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第三讲 概率、随机变量及其分布列,【知识回顾】 1.互斥事件、对立事件的概率公式 (1)P(AB)=_.(2)P(A)=_. 2.古典概型的概率公式 P(A)= =_.,P(A)+P(B),1-P(B),3.几何概型的概率公式 P(A)= 4.条件概率 P(B|A)=_.,5.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=_.,P(A)P(B),6.独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次 独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)=_，k=0，1，2，n.用X表示事 件A在n次独立重复试验中发生的次数，则x服从二项分 布，即XB(n，p)且P(X=k)= pk(1-p)n-k.,7.超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件 次品，则P(X=k)= k=0，1，2，m，其中 m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*.此时称随 机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回 抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.,8.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量的分布列为,离散型随机变量的分布列具有两个性质： pi0； p1+p2+pi+pn=1(i=1，2，3，n).,(2)E()=_为随机变量的 数学期望或均值. D()=_ _叫做随机变量的 方差.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,(x1-E()2p1+(x2-E()2p2+(xi-,E()2pi+(xn-E()2pn,性质：E(a+b)=aE()+b，D(a+b)=a2D()； XB(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)； XN(，2)，则E(X)=，D(X)=2； X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).,【易错提醒】 1.混淆互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.,2.关注条件：概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中，易忽视只有当AB=，即A，B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)，此时P(AB)=0.,3.混淆两种概型致误：易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的.,4.注意区分两个事件：注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个事件，相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响，当然可以同时发生.,【考题回访】 1.(2016全国卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(),【解析】选B.如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中，而当他 到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间 不超过10分钟，根据几何概型，所求概率P=,2.(2016全国卷)从区间0，1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(),【解析】选C.由题意得：(xi，yi)(i=1，2，n)在 如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图 所示的阴影中， 由几何概型概率计算公式知 所以=,3.(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为() A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312,【解析】选A.根据独立重复试验公式得，该同学通过 测试的概率为 0.620.4+ 0.63=0.648.,4.(2014全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45,【解析】选A.设某天空气质量优良，则随后一天空气质量也优良的概率为p， 则据题有0.6=0.75p，解得p=0.8.,热点考向一古典概型、几何概型及条件概型 命题解读：高考对本考向的考查难度不大，主要是考查古典概型、几何概型公式的应用及条件概率公式的应用，三种题型都有可能出现.,【典例1】(1)(2016北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(),(2)(2016泉州一模)如图，矩形ABCD中，点A在x轴 上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)= 的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率等于(),(3)一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个.如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为_.,【解题导引】(1)本题属于古典概型的概率计算问题. (2)先求C点的坐标，再求D点与A点的坐标，进而求得矩形面积与阴影部分图形的面积，代入几何概型概率公式求解.,(3)先根据题意确定条件概率中的两个事件：“从口袋中摸出2个小球，第1次摸出红球”这是前提，“从口袋中摸出2个小球，第1次摸出红球，第2次摸出的也是红球”，求出相应的基本事件个数，然后代入古典概型的概率计算公式求值，最后代入条件概率的计算公式求值即可.,【规范解答】(1)选B.把5名同学依次编号为甲乙丙丁 戊，基本事件空间=甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙 丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，包含基本事件 总数n=10.设A表示事件“甲被选中”，则A=甲乙，甲 丙，甲丁，甲戊，包含基本事件数m=4.所以概率为P=,(2)选B.因为f(x)= B点坐标为(1，0)， 所以C点坐标为(1，2)，D点坐标为(-2，2)，A点坐标 为(-2，0)，故矩形ABCD的面积为23=6，阴影部分 的面积为 31= ，故,(3)设“第1次摸出红球”为事件A，“第2次摸出红球”为事件B，则“第1次和第2次都摸出红球”为事件AB，所求事件为B|A.,事件A发生的概率为P(A)= 事件AB发生的概率为P(AB)= 由条件概率的计算公式可得，所求事件的概率为 答案：,【一题多解】本题还可用以下方法求解： 因为已知第一次摸出的球为红球，故第二次摸球等价 于从3个红球、2个白球中任取一个球，故所求概率P= 答案：,【方法规律】 1.利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识. (2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏.,2.几何概型的适用条件及求解关键 (1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.,(2)求解关键：构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.,3.条件概率的求法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)= 这是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事 件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基 本事件数，即n(AB)，得P(B|A)=,【题组过关】 1.(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(),【解析】选C.将4种颜色的花任选2种种在花坛中，余 下的2种花种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色 和紫色的花不在同一花坛的种数有4种，故概率为,2.已知a-2，0，1，3，4，b1，2，则函数 f(x)=(a2-2)x+b为增函数的概率是() 【解析】选B.因为f(x)=(a2-2)x+b为增函数，所以a2- 20，又a-2，0，1，3，4，所以a-2，3，4， 又b1，2，所以函数f(x)为增函数的概率是,3.(2016山东高考)在-1，1上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为_.,【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交，则有圆 心到直线的距离d= 即 所以所求概率 答案：,【加固训练】1.(2016贵阳二模)若k-3，3，则k的值使得过A(1，1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2相切的概率等于(),【解析】选C.由题可知点在圆外，过该点可作两条直 线与圆相切.故使圆心与点A的距离大于半径即可，即 (1-k)2+12，解得k2，所以所求k-3，0) (2，3，所求概率P=,2.(2016唐山一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.,(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数. (2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率.,【解析】(1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3. (2)记抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3.,事件“这2个零件都不是甲车床加工的”可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种可能；,事件“其中至少有一个是乙车床加工的”可能结果为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种可能. 故所求概率为P=0.7.,热点考向二互斥事件、对立事件及相互独立事件的概率 命题解读：互斥事件、对立事件常与古典概型相结合考查，相互独立事件主要考查事件同时发生的概率的求法，难度不大，各种题型都有可能出现.,【典例2】(1)某个部件由两个 电子元件按如图方式连接而成， 元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_.,(2)(2016昆明一模)在一块耕地上种植一种作物，每 季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量均有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：,设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； 若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.,【解题导引】(1)由题意可知，只要元件1和元件2中有一个正常工作，则该部件就能正常工作，故可利用互斥事件的概率公式求解.,(2)利用“利润=产量市场价格-成本”，计算出不同的利润，再求出各自的概率即可列出分布列；由可知第i季利润不少于2000元的概率，将问题转化为独立重复试验概率求解问题.,【规范解答】(1)由正态分布知元件1，2的平均使用寿 命为1000小时，设元件1，2的使用寿命超过1000小时 分别记为事件A，B，显然P(A)=P(B)= 所以该部件的 使用寿命超过1000小时的事件为 所以其 概率P= 答案：,(2)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”， 由题设知P(A)=0.5，P(B)=0.4， 因为利润=产量市场价格-成本，,所以X所有可能的取值为 50010-1000=4000，5006-1000=2000， 30010-1000=2000，3006-1000=800. P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5)(1-0.4)=0.3， P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( ) =(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5，,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2， 所以X的分布列为,设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1，2，3)， 由题意知C1，C2，C3相互独立，由知， P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000) =0.3+0.5=0.8(i=1，2，3)，,3季的利润均不少于2000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512； 3季中有2季利润不少于2000元的概率为 =30.820.2=0.384，,所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.,【母题变式】1.若将本例(1)中部件构成图变为如图，其中元件3服从的正态分布与元件1，元件2相同， 元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，则结果如何？,【解析】设元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的事 件分别记为A，B，C，显然P(A)=P(B)=P(C)= 所以该 部件的使用寿命超过1000小时的事件为： 所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为,2.若将本例(1)的条件变为一个电路如图所示，A，B， C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是 且是相 互独立的，则灯亮的概率是多少？,【解析】设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F 至少有一个不闭合的事件为R，C，D不闭合的事件分别 为C，D，则P(T)=P(R)= 所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=,【方法规律】求复杂事件概率的方法及注意点 (1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.,(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. (3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.,【题组过关】 1.(2016南昌二模)现有编号从一到四的四个盒子， 甲把一个小球随机放入其中一个盒子，但有 的概率 随手扔掉，然后让乙按编号顺序打开每一个盒子，直 到找到小球为止(或根本不在四个盒子里).假设乙打开,前两个盒子没有小球，则小球在最后一个盒子里的概 率为(),【解析】选B.不妨在原有的4个盒子的基础上增加一 个盒子，且第5个盒子不能打开， 小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子. 此时小球在第五个盒子里的概率都是 由于小球不 在第一、第二个盒子里，,就只能在第三、四、五个盒子里，又因为在每个盒子 里的概率相等， 所以这个小球在最后一个盒子里的概率为,2.(2016贵阳一模)在某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生必须参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.,(1)求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率. (2)设X表示甲、乙、丙三名同学选择周三的活动的人数之和，求X的分布列.,【解析】(1)设A表示事件“甲同学选周三的活动”， B表示事件“乙同学选周三的活动”，则P(A)= 因为事件A，B相互独立， 所以甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的 概率为,(2)设C表示事件“丙同学选周三的活动”，则 P(C)= X的可能取值为0，1，2，3.,所以X的分布列为,【加固训练】1.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙 类题，张同学从中任选3道题作答.已知所选的3道题中 有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的 概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答 对与否相互独立，则张同学恰好答对2道题的概率为 _.,【解析】设张同学答对甲类题的数目为x，答对乙 类题的数目为y，答对题的总数为X，则X=x+y. 所以P(X=2)=P(x=2，y=0)+P(x=1，y=1)= 答案：,2.(2016汉中二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某 个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为 且各自能否被选中互不影响. (1)求3人同时被选中的概率. (2)3人中有几人被选中的情况最容易出现？,【解析】记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B， C，则 (1)3人同时被选中的概率为 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,(2)3人中有2人被选中的概率为P2= 3人中只有1人被选中的概率为,3人均未被选中的概率为P4= 由于P3P2P1=P4，即P3最大. 综上可知，3人中只有1人被选中的情况最容易出现.,热点考向三离散型随机变量的分布列 命题解读：离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，试题类型有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档.,命题角度一超几何分布 【典例3】(2016兰州一模)袋中装有大小相同的8个小球，其中5个白球的编号分别为1，2，3，4，5，3个黑球的编号分别为1，2，3，从袋中任意取出3个球.,(1)求取出的3个球编号都不相同的概率. (2)记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望. (3)记每次取出的3个球所得的分数为Y，其中Y=2X+1(X为取出的3个球中编号的最大值)，求Y的数学期望.,【解题导引】(1)因为一共取出3个球，故由题意可知 编号都不相同的对立事件是3个球中有两个球的编号相 同，所以先利用排列、组合知识求出所求事件的对立 事件的概率，然后转化为所求即可.(2)先根据小球编 号情况确定X的所有可能取值，分析其每个值对应事件 的性质和类型，利用排列、组合的知识求出相应的概,率，然后列表即得分布列，最后代入数学期望的计算公式求值即可.(3)根据两个变量之间的关系确定两个变量的数学期望之间的关系，然后直接利用(2)的结果表示所求.,【规范解答】(1)记“取出的3个球编号都不相同”为 事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事 件B，则由题意知，事件A与事件B互为对立事件. 事件B表示从3对编号相同的小球中选取一对，再从其 余的6个小球中任选一个即可，故P(B)= 所以P(A)=1-P(B)=,(2)由题意，知X表示取出的3个球中编号的最大值， 故X的所有可能取值为2，3，4，5.,所以X的分布列为 故其数学期望为E(X)= (3)由已知得Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=,命题角度二与独立重复试验有关的分布列 【典例4】(2016山东高考)甲、乙两人组成“星队” 参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语， 在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分； 如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都 没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率,是 乙每轮猜对的概率是 每轮活动中甲、乙猜对 与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参 加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率. (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).,【解题导引】(1)要弄清“至少猜对3个”所包含的事件. (2)找全两轮得分之和为X的可能值，然后计算每种可能值的概率.,【规范解答】(1)由题意，“星队”至少猜对3个成语包含“甲对一乙对二”与“甲对二乙对一”“甲乙全对”，,(2)“星队”两轮得分之和X的可能值为：0，1，2，3，4，6.,可得随机变量X的分布列为,【规律方法】求解随机变量分布列问题的两个关键点 (1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率.,(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解.,【题组过关】 1.(2016平顶山二模)随着人口老龄化的到来，我国 的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人 们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休” 的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取 了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：,年龄在25，30)，55，60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.,(1)求年龄在25，30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率. (2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率. (3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.,【解析】(1)设“年龄在25，30)的被调查者中选取 的2人都是赞成”为事件A，所以 (2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B， 所以,(3)X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X=0)=,所以X的分布列是 所以E(X)=,2.(2016芜湖二模)2015年12月6日宁安高铁正式通车 后，极大地方便了沿线群众的出行生活.小明与小强都 是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高 铁从芜湖返回马鞍山.因为工作的需要，小明每次都要 在15：30至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘 坐；小强每次都要在16：00至18：30时间段出发的列,车中任选一车次乘坐.(假设两人选择车次时都是等可能地随机选取),(1)求2016年1月8日(周五)小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率. (2)记随机变量X为小明与小强在1月15日(周五)，1月22日(周五)，1月29日(周五)这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望.,附：2016年1月1日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表.,【解析】(1)设“2016年1月8日(周五)小明与小强两人 乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件A，由题意，小明可 选择的列车有3趟，小强可选择的列车有2趟，其中两 人可以同时乘坐的有2趟. 所以P(A)=,(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 由题，X,随机变量X的分布列为：,【加固训练】(2016湛江二模)甲、乙两人轮流投 篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一 直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每 次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率. (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.,【解析】设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中， 则P(Ak)= P(Bk)= (k=1，2，3). (1)记“甲获胜”为事件C， 则P(C)=,(2)投篮结束时甲的投篮次数的可能值为1，2，3,的分布列为 期望,
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