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专题九数学思想方法,高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想,栏目索引,一、函数与方程思想,例1(1)已知正四棱锥SABCD中，SA ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(),A.1 B.C.2 D.3,解析,解析设正四棱锥SABCD的底面边长为a (a0)，,令y0，得04. 故函数y在(0,4)上单调递增，在(4，)上单调递减. 可知当a4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，,解析,思维升华,解析设F(c,0)，A(m，n)，,所以b2c23a2c24a2b2， 所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)， 所以c48a2c24a40，,解析,思维升华,思维升华,函数与方程思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数有关理论. (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.,思维升华,跟踪演练1(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)f(2) C.2f(1)f(2) D.f(1)f(2),解析由于f(x)xf(x)，,解析,返回,(2)如图是函数yAsin(x)(其中A0，0，)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是(),解析,返回,解析依函数图象，知y的最大值为2，所以A2.,二、数形结合思想,例2(1)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.,(0,2),解析由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b. 在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.,则当0b2时，两函数图象有两个交点， 从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.,解析答案,答案,解析,思维升华,思维升华,思维升华,数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围. (3)构建解析几何模型求最值或范围. (4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.,跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_.,解析作出符合条件的一个函数图象草图即可， 由图可知xf(x)0的x的取值范围是(1,0)(0,1).,(1,0)(0,1),解析答案,解析答案,(2)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.,返回,三、分类与整合思想,分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.,的取值范围是(),解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.,当a1时，有2a1，a0，a1.,解析,解析,思维升华,答案,解析若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，,若F2PF190， 则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，,思维升华,分类与整合思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类.有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算和字母参数变化引起的分类.如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等.,思维升华,解析,解析因为m是2和8的等比中项， 所以m22816，所以m4.,综上知，选项D正确.,(2)设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_.,解析因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0. 当q1时，Snna10；,由，得11. 故q的取值范围是(1,0)(0，).,(1,0)(0，),返回,解析答案,转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.,四、转化与化归思想,解析,解析依题意，问题等价于f(x1)ming(x2)max.,由f(x)0，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)， 同理得f(x)的单调递减区间是(0,1)和(3，)， 故在区间(0,2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，,解析,当b2时，g(x2)maxg(2)4b8. 故问题等价于,解第一个不等式组得b1，,解析,第三个不等式组无解，,(2)定义运算：(ab)xax2bx2，若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0的解集为(),解析,思维升华,解析1,2是方程ax2bx20的两实根，,由(31)x3x2x20，,思维升华,转化与化归思想在解题中的应用 (1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等. (2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法. (3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.,思维升华,思维升华,(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解. (6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化.,答案,解析,解析g(x)3x2(m4)x2， 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则g(x)0在(t,3)上恒成立， 或g(x)0在(t,3)上恒成立. 由得3x2(m4)x20，,则m41，即m5；,解析,所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为,4,答案,解析,返回,所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.,返回,
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