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2.2椭圆 2.2.1椭圆及其标准方程,自主学习 新知突破,1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 2了解椭圆的标准方程的推导及简化过程 3掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形,取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖 问题1若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？ 提示1线段F1F2. 问题2若绳长L大于两点F1，F2的距离，移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？动点的轨迹是什么？ 提示2|MF1|MF2|L. 动点的轨迹是椭圆,椭圆的定义,距离之和等于常数,定点,距离,|MF1|MF2|2a,对椭圆定义的理解 (1)集合的语言描述为PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2| (2)平面内到两定点F1，F2的距离的和为常数，即|MF1|MF2|2a， 当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆， 当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2， 当2a|F1F2|时，轨迹不存在,椭圆的标准方程,(c,0)，(c,0),(0，c)，(0，c),c2a2b2,椭圆标准方程中注意的几个问题 (1)a2c2b2，ab0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”,(2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型 (3)方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是： ABC0，且A，B，C同号，AB. AB时，焦点在y轴上，AB时，焦点在x轴上,解析：由椭圆方程知a225，则a5， |PF1|PF2|2a10. 答案：D,答案：A,答案：(6，2)(3，),4求适合下列条件的椭圆的方程 (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.,合作探究 课堂互动,求椭圆的标准方程,思路点拨：求椭圆标准方程的关注点 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解,用待定系数法求椭圆的标准方程的解题步骤：,如图，在圆C：(x1)2y225内有一点A(1,0)Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程,利用椭圆的定义求轨迹方程,思路点拨：首先观察图形，结合平面几何的性质得到点M到线段AQ两端的距离相等，然后由A，C这两个定点联想到椭圆的定义，得到点M到这两个定点A，C的距离的和等于圆C的半径5，从而可知所求点M的轨迹是椭圆,由题意知点M在线段CQ上， 从而有|CQ|MQ|MC|. 又点M在AQ的垂直平分线上， 则|MA|MQ|，|MA|MC|CQ|5.,求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路： (1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可,2已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程,思路点拨：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求PF1F2的面积,椭圆定义的应用,椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,【错解一】2c6，c3，由椭圆的标准方程知a225， b2m2，a2b2c2，得25m29， m216，又m0， 故实数m的值为4.,【错因】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解的原因是忽略了对椭圆的焦点位置的讨论,
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