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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质,自主学习 新知突破,1了解杨辉三角,并能由它解决简单的二项式系数问题 2了解二项式系数的性质并能简单应用 3掌握“赋值法”并会灵活应用,(ab)n的展开式的二项式系数,当n取正整数时可以表示成如下形式: (ab)111 (ab)2121 (ab)31331 (ab)414641 (ab)515101051 (ab)61615201561,问题1你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 提示1在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和 问题2计算每一行的系数和,你又看出什么规律? 提示22,4,8,16,32,64,其系数和为2n.,杨辉三角的特点,相等,和,二项式系数的性质,相等,2n,1在(ab)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是() A第8项B第7项 C第9项D第10项,2在(1x)n(nN*)的二项展开式中,若只有x5的系数最大,则n等于() A8B9 C10D11 解析:只有x5的系数最大,x5是展开式的第6项,第6项为中间项,展开式共有11项,故n10. 答案:C,3已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_ 解析:依题可得a0a2a4(a1a3a5)16, 则(a0a2a4)(a1a3a5)256. 答案:256,合作探究 课堂互动,与“杨辉三角”有关的问题,如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.,思路点拨解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置,把各项还原为各二项展开式的二项式系数,利用组合的性质求和,规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是: (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察; (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间,行与行之间的数据的规律,1(1)如图所示,满足第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n2)的第2个数是_;,(2)如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为_,二项展开式系数和问题,已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求: (1)a1a2a7; (2)a1a3a5a7; (3)a0a2a4a6; (4)|a0|a1|a2|a7|.,思路点拨,2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0,求: (1)a1a2a7; (2)a1a3a5a7; (3)a0a2a4a6.,二项式系数的性质,思路点拨,规律方法1.求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大 2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得,【正解】设(2x1)na0a1xa2x2anxn.且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B. 则:Aa1a3a5,Ba0a2a4a6 由已知可知:BA38. 令x1,得:a0a1a2a3an(1)n(3)n, 即:(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n,,
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