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第2讲数列的求和问题,专题四数列、推理与证明,栏目索引,高考真题体验,1,2,1.(2016课标全国甲)Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlg an，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991. (1)求b1，b11，b101；,解设an的公差为d，据已知有721d28， 解得d1. 所以an的通项公式为ann. b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.,解析答案,(2)求数列bn的前1 000项和.,1,2,所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.,解析答案,1,2,2.(2016山东)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1. (1)求数列bn的通项公式；,解由题意知，当n2时，anSnSn16n5， 当n1时，a1S111，所以an6n5. 设数列bn的公差为d.,可解得b14，d3，所以bn3n1.,解析答案,1,2,又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1， 2Tn3223324(n1)2n2. 两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2,所以Tn3n2n2.,解析答案,考情考向分析,返回,高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.,热点一分组转化求和,有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.,热点分类突破,例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.,(1)求数列an的通项公式；,解当a13时，不合题意； 当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意； 当a110时，不合题意. 因此a12，a26，a318，所以公比q3. 故an23n1 (nN*).,解析答案,(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.,解析答案,思维升华,解因为bnan(1)nln an 23n1(1)nln(23n1) 23n1(1)nln 2(n1)ln 3 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3， 所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3. 当n为偶数时，,解析答案,思维升华,当n为奇数时，,思维升华,思维升华,在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.,跟踪演练1(2015湖南)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*. (1)证明：an23an；,证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13， 因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3. 两式相减，得an2an13anan1， 即an23an，n2. 又a11，a22， 所以a33S1S233a1(a1a2)33a1， 故对一切nN*，an23an.,解析答案,(2)求Sn.,解析答案,于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列； 数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列. 因此a2n13n1，a2n23n1. 于是S2na1a2a2n (a1a3a2n1)(a2a4a2n) (133n1)2(133n1),解析答案,综上所述，,热点二错位相减法求和,错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.,例2已知数列an的前n项和为Sn，且有a12,3Sn5anan13Sn1 (n2). (1)求数列an的通项公式；,解3Sn3Sn15anan1(n2)，,解析答案,(2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn.,解bn(2n1)22n， Tn121320521(2n1)22n，,Tn12(2n3)22n.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列； (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数. (3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.,跟踪演练2已知正项数列an的前n项和Sn满足：4Sn(an1)(an3) (nN*). (1)求an；,解析答案,化简得，(anan1)(anan12)0， an是正项数列，anan10， anan120，对任意n2，nN*都有anan12，,解得a13或a11(舍去)， an是首项为3，公差为2的等差数列， an32(n1)2n1.,(2)若bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.,解由已知及(1)知， bn(2n1)2n， Tn321522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 得，Tn3212(2223242n)(2n1)2n1,2(2n1)2n1.,解析答案,热点三裂项相消法求和,(1)求数列an的通项公式；,解析答案,解设等差数列an的公差为d，,a12，d2，此时an22(n1)2n.,解析答案,思维升华,Tnb1b2b3bn,为满足题意，必须使2253，,思维升华,思维升华,(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件. (2)常用的裂项公式,A.8 B.9 C.10 D.11,解析答案,解析设数列an的首项为a1，公差为d，,m9.,A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值31,解析答案,返回,(log22log23)(log23log24)log2(n1)log2(n2),故使Sn5成立的正整数n有最小值63.,返回,1,2,高考押题精练,押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.,1,解析,押题依据,答案,1,2,1,2,押题依据,2.已知数列an的前n项和Sn满足Sna(Snan1)(a为常数，且a0)，且4a3是a1与2a2的等差中项. (1)求an的通项公式；,押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.,返回,解析答案,1,2,解(1)当n1时，S1a(S1a11)，所以a1a， 当n2时，Sna(Snan1)， Sn1a(Sn1an11)，,故an是首项a1a，公比为a的等比数列， 所以anaan1an. 故a2a2，a3a3. 由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，,解析答案,1,2,因为a0，整理得8a22a10， 即(2a1)(4a1)0，,所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，,解析答案,1,2,由，得Tn322(22232n)(2n1)2n1,22n2(2n1)2n1 2(2n1)2n1， 所以Tn2(2n1)2n1.,返回,
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