抛物线与拱桥问题

抛物线与拱桥问题江苏 刘顿我们知道，抛物线是一种对称的曲线，因而桥梁设计专家往往将桥梁设计成抛物线形状, 这样既美观大方、雄伟壮观，又坚固实用，正因为如此，这又引起了命题专家浓厚的兴趣, 许多省市往往以各类拱桥为命题背景，设计成丰富多彩的利用二次函数性质求解问题的试 题，现举两例说明.例1 （泰州市）如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形 状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m， 桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如 图2）.（1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离.分析：本题已经建立了平面直角坐标系，于是：（1）依题意可以求得抛物线的顶点坐标, 这样可以用顶点式设出抛物线的解析式；（2）由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景 观灯，也就是说两景观灯的纵坐标都是4,这样利用（1）求得的抛物线的解析式得到一个 一元二次方程，即可求解.解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（5, 5），与y轴交点坐标是（0, 1）.于是可设抛物线的解析式是y=a （x-5） 2+5,4把（0, 1）代入y=a （x-5） 2+5，得a 二一 a.25所以所求抛物线的解析式为4y 二一 （x 一 52 免 g . 1 0 ） 25（2）由已知条件得两景观灯的纵坐标都是4,4所以 4 二- 25 （x -5）2 + 5， /=、2515即（x 一 5）2 -，于是 x = -412所以两景观灯间的距离为5米.说明：本例的（2）求两灯间的距离，实际上是运用数轴上两点之间的距离计算公式:d x1-x2 例2 （宜昌市）如图3,宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的） 与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨 度（即两主塔之间的距离）是900米，这里水面的海拔高度是74米.若过主塔塔顶的主悬 钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19 米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长（结果精确到0.1米）.图3分析：本题看似复杂，但只要仔细理解题意，正确地建立坐标系，再运用二次函数的知 识，即可求解.解：如图4,以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点，以桥面所在的直 线为x轴建立平面直角坐标系，则A (0，0.5), B (450, 94.5), C (450，94.5).由题意，设抛物线为y=ax2+0.5.将C (450, 94.5)代入求得a二所以y二101 250 x2+05 当 x=350 时，严57.4.所以，离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米.说明：本题也可以这样来建立平面直角坐标系：如图5，以抛物线形主悬钢索最低点为 原点，以平行于桥面的直线为x轴建立平面直角坐标系.则B(450, 94)，C(450, 94).设4747抛物线为：y=ax2，将C (450, 94)代入求得：a二 而更所以y二 而药0x2 当x = 350时，严56.9，所以56.9+0.5=57.4.所以离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为 57.4 米.