”如圆的周长C=d=2r和面积S=r2 ，让学生体会到函数思想，即圆的周长和面积是随着圆的半径变化而变化的。,“图形与几何”版块,函数思想典型案例分享,优化问题是人们经常要遇到的问题。当年，华罗庚先生提出的“优选法”已经广泛的应用于人们的生产和生活中了。现在，这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支运筹学。,12、优化思想（推理）,“数学广角”中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题,优化思想在教材中的体现,“计算教学与问题解决”对多种算法的择优选择,等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。,13、等量代换（推理/模型）,它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b,b=c,那么a=c。,解方程 数学广角（等量代换）,等量代换在教材中的体现,等量代换典型案例分享,一、什么是数学思想方法 二、如何开展数学思想方法的渗透教学 三、小学数学思想方法 (教材中的体现、教学中的实施）,回顾梳理,符号化； 类比； 归纳； 分类； 模型； 数形结合； 对应； 转化； 极限； 集合； 函数； 优化； 等量代换。,回顾梳理,小学阶段13个重要的数学思想与方法,符号-用字母表示数； 分类-三角形的分类； 模型-平行线； 运筹-烙饼问题； 等量代换-数学广角。,回顾梳理,分享了5个详细实践案例,谢谢大家,2014年10月,“通过直观,使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想。如集合思想从一年级认数起就开始渗透,以后,在认数、认识几何图形以及数的整除等内容中,陆续渗透子集、交集等思想。函数思想也从低年级起就注意渗透,高年级讲比例时继续加强。在百分数和统计图表等内容中,注意使学生接触一些初步的统计思想和方法”,