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3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数,自主学习 新知突破,1掌握函数的单调性与导数的关系 2能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间,2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”研究发现，其除了超群的技术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈现一定的规律性,问题1在某个时间段内速度连续增加，若vf(t)，那么f(t)是否为正呢？ 提示1f(t)0. 问题2在某个时间段内速度连续减少，若vf(t)，那么f(t)是否为负呢？ 提示2f(t)0.,函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系,递增,递减,常数,上述结论可用图来直观理解,1深入理解导数与单调性的关系 在某个区间内f(x)0(f(x)0.,2对导数法研究函数单调性的两点注意： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开,1函数f(x)x33x21的单调递减区间为() A(2，)B(，2) C(，0)D(0,2) 解析：f(x)3x26x3x(x2)， 令f(x)0得0x2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2) 答案：D,2设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如下图所示，则yf(x)的图象最有可能是(),解析：由yf(x)的图象可知，当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0， 函数yf(x)在(，0)和(2，)上为增加的，在(0,2)上为减少的 答案：C,3函数f(x)xln x的单调递增区间是_,4已知函数f(x)x2axln x，aR.若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围,合作探究 课堂互动,求函数的单调区间,思路点拨对(1)，求导后，应注意a的讨论,(1)求函数单调区间的步骤： (2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论,1求下列函数的单调区间： (1)f(x)x36x； (2)f(x)3x22ln x.,函数与导函数图象之间的关系,设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和f(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是() 思路点拨根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断,解析：对于选项A，若曲线C1为yf(x)的图象，曲线C2为yf(x)的图象，则函数yf(x)在(，0)内是减函数，从而在(，0)内有f(x)0.因此，选项A符合题意 同理，选项B，C也符合题意 对于选项D，若曲线C1为yf(x)的图象，则yf(x)在(，)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为yf(x)的图象，则yf(x)在(，)内应为减函数，与C1不相符 答案：D,(1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用在某个区间内f(x)0(或f(x)0)也就是f(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数) (2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致,2已知导函数f(x)的下列信息： 当13，或x0； 当x1，或x3时，f(x)0. 试画出函数f(x)图象的大致形状,解析：如下图：,当13，或x0，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x1，或x3时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 综上，函数f(x)的图象的大致形状如上图所示,已知函数单调性求参数范围,由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围,3若函数f(x)ax3x2x5在R上单调递增，求a的取值范围,若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，求实数m的取值范围,【错因】没有考虑到f(x)0的情况f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而非充要条件利用f(x)0(或f(x)0)求解后，要验证端点能否使f(x)恒等于0.,
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