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第1讲等差数列与等比数列,专题四数列、推理与证明,栏目索引,解析,高考真题体验,1,2,3,4,1.(2016课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于() A.100 B.99 C.98 D.97,a100a1090d98，故选C.,1,2,3,4,2.(2016北京)已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a16，a3a50，则S6_.,解析a3a52a40，a40. 又a16，a4a13d0，d2.,6,解析答案,1,2,3,4,解析设等差数列an公差为d，由题意可得：,则a9a18d48320.,20,解析答案,1,2,3,4,4.(2016课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_.,64,答案,解析,解析,1,2,3,4,解析设等比数列an的公比为q，,nN*，,1,2,3,4,此时 取到最大值2664，,a1a2an的最大值为64.,考情考向分析,返回,1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.,热点一等差数列、等比数列的运算,1.通项公式 等差数列：ana1(n1)d； 等比数列：ana1qn1. 2.求和公式,热点分类突破,3.性质 若mnpq， 在等差数列中amanapaq； 在等比数列中amanapaq.,解析,解析,思维升华,故a1，a7是方程x29x80的两根，,因为等比数列an的各项都为正数，所以公比q0.,解析,思维升华,思维升华,思维升华,在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.,跟踪演练1(1)(2015浙江)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.,2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，,1,解析答案,解析在等比数列中，(a1a2)q2a3a4， 即q22，所以a2 013a2 014a2 015a2 016 (a1a2a3a4)q2 012321 006，,1 006,解析答案,热点二等差数列、等比数列的判定与证明,数列an是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列an是等差数列的两种基本方法： 利用定义，证明an1an(nN*)为一常数； 利用中项性质，即证明2anan1an1(n2). (2)证明an是等比数列的两种基本方法：,例2已知数列an的前n项和为Sn (nN*)，且满足anSn2n1. (1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；,解析答案,证明anSn2n1，令n1，,anSn2n1， an1Sn12(n1)1 (n2，nN*).,解析答案,思维升华,思维升华,(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法.,跟踪演练2(1)已知数列an中，a11，an12an3，则an_.,2n13,解析由已知可得an132(an3)， 又a134， 故an3是以4为首项，2为公比的等比数列. an342n1， an2n13.,解析答案,A.bn一定为等比数列 B.bn一定为等差数列 C.bn只从第二项起为等比数列 D.bn只从第二项起为等差数列,解析,解析由已知条件可知，若数列bn为“抛物数列”， 设数列bn的前n项和为Tn，,解析,两式相减得,由各项均为正项，可得bnbn11(n2)， 由等差数列的定义可知bn一定为等差数列.,热点三等差数列、等比数列的综合问题,解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.,例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126. (1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；,解由a2a7a126得a72，a14，,解析答案,(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.,解析答案,思维升华,解由题意知b14，b22，b31， 设等比数列bn的公比为q，,Tm为递增数列，得4Tm8.,解析答案,思维升华,故(Sn)maxS4S510， 若存在mN*，使对任意nN*总有Sn6.即实数的取值范围为(6，).,思维升华,思维升华,(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题. (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.,跟踪演练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*. (1)求数列an的通项公式；,解由已知得Sn3an2，令n1，得a11，,解析答案,(2)设数列bn满足 若bnt对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.,解由,得,返回,解析答案,1,2,3,4,解析,押题依据,高考押题精练,1.设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为() A.6 B.7C.12 D.13,押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力.,解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.,A.1 B.2C.4 D.8,1,2,3,4,解析,押题依据,押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点.,解析设等差数列an的公差为d，,解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.,1,2,3,4,解析,押题依据,押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向.,1,2,3,4,解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20， 解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，,即有mn24，亦即mn6，,押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉.,4.定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(，0)(0，)上的如下函数： f(x)x2；f(x)2x；f(x) ；f(x)ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为() A. B.C. D.,1,2,3,4,解析,押题依据,返回,1,2,3,4,f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1).故选C.,返回,
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