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第3讲导数及其应用,专题二函数与导数,栏目索引,解析,高考真题体验,1,2,3,4,1.(2016四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于() A.4 B.2 C.4 D.2,解析f(x)x312x，f(x)3x212， 令f(x)0，则x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增； 当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减， f(x)的极小值点为a2.,解析,1,2,3,4,1,2,3,4,解析方法一(特殊值法)：不妨取a1，,不具备在(，)单调递增，排除A，B，D.故选C.,解析,1,2,3,4,解析,1,2,3,4,3.(2016山东)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是() A.ysin x B.yln x C.yex D.yx3,1,2,3,4,解析对函数ysin x求导，得ycos x， 当x0时，该点处切线l1的斜率k11， 当x时，该点处切线l2的斜率k21， k1k21，l1l2；,对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1； 对函数yx3，得y2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.,1,2,3,4,4.(2016天津)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.,解析因为f(x)(2x1)ex， 所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以f(0)3e03.,3,解析答案,考情考向分析,返回,1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点. 2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型. 3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.,热点一导数的几何意义,热点分类突破,1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.,例1(1)(2016课标全国甲)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.,1ln 2,bln x111ln 2.,解析答案,(2)已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(),解析f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1， f(1)8，切线方程为y28(x1)， 即8xy100，令x0，得y10，,解析,思维升华,思维升华,(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.,1,解析由题意得，,又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.,解析答案,热点二利用导数研究函数的单调性,1.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0. 2.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.,例2设函数f(x)xekx (k0). (1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,解由题意可得f(x)(1kx)ekx， f(0)1，f(0)0， 故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.,解析答案,(2)求函数f(x)的单调区间；,解析答案,(3)若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.,即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增；,即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增. 综上可知，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增时， k的取值范围是1,0)(0,1.,解析答案,思维升华,思维升华,利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数f(x)； (3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0. 若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.,跟踪演练2(1)已知m是实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则函数f(x)的单调递增区间是(),解析因为f(x)3x22mx，所以f(1)32m1，解得m2.,故选C.,解析,(2)若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不 是单调函数，则实数k的取值范围是_.,解析f(x)的定义域为(0，).,解析答案,热点三利用导数求函数的极值、最值,1.若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. 2.设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.,解析答案,根据题意由f(x)0，得x2. 于是可得下表：,f(x)minf(2)13ln 2.,(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.,由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，,解析答案,思维升华,思维升华,(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解. (3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0). (1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；,因为x1是函数yf(x)的极值点， 所以f(1)1a2a20，,经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点， 所以a1.,解析答案,(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.,解析答案,返回,解当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，,所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,综上可得，a的取值范围是(1，).,返回,1,2,3,4,解析,押题依据,高考押题精练,1.设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于() A.4 B.3 C.2 D.1,押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点.,解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3， 所以f(1)f(1)4.,1,2,3,4,解析,押题依据,押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.,1,2,3,4,解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，,押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别.,1,2,3,4,押题依据,3.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_.,2,解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，,得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.,解析答案,1,2,3,4,押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决.考查了转化与化归思想，是高考的一个热点.,解析,押题依据,答案,返回,1,2,3,4,因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1. 根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，,则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，,返回,
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