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第五章,数列、推理与证明,第 1 讲,数列的概念与简单表示法,1数列的定义,按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个 数叫做这个数列的项数列可以看作是定义域为 N*的非空子集 的函数，其图象是一群孤立的点,2数列的分类,无限,3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法 4数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个 公式 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,5Sn 与 an 的关系,an1,an1,B,B,D,4如图 5-1-1 所示的是用同样规格的黑、白两色正方形瓷 砖铺设的若干图案若按此规律铺设，则第 n 个图案中需用黑,),D,色瓷砖的块数为(用含 n 的代数式表示)( 图 5-1-1 A4n B4n1 C4n3 D4n8,考点 1,由数列的前几项写数列的通项公式,例 1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项 已给出,【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的,数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可,根据数列an的前 n 项求通项公式，我们常常取其形式上 较简便的一个即可另外，求通项公式，一般可通过观察数列 中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加 以验证,已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考,虑：,负号用(1)n 与(1)n1或(1)n1来调节；,分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、分母的关系； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征；,对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数,列(后面专门学习)和其他方法解决；,此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差 或等比数列)等方法,【互动探究】 1已知数列an的前 4 项分别为 1,0,1,0，则下列各式可作,为数列an的通项公式的个数有(,),A1 个,B2 个,C3 个,D4 个,解析：由三角函数公式知，和实质上是一样的，不难 验证，它们是已知数列 1,0,1,0 的通项公式；对于，易看出， 它不是数列an的通项公式；对于，将 n3 代入，a331， 故不是an的通项公式；显然是数列an的通项公式综上 所述，可作为数列an的通项公式有 3 个故选 C.,答案：C,2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，,如图 5-1-2.,图 5-1-2,他们研究过图 5-1-2(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够 表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 5-1-2(2)中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又,),是正方形数的是( A289 C1225,B1024 D1378,C,考点 2,由递推关系式求数列的通项公式,例 2：已知数列an满足 an12an1，nN*. (1)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通 项公式； (2)若 a11，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项 公式 解：(1)a1a2a3a41， 可推测该数列an的通项公式为 an1.,(2)方法一：a11，a22113，a32317， a427115，,可推测该数列an的通项公式为 an2n1.,方法二：由an12an1an112(an1)an11=(a1,1)2n1an12n1.,【规律方法】数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首 项(基础)两个因素所确定的，即使递推关系完全一样，而首项 不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前 提，从整体把握是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些 规律的常用方法之一.,【互动探究】,考点 3,利用 an 与 Sn 的关系求数列的通项公式,例 3：已知数列an的前 n 项和为 Sn，按照下列条件求数列 的通项公式 (1)若 Sn2n2n，求数列an的通项公式； (2)若 Snn2n1，求数列an的通项公式 解：(1)当 n1 时，a1S11， 当 n2 时，an2n2n2(n1)2(n1)4n3. 经检验，当 n1 时，a11 也适合 an4n3. 数列an的通项公式是 an4n3.,【规律方法】已知 an 求 Sn 的方法多种多样，但已知 Sn 求 an 的方法却是高度统一，化简关系式用 Sn 表示出 an 是关键 当 n2 时，若由 anSnSn1 求出的 an 对 n1 也成立， 则 anSnSn1，否则就分段表示,【互动探究】 4设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2(an1)，则 a3,(,A,) A8 C2,B4 D1,解析：由 S12(a11)a1，得 a12.由 S22(a21)，得 a24.由 S32(a31)，得 a38.,思想与方法,用函数的思想探讨数列的单调性,例题：已知单调递增数列an，ann2kn(nN*)，求实数,k 的取值范围,解：ann2kn(nN*)，,an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k. 数列an单调递增，,an1an0，即 2n1k0 恒成立 k2n1，即 k3.,【规律方法】函数的单调性与数列的单调性既有联系又有 区别，若数列所对应的函数单调，则数列一定单调；反之，若 数列单调，则其所对应的函数不一定单调因为数列是定义域 为正整数集的特殊函数，所以数列的单调性一般要通过比较an+1,与 an 的大小来判断若 an1an，则数列为递增数列；若 an1,an，则数列为递减数列解本题易出现的错误是,an 是关于 n,的二次函数，其定义域为正整数集，若数列an递增，则必有,k 2,1，故 k2.,
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