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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,【自主预习】 主题1:向量的数乘运算 1.类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a.,2.3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢? 提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反. 3.按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系. 提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若|a|=,则|3a|=3.,结合以上探究过程,试着总结向量数乘运算的有关概念. 定义:实数与向量a的积是一个_.,a,|a|,相同,相反,0,向量,运算律: (a)=_;(+)a=_; (a+b)=_. 特别地,(-)a=-(_)=(_),(a-b)=_.,()a,a+a,a+b,a,-a,a-b,主题2:共线向量定理 1.如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况? 提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量. 2.根据向量的数乘运算,a与a(0,a0)的方向有何关系? 提示:相同或相反.,3.向量a与a(为常数)一定共线吗? 提示:共线.,结合以上探究过程试着总结共线定理: 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使_.,b=a,【深度思考】 结合教材P89例6你认为应怎样判断A,B,C三点共线? 第一步:_. 第二步:_.,利用向量的线性运算证明向量 共线,指明两向量有公共点A,然后得出结论,【预习小测】 1.若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是() A.b=2aB.b=-2a C.a=2bD.a=-2b,【解析】选A.因为a与b的方向相同,且|b|=2|a|,故b=2a.,2.若a与b共线且|a|=|b|(a0,b0),则下列结论正确的是() A.a=bB.a=-b C.a=bD.不确定 【解析】选C.因为a与b共线,且|a|=|b|,故a=b.,3.化简:2(3a+4b)-7a=_. 【解析】原式=6a+8b-7a=-a+8b. 答案:-a+8b,4.向量a与b不共线,向量c=3a-b,d=6a-2b,则向量c与d的关系是_.(共线,不共线) 【解析】d=6a-2b=2(3a-b)=2c, 所以向量c与d共线. 答案:共线,【备选训练】已知e1与e2不共线, =e1+e2, =2e1+8e2, =3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.(仿照教材P89例6 的解析过程),【证明】因为 =e1+e2, =(2e1+8e2)+(3e1-3e2) =5e1+5e2=5(e1+e2)=5 ,所以 共线. 又 有公共点B,所以A,B,D三点共线.,【互动探究】 1.实数与向量能否进行加减运算? 提示:不能.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算.,2.设x,y为实数,若xa-ya=0,能否得出x=y? 提示:不一定.因为xa-ya=0,会得到(x-y)a=0,所以x=y或a=0.,3.向量数乘得到的依然是向量,那么它的方向由谁确定? 提示:实数与向量a数乘,得到向量a,其方向由的正负及向量a的方向共同确定.,4.若向量a与向量b(b0)共线,则a=b,如何确定 的值? 提示:当a,b同向时,= ,当a,b反向时,=- .,5.定理中为何要限制a0? 提示:共线向量定理中,若不限制a0,则当a=b=0时,的值不唯一,定理不成立.并且当b0,a=0时,的值不存在.,6.若向量a,b不共线,且a=b,则,的值如何? 为什么? 提示:=0.假设0,由于向量a,b不共线,则 a0,b0,且a= b,从而a,b共线,与向量a,b不共线 矛盾,可知=0.,【拓展延伸】向量中常见的一些结论 (1)表示a-b,a+b的有向线段恰为同一平行四边形的 两条对角线. (2)设D为ABC中线段BC的中点,则 (3)设G为ABC的重心,则,【探究总结】 知识归纳:,方法总结:向量线性运算的基本方法 (1)类比方法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.,(2)方程方法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.,【题型探究】 类型一:向量的线性运算 【典例1】化简下列各式. (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.,【解题指南】简单的化简问题,把握运算顺序为:运算 律去括号数乘向量向量加减. 【解析】(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式= (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.,【规律总结】向量的线性运算的思路 (1)利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式.其化简方法与代数式的化简有些类似. (2)已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数式的值”,即先化简向量式,再代入求值.这样能简化解题过程.,(3)解向量的线性方程组的方法同解实数系中的一次方程组一样,即进行消元,其消元方法也有代入消元法、加减消元法.,【巩固训练】化简: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c).,【解析】(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c =(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c=6a+4b. (2)原式= (a+4b)-(4a-2b) = (-3a+6b)=2b-a.,类型二:共线向量定理及应用 【典例2】设两个非零向量a和b不共线,如果 =a+b, =3(a-b), =2a+8b. (1)计算 (2)证明 共线.,【解题指南】(1)利用向量加法的三角形法则即 (2)只需证明存在一个常数,使 即可.,【解析】(1),【延伸探究】 1.本例条件不变,试证明 共线. 【证明】由本例(1)解析知,2.本例条件不变,试证明A,B,D三点共线. 【证明】由本例(2)解析知 而向量 与向量 又有一个公共点B,故A,B,D 三点共线.,3.若本例条件换为“设两非零向量a和b不共线且m=ka+b,n=a+kb,若m与n共线”,求k的值.,【解析】因为m与n共线.所以存在常数使得 ka+b=(a+kb), 所以(k-)a+(1-k)b=0, 又因为a与b不共线, 所以 所以k=1.,【规律总结】 1.用向量证明三点共线的关键与步骤 (1)关键:能否找到一个实数,使得b=a(a,b为这三点构成的其中任意两个向量). (2)证明步骤:先证明向量共线,再由两个向量有公共点,证得三点共线.,2.由共线向量定理求向量系数的步骤 (1)把向量等式通过向量线性运算,转化为与另一个式子相同的形式. (2)由两等式相同知对应系数相同,列方程可求向量的系数.,【拓展延伸】向量共线与线段共线的区别以及作用 (1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上. (2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线.,【补偿训练】已知向量 则() A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线 【解析】选B.因为 所以A,B,D三点共线.,类型三:用已知向量表示未知向量 【典例3】已知在ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点. 若 试用e1,e2表示,【解题指南】结合图形找出所求向量和已知向量的等量关系,用加减法及数乘运算求解.,【解析】因为M,N分别是DC,BC的中点, 所以MN BD. 因为 =e2-e1, 所以 =2e2-2e1. 又因为AO是AMN的中线, 所以,【规律总结】用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法:,(2)方程法: 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.,【巩固训练】如图,设ABC的重心为G,O是ABC所在 平面内的一点,且 =_.,
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