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24.3 正多边形和圆一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.321 B.432 C.421 D.6433.正五边形共有_条对称轴,正六边形共有_条对称轴.4.中心角是45的正多边形的边数是_.5.已知ABC的周长为20,ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_.二、课中强化(10分钟训练)1.若正n边形的一个外角是一个内角的时,此时该正n边形有_条对称轴.2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A. B. C. D.3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S34.已知O和O上的一点A(如图24-3-1).(1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是O内接正十二边形的一边. 图24-3-1三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为( )A. B. C. D.2.已知正多边形的边心距与边长的比为,则此正多边形为( )A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形3.已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为_ cm.4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度.5.如图24-3-2,两相交圆的公共弦AB为2,在O1中为内接正三角形的一边,在O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比. 图24-3-26.某正多边形的每个内角比其外角大100,求这个正多边形的边数.7.如图24-3-3,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切,现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖,求这个大圆片的半径最小应为多少? 图24-3-38.如图24-3-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的?并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-49.用等分圆周的方法画出下列图案:图24-3-510.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n),M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点,且BM=CN,连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中MON的度数;(2)图24-3-6(2)中MON的度数是_,图24-3-6(3)中MON的度数是_;(3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化思路解析:由题意知圆的半径扩大一倍,则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍,所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.答案:D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.321 B.432 C.421 D.643思路解析:如图,设正三角形的边长为a,则高AD=a,外接圆半径OA=a,边心距OD=a,所以ADOAOD=321.答案:A3.正五边形共有_条对称轴,正六边形共有_条对称轴.思路解析:正n边形的对称轴与它的边数相同.答案:5 64.中心角是45的正多边形的边数是_.思路解析:因为正n边形的中心角为,所以45=,所以n=8.答案:85.已知ABC的周长为20,ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=_.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得.答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.若正n边形的一个外角是一个内角的时,此时该正n边形有_条对称轴.思路解析:因为正n边形的外角为,一个内角为,所以由题意得=,解这个方程得n=5.答案:52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A. B. C. D.思路解析:画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长,知应选A.答案:A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3思路解析:周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案:B4.已知O和O上的一点A(如图24-3-1).(1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是O内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析:求作O的内接正六边形和正方形,依据定理应将O的圆周六等分、四等分,而正六边形的边长等于半径;互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE是O内接正十二边形的一边,由定理知,只需证明DE所对圆心角等于3601230.(1)作法:作直径AC;作直径BDAC;依次连结A、B、C、D四点,四边形ABCD即为O的内接正方形;分别以A、C为圆心,OA长为半径作弧,交O于E、H、F、G;顺次连结A、E、F、C、G、H各点.六边形AEFCGH即为O的内接正六边形.(2)证明:连结OE、DE.AOD90,AOE60,DOEAODAOE30.DE为O的内接正十二边形的一边.三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为( )A. B. C. D.思路解析:正六边形的两条平行边之间的距离为1,所以边心距为0.5,则边长为.答案:D2.已知正多边形的边心距与边长的比为,则此正多边形为( )A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形思路解析:将问题转化为直角三角形,由直角边的比知应选B.答案:B3.已知正六边形的半径为3 cm,则这个正六边形的周长为_ cm.思路解析:转化为直角三角形求出正六边形的边长,然后用P66an求出周长.答案:184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于_度.答案:144.5.如图24-3-2,两相交圆的公共弦AB为2,在O1中为内接正三角形的一边,在O2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析:欲求两圆的面积之比,根据圆的面积计算公式,只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.解:设正三角形外接圆O1的半径为R3,正六边形外接圆O2的半径为R6,由题意得R3=AB,R6=AB,R3R63.O1的面积O2的面积13.6.某正多边形的每个内角比其外角大100,求这个正多边形的边数.思路分析:由正多边形的内角与外角公式可求.解:设此正多边形的边数为n,则各内角为,外角为,依题意得-100.解得n9.7.如图24-3-3,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切,现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖,求这个大圆片的半径最小应为多少?图24-3-3思路分析:设三个圆的圆心为O1、O2、O3,连结O1O2、O2O3、O3O1,可得边长为4 cm的正O1O2O3,设大圆的圆心为O,则点O是正O1O2O3的中心,求出这个正O1O2O3外接圆的半径,再加上O1的半径即为所求.解:设三个圆的圆心为O1、O2、O3,连结O1O2、O2O3、O3O1,可得边长为4 cm的正O1O2O3,则正O1O2O3外接圆的半径为 cm,所以大圆的半径为+2= (cm).8.如图24-3-4,请同学们观察这两个图形是怎么画出来的?并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-4答案:略.9.用等分圆周的方法画出下列图案:图24-3-5作法:(1)分别以圆的4等分点为圆心,以圆的半径为半径,画4个圆;(2)分别以圆的6等分点为圆心,以圆的半径画弧.10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n),M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点,且BM=CN,连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中MON的度数;(2)图24-3-6(2)中MON的度数是_,图24-3-6(3)中MON的度数是_;(3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案:(1)方法一:连结OB、OC.正ABC内接于O,OBM=OCN30,BOC=120.又BM=CN,OB=OC,OBMOCN.BOMCON.MON=BOC=120.方法二:连结OA、OB.正ABC内接于O,AB=AC,OAM=OBN=30,AOB=120.又BMCN,AM=BN.又OA=OB,AOMBON.AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON=.
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