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二单元 乘除法的关系和乘法运算律第1课时乘除法的关系(一)【教学内容】教科书第9页例1,第10页课堂活动,练习三第13题。【教学目标】1.经历讨论、归纳乘除法的关系及乘除法各部分间的关系的过程,在具体的情境中理解乘除法之间的关系,知道除法是乘法的逆运算。2.能根据乘除法的关系,在已知两个数的情况下,求出乘除法算式中的任一未知数。3.知道“0”不能做除数。【教学重、难点】教学重点:在具体情境中理解除法是乘法的逆运算和乘除法各部分间的关系。教学难点:知道“0”不能做除数。【教学准备】多媒体课件。【教学过程】一、复习引入，准备学习1.加减法之间的关系。比比谁最快!出示4道题,学生抢答,并说一说是怎么想的。(1)()+55=80(2)45+( )=100(3)( )-78=32(4)150-( )=60在解决这些问题的时候,我们用到加减法之间的关系。四年级上期的时候,我们学过这个内容,还记得是怎么说的吗?(一个加数=和-另一个加数,被减数=差+减数,减数=被减数-差,减法是加法的逆运算。)2.揭示课题。加减法之间有这样的关系,同学们还会想到什么问题呢?乘法和除法又有什么关系呢?这就是我们今天要研究的问题:乘除法的关系。二、主动学习，探究新知1.教学例1。(1)找到数学信息。春节快到了,大街上到处张灯结彩,喜气洋洋。(出示例1主题图)请同学们仔细观察情境图,从图中你获得了哪些数学信息?(有12棵树,每棵树上挂了4个灯笼,一共有48个灯笼。)(2)写出算式。根据题中的数量关系,你能用这些数据写出算式吗?学生在作业本上写:412=48,484=12,4812=4。你知道这些算式分别解决的是什么问题吗?请几名学生分别介绍。(3)小组讨论。观察412=48,484=12,4812=4,这3个算式,你发现除法和乘法之间有怎样的关系?学生独立思考1分之后,小组交流,然后全班交流。引导学生发现:48既是乘法算式里的积,也是除法算式里的被除数。4和12既是乘法算式里的因数,也是除法算式里的除数或商。在乘法算式里,用积除以一个因数,可以得到另一个因数。在除法算式里,用商乘除数,可以得到被除数;用被除数除以商,可以得到除数。我们也可以说,除法是乘法的逆运算。(4)看书整理。同学们总结得真好!我们翻开教科书第9页,自己再读一读。然后师生一起板书:一个因数=积另一个因数，被除数=商除数，除数=被除数商，除法是乘法的逆运算 (5)“0”不能作除数。看了书之后,你有什么问题吗?(书上说“0”不能作除数,“0”为什么不能作除数呢?)有哪位同学能解决这个问题?预设1:我们刚刚学习了乘除法之间的关系,知道了“商除数=被除数”。假如“0”作了除数,那10=()呢?括号里不管填几,商乘除数都不能得到被除数,所以就没有答案。预设2:如果是00=( ),括号里不管填几,商乘除数都能得到被除数,就无法确定商是几。如果“0”作为除数的话,要么就没有商,要么就是商不确定,所以我们就规定,“0”不能作除数。三、再次练习，巩固提高1.“1比2”对对碰。(1)初级。活动规则:同桌两个人玩,一方说一个乘法算式,另一方则根据这个乘法算式说出两个除法算式,看谁的反应最快!教师先和一个学生示范,然后同桌开始玩。(2)中级。活动规则:同桌两个人玩,一方说一个除法算式,另一方则根据这个除法算式说出一个乘法算式一个除法算式,看谁的反应最快!(3)高级。活动规则:同桌两个人玩,不规定先说什么算式,一方可以任意说一个乘法或除法算式,另一方说出另外两个算式,看谁的反应最快!2.猜猜我是几?课件出示4道题:(1)5=120；(2)14=280；(3)23=46；(4)520=13。先4人小组交流,每个人说一道题,说清楚是怎么算出来的,听的同学进行补充或者提供帮助,然后进行全班交流。四、布置作业学生独立完成练习三第13题。第2课时乘除法的关系(二)【教学内容】教科书第10页“议一议”,练习三第48题及思考题。【教学目标】1.能根据乘除法的关系,验算乘除法算式的正确性。2.讨论出在有余数的除法里,被除数和除数、商、余数之间的关系。能根据此关系,在已知除数、商、余数的情况下,求出被除数。3.在练习中,巩固对乘除法关系的理解。【教学重、难点】教学重点:在已知除数、商、余数的情况下,能求出被除数;能根据乘除法的关系,验算乘除法算式的正确性。教学难点:在已知除数、商、余数的情况下,能求出被除数。【教学准备】多媒体课件。【教学过程】一、乘除法的验算1.乘法的验算。(1)同学们,回忆一下,你们在考试中最容易犯的错误是什么?学生自由回答。(2)相信大多数同学都有过计算错误。的确,随着计算的步骤越来越多,数据越来越大,我们的计算也变得越来越复杂,就越来越容易出错,那怎样才能减少这样的错误呢?预设1:计算时一定要集中注意力。预设2:计算时可以在草稿本上多算两遍。预设3:计算完了后,我们还可以验算一次。(3)请同学们在作业本上计算20452的结果。(4)我们怎样来验算20452的结果对不对呢?预设1:我们可以交换两个因数的位置,再乘一次,看结果是不是一样的。预设2:昨天我们学习了乘除法的关系,积除以一个因数等于另一个因数,因此,可以用算出来的积除以52,看能不能得到204。同学们说的方法都很好,交换因数的方法我们以前学过。不过今天我们用除法来验算乘法,请同学们试一试。学生独立完成,教师指导验算的格式。(5)讨论:有学生验算时没有得到204,该怎么办呢?预设1:如果没有得到204,说明算错了。我们就要回头检查第一个乘法竖式,看看是哪一步出了问题。预设2:我认为也有可能是验算的竖式出错了。如果我们检查了乘法竖式没有问题,那就要再检查是不是我们验算的竖式出了问题。2.除法的验算。(1)乘法大家已经会验算了,那除法呢?请同学们在练习本上计算50436,并讨论如何验算。预设1:可以用504除以商,看能不能得到除数36。预设2:也可以用商乘除数,看能不能得到被除数504。(2)同学们提的方法都很好,一般情况下,我们用乘法来验算除法。学生在作业本上完成验算。3.在验算乘法或者除法的结果对不对时,我们是根据什么来验算的呢?小结:根据乘除法的关系来验算乘法或者除法。二、有余数的除法的各部分的关系上节课我们学习了乘除法的关系,也利用了乘除法的关系来验算乘法或者除法。那在有余数的除法里,各部分之间又有怎样的关系呢?请同学们举几个有余数的除法的例子。52=2172=31143=42(1)请你仔细观察这些算式,被除数与除数、商、余数之间有怎样的关系?学生先独立思考,然后小组交流。(2)全班反馈交流。预设1:我们发现了,在有余数的除法里,被除数等于商乘除数再加余数。比如:14=43+2。老师板书:被除数=商除数+余数。预设2:我们发现了,在有余数的除法里,除数等于被除数减去余数之后再除以商。老师板书:除数=(被除数-余数)商。预设3:我们发现了,在有余数的除法里,商等于被除数减去余数之后再除以除数。老师板书:商=(被除数-余数)除数。(3)如果我们要验算有余数的除法算得对不对,可以怎样验算?总结:同学们已经发现了在有余数的除法中,被除数与除数、商、余数之间的关系,利用这个关系,我们就可以来验算有余数的除法了。一般情况下,我们用“被除数=商除数+余数”来验算有余数的除法。三、课堂练习1.完成练习三第5题。如学生掌握得很好,完成速度较快,教师可以增加两道题目,求商和除数。被 除 数除 数商余 数4312721四、独立练习1.练习三第4,6,7,8题。学生独立完成。2.思考题。教师引导,对于这种比较复杂的四则混合运算,我们要先把它转化为简单的算式。如480(6)=20480( )=20,则根据乘除法的关系,可以求出括号里该填48020=24;也就是说,6=24,则=246=4。再让学生用此思路解决第2题。乘法运算律及简便运算第1课时乘法运算律及简便运算(一)【教学内容】教科书第12页例1、例2,第13页课堂活动第1题,练习四第1,2题。【教学目标】1.经历探索乘法交换律和乘法结合律的过程,理解并掌握规律,能用字母表示规律。2.体验乘法交换律和乘法结合律的应用价值,培养学生的探究意识和问题解决能力,增强数学的应用意识。3.培养学生观察、比较、归纳等思维能力,并在数学活动中获得成功的体验。【教学重、难点】理解并掌握乘法交换律和乘法结合律。【教学准备】实物展示平台。【教学过程】一、复习引入，准备学习上学期我们学习了加法的交换律和结合律,下面就请同学们利用加法的运算律来填空。1.利用加法运算律填空。45+56=56+ (25+49)+51=25+(+)甲数+乙数=乙数+ (10+)+c=+(+)学生独立完成后,抽一名学生反馈结果。2.这两组算式分别运用了什么运算律?谁来说一说什么是加法交换律和结合律?这两个运算律用字母该怎样表示?a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)3.设疑激趣。看来同学们对于加法的交换律和结合律都掌握得非常好,请同学们大胆地猜想一下,在乘法运算中有这样的运算律吗?同学们都很有胆量,敢于猜想,那乘法中到底有没有这样的运算律呢?下面我们就一起来探讨吧!二、主动学习，探究新知1.教学例1,乘法交换律。(1)出示例1。请你仔细观察例1的情境图,要求一共有多少个鸡蛋,你能列式并解答在草稿本上吗?反馈:94=36(个) 49=36(个)为什么要用94呢?(横着看,一排有9个鸡蛋,有4排,就是有4个9。)为什么要用49呢?(竖着看,一列有4个鸡蛋,有9列,就是有9个4。)无论是横着观察,还是竖着观察,虽然方法不同,但是都得到一共有多少个鸡蛋。(2)观察算式特点。94=36,49=36,这两个算式有什么特点呢?两个算式中的因数位置交换了,但结果相同,我们就可以用等号把它们连接起来。板书:94=49。(3)举一反三。同学们,你还能写出几个这样的等式吗?板书学生举出的等式。如:64=46298=829257=725(4)归纳特征。同学们举出的例子还真不少,如果继续写下去,能写完吗?请你们仔细观察这些算式,看你能发现什么规律。小结:大家真了不起!两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这就是乘法交换律,请大家把自己的发现给你的同桌再介绍一次吧!(5)用喜欢的方式表示。现在老师想请你们不用具体的数据,尝试用自己喜欢的方式表示乘法交换律,好吗?学生独立尝试,然后反馈。预设:甲数乙数=乙数甲数=a=a看来大家想到的形式还真是丰富多彩呢,真棒!那如果用a,b表示两个数,我们又应该怎么表示呢?根据学生的回答,板书:ab=ba。在数学中,我们就是这样用字母来表示乘法交换律的。2.教学例2,乘法结合律。(1)猜想。刚才我们共同发现了乘法交换律,接下来谁来说一说你心中的乘法结合律又是怎样的呢?(2)验证。到底是不是这样的呢?下面我们就从生活中的实际问题去验证。出示例2的情境图,这道题的已知条件和问题分别是什么?要求这个小区共有多少户,你能列出综合算式并解决吗?学生独立列式解答,教师巡视指导。反馈学生的算式,并说出是先算的什么,再算的什么。6248=1448=1152(户)先算出每幢楼有多少户,再乘8求出这个小区一共有多少户。6(248)=6192=1152(户)先算出这个小区一共有多少层楼,再乘6求出一共有多少户。大家能运用不同的策略来解决问题,真棒!那请你们再认真观察这两个算式的数据和结果,你有什么发现?反馈:数据的位置和运算的符号没有变,运算的顺序变了,但结果一样。板书:6248=6(248)。(3)算一算,比一比。下面我们再来算一算这3组算式的结果。1652= 35254= 12(1258)=16(52)= 35(254)= 121258=学生独立计算,然后反馈结果。请你仔细观察这3组算式,每组的上、下两个算式有什么相同点和不同点?相同点:都是3个数相乘,数的位置没有变,结果相等。不同点:运算顺序不同。板书:1652=16(52)35254=35(254)12(1258)=121258像这样的式子,你还能举几个吗?如果继续写下去,能写完吗?(4)小结。请你仔细观察这些算式,你能用一句话完整地说一说什么是乘法结合律吗?如果用a,b,c分别表示这3个数,乘法结合律可以怎样表示呢?板书:(ab)c=a(bc)。学生齐读。3.勾画重点。请同学们翻到教科书第1213页,把乘法交换律和结合律的文字和字母表示勾画出来,并读一读。三、再次练习，巩固提高1.课堂活动第1题。(1)刚才我们一起探索出了乘法交换律和结合律,下面我们一起来做一个游戏,我说等式,你们来说出运算律,有信心正确完成吗?师生活动,共同完成。(2)还想继续玩吗?请同桌两位同学像刚才一样活动,看看哪些同学完成得最好。2.练习四第2题。(1)学生独立填空,并思考应用了什么运算律。(2)反馈结果。3.练习四第1题。同学们,你们知道学习了这些运算律,对我们的计算有什么好处吗?(可以使有的乘法计算更简便,还可以利用乘法交换律对乘法的计算结果进行验算。)大家说得很棒,现在请大家先计算下面两道题,再利用乘法交换律进行验算。1617 25140学生独立完成,反馈过程。通过刚才的活动,我们知道了可以用乘法交换律来检验结果是否正确,以后要常运用哟!四、课堂小结今天我们学习了什么知识?我们是怎么获得的?乘法运算律能否给乘法计算带来简便呢,我们下节课再进行研究。第2课时乘法运算律及简便运算(二)【教学内容】教科书第13页例3及课堂活动第2题,练习四第35题。【教学目标】1.能运用乘法交换律和结合律进行一些简便运算。2.培养学生根据具体情况选择算法的意识与能力,发展思维的灵活性。3.感受数学与现实生活的联系,能用所学知识解决简单的实际问题。【教学重、难点】正确、灵活地运用乘法交换律和结合律进行简便计算。【教学准备】实物展示平台。【教学过程】一、复习引入，准备学习1.口算练习四第4题。2.复习乘法交换律和结合律。谁来说一说什么是乘法交换律?用字母怎么表示?什么是乘法结合律?用字母怎么表示?3.练习四第3题。(1)学生独立连线。(2)反馈是怎样连线的,并让学生说出这样连线的理由。学习了乘法交换律和结合律有什么作用呢?这节课我们就运乘法交换律和结合律进行计算。二、主动学习，探究新知1.教学例3。(1)出示例3。61254 89125(2)观察数据特征。观察每个算式中的因数之间有什么特点?可以运用哪些运算律进行简算?(3)学生尝试简算,教师巡视时个别指导。(4)反馈。请有代表性的3种做法的学生将算式板书在黑板上,然后反馈。61254 89125 89125=61(254) =81259 =9(8125)(乘法结合律) (乘法交换律) (乘法交换律和结合律)=6100 =9000 =9000第1题,为什么要这样计算呢?预设:因为25和4相乘可以凑整得100,所以可以运用乘法结合律,先算出它们的积,再去乘61,这样计算就很简便。第2题,为什么要这样计算?预设:运用乘法交换律,交换9和125的位置,就可以先算8125,使计算简便。第2题,89125=9(8125)可以这样计算吗?这样计算用了什么运算律呢?你是怎么知道用了乘法的交换律和结合律的?预设:8和9的位置变了,有了因数的位置变化就运用了乘法交换律。运算顺序原来是先算前两个数的积,现在变成了先算后两个数的积,有了运算顺序的变化就运用了乘法结合律。(5)小结。同学们,运用乘法交换律和结合律进行简算时要注意什么?(先要看题中的数据,哪两个数相乘能够得整十、整百或整千,就运用乘法运算律把这两个数凑到一起相乘。)小结:运用乘法运算律进行简算,它的核心就是“凑整”,往往可以把两个或几个数结合在一起,乘起来得到整十、整百再与另外的数相乘,这样就使计算简便。(6)“试一试”。同学们,现在你们能运用乘法的运算律进行简算吗?请同学们完成例3下面的“试一试”。22335 51154 50(198)反馈时,让学生说一说每道题运用了什么运算律。2.拓展延伸,课堂活动第2题。(1)刚才大家完成得很棒,再看看下面各题怎样计算简便。1625 72125 3615(2)启发思路。这些算式都只有两个因数,怎样简便计算呢?请你仔细观察这些数据,看一看哪些数比较特殊。学生独立思考后,反馈想法。反馈时,让学生得出25,125,15很特别,它们乘2,4,8都可以凑成整十、整百、整千数。如果算式里没有2,4,8时,可以把另一个数拿来拆分,比如16就分成44。(3)下面就请大家在练习本上简算这些题。(4)汇报。展示学生的简算过程,并请学生说一说是怎样计算的。1625 72125 3615=4425 =89125 =9415=4254 =81259 =1549=400 =9000 =540(5)小结。同学们,通过简算这几道题,你有什么收获?简算时要认真观察数据,尤其是要关注25,125。有时还需要把一个数分解成两个数,再进行凑整相乘,使计算简便。三、再次练习，巩固提高同学们,下面我们来开展一个竞赛活动,请大家完成练习四第5题,比比看,哪些同学最会运用运算律进行计算了。(1)学生独立计算。(2)集体订正,抽学生将作业放在视频展示台上展出,并说一说自己是怎样计算的。四、课堂小结这节课学习了什么知识?还有什么问题?第3课时乘法运算律及简便运算(三)【教学内容】教科书第14页练习四第611题及思考题。【教学目标】1.能运用乘法交换律和结合律进行一些简便运算。2.培养学生能根据具体情况选择算法的意识与能力,发展思维的灵活性。3.感受数学与现实生活的联系,能用所学知识解决简单的实际问题。【教学重、难点】灵活运用运算律进行计算,解决生活中的实际问题。【教学准备】实物展示平台。【教学过程】一、基本练习1.计算。(1)同学们,你们能用字母表示出学过的乘法交换律和结合律吗?学生反馈:ab=ba(ab)c=a(bc)(2)下面请大家用简便方法计算下列各题。4(2534) 15234 56125学生独立完成后,集体订正。(3)这节课我们应用所学知识来解决问题。二、指导练习1.探索除法的性质。(1)设疑。我们已经知道运用乘法交换律和结合律可以使计算简便,那除法中有这样的情况吗?让我们一起来探索吧!(2)出示7900254。(3)找特征。这个算式里的数据有什么特点?(如果是254就可以凑整为100。)(4)猜想感知,举例验证。大家都观察到了254可以凑成整百数,那是否可以先把两个除数相乘后,再用被除数来除以呢?请大家用我们探索乘法交换律和结合律的方法自己去验证吧!学生自己探究,教师巡视指导。学生反馈交流。小结:一个数连续除以两个数,也可以用这个数除以两个除数的积,商不变。(5)小结。同学们,你们能用字母表示出自己探索出的规律吗?板书:abc=a(bc)。像这样的规律,我们就把它称为除法的性质。它还可以延伸到一个除以三个数、四个数有时利用它同样可以使计算简便。(6)简算。360154780(394)学生独立计算后指名汇报，第1题注意启发学生思考还可能怎样简算，引导学生明确，还可以先用360除以4，再除以15，也就是交换两个除数的位置，商也不变。2.练习四第7题。(1)学生齐读题目,了解数学信息和问题。(2)在解决这些问题时,要注意什么呢?学生反馈:要求的是4个方队需要多少个气球和花环。(3)学生独立完成,教师巡视指导。(4)反馈交流。需要多少个气球?请有不同计算思路的学生把计算过程板书在黑板上,然后反馈。252524 252524=62524 =254252=12504 =(254)(252)=5000(个) =5000(个)第1种方法的解题思路是什么?预设:2525求出一个方队的人数,再乘2就是求出一个方队需要的气球个数,最后乘4求出4个方队共需要的气球个数。第2种方法的列式是一样的,在计算过程中有什么不一样?(进行了简算。)列出算式后,没有必要按照从左往右依次计算,我们可以根据数据的特点利用乘法交换律和结合律进行简算。需要多少个花环?252545或252554抽学生反馈,并说一说自己是怎样想的。小结:在解决问题中,根据题目中的数量关系列出算式后,我们在计算时一定要认真观察数据,能简算的要运用乘法运算律进行简算。3.练习四第11题。(1)从图中你获得了哪些数学信息?这幢教学楼共4层,每层有5个班。每个班的教室里放5盆花。每盆花12元。(2)你们能根据这些数学信息提出一些数学问题吗?预设:教学楼里一共有多少个班?教学楼里一共有多少盆花?买这些花一共用了多少元?学生每提出一个问题,就请同学们口头列出算式并解答。三、独立练习1.练习四第6题。同学们喜欢跑步吗?瞧,这两位小朋友正在进行呢!(1)从图中你知道了哪些数学信息?7个来回是什么意思?(2)学生独立完成。(3)汇报交流。学生反馈:可以先用7乘2,求出7个来回一共有多少个单面,再乘50,求出一共跑了多少米。也可以先算一个来回多少米,再算7个来回多少米。小结:这两种解题思路都是正确的。无论我们是用哪种思路来列式,在计算时,都可以把2和50先乘,这样计算就更简便。2.练习四第810题。(1)学生独立练习。(2)重点反馈第9题的思路。900(90012+15)先求出平时每分可以走多少米,再求出现在平均每分走的米数,最后再用总路程除以现在每分走的米数,就求出所需要的时间。四、拓展练习1.练习四的思考题。(1)理解要求,寻找思路。同学们,这道题有什么要求呢?(19这9个数字只能出现1次,现在已经有1,2,4,5,9,还需要填出3,6,7,8。)(2)请你想一想,填写这个乘法算式的入手点在哪里呢?学生独立尝试。(3)反馈:引导学生从积的个位数字是2入手分析,两个因数的个位数字只能是3和4,再利用估算的知识,想4乘19积的最高位一定是7或者8,然后继续分析就可以解决此题。答案是:419(6)(3)=(7)(8)52。第4课时乘法运算律及简便运算(四)【教学内容】教科书第16页例4,第17页课堂活动第1题,练习五第1,2题。【教学目标】1.结合具体的问题情境,经历探索乘法分配律的过程,理解并掌握乘法分配律。2.在观察、比较、猜测、分析和概括的过程中,培养学生简单的推理能力,增强用符号表达数学规律的意识,体会用字母式子表示乘法分配律的严谨与简洁。3.在数学活动过程中获得成功的体验,进一步增强学生学习数学的兴趣和自信心。【教学重、难点】教学重点:理解并掌握乘法分配律。教学难点:发现并概括乘法分配律。【教学准备】实物展示平台。【教学过程】一、激趣引入，准备学习同学们,今天老师想和大家进行一次计算比赛,好吗?这里有两道计算题,比一比谁算得更快一些。3727+6327 (25+23)4预设:大部分学生可能都是按照运算顺序来进行计算的,用去的时间要多一些。(1)老师一看题目就知道第1题得2700,第2题得192。你们想知道老师为什么算得这么快吗?(2)揭示课题:其实这两道题都可以利用乘法中的一个很重要的规律乘法分配律来简便计算。看了这个课题,你想知道些什么?(什么叫乘法分配律?乘法分配律的运用等。)这节课,我们就先来研究什么是乘法分配律。二、自主探究,合作交流1.自主探究新知识。(1)“什么叫乘法分配律”这个问题是让老师告诉你们呢,还是让你们自己去探索?为了便于大家探索,老师为你们准备了一些研究素材。出示例4的情境图。(2)学生独立列式解答并反馈。教师请两位学生将做法板书在黑板上。(40+20)14 4014+2014=6014 =560+280=840(元) =840(元)这两种方法分别是先求的什么,再求的什么?第1种方法是先求出两种票各买一张需要多少元,再求出各买14张需要多少元。第2种方法是先求出14张成人票要多少元,再求出14张儿童票要多少元,最后求出它们的和。(3)提供研究思路。想一想,以前我们是按怎样的步骤来研究乘法交换律和结合律的?步骤1:找出两个结果相等的算式并组成等式。步骤2:观察得到的等式,看看等号两边的算式有什么联系。步骤3:根据这一特点,自己再写出几组这样的等式,并想一想这样的等式能写完吗?如果有困难,可以借助教科书第16页“算一算”的题目。步骤4:从列举的算式中能否发现什么规律,并尝试用喜欢的方式来概括其中的规律。2.小组探究,梳理归纳。(1)下面请大家发挥小组的力量,借助这样的步骤去探究乘法分配律。学生小组合作,教师进行指导。(2)全班交流。同学们,通过刚才的小组活动,大家一定有了许多发现,哪一组的同学愿意来展示你们组的研究过程?学生反馈:第1步,把刚才的两个算式组成了一个等式(40+20)14=4014+2014。第2步,通过观察,我们发现它们两个算式的运算顺序不一样,左边先算40与20的和,再用和与14相乘;右边是先分别算14乘40,20的积,再把积相加,但计算结果相同。第3步,举例验证。为了说明我们的发现是正确的,我们还写出了这样的几个等式。(8+7)5=85+75,(30+50)6=306+506,(教师将学生反馈的等式写在黑板上。)第4步,我们从这些式子中发现两个数的和与一个数相乘,可以先把两个加数分别与这个数相乘,再将两个积相加,结果不变。这个规律我们用符号表示为(+)=+。对于他们的探究过程,你还有什么补充?(这样的例子还有很多,写不完,但都具有这样的特点)追问:你们也得出了这样的规律吗?小结:通过刚才同学们的探究,我们都发现了两个数的和与一个数相乘,可以先把两个数分别与这个数相乘,再将两个积相加,结果不变。这个规律就是乘法分配律。如果用字母a,b,c来表示3个数,乘法分配律可以表示为:(a+b)c=ac+bc。(3)阅读巩固。下面请大家打开教科书第16页,看看你们得到的规律和书上小结的是否是一样的吧!请大家边阅读边勾画。(4)加深理解。同学们,乘法分配律能否反过来运用呢?两个加数分别与一个数相乘,可以用这两个数的和与这一个数相乘,结果不变,ac+bc=(a+b)c。学生顺着和反着分别读出乘法分配律的字母公式。(5)提炼探究过程。刚才我们通过自主学习、小组交流,探索了乘法分配律,下面我们一起来梳理一下我们的探究历程。在教师的引导下,师生再次经历获得数学新知识的过程。从实例中找出相等的两道算式观察特征提出猜想举例验证得出结论。在数学上,我们经常运用这样的研究方法得出很多数学规律和结论,希望大家在以后的数学学习中经常用这样的思路来研究数学,相信你会有很大的收获。三、实践运用,巩固内化1.课堂活动第1题。(1)先用两种方法算出一共的学具。54+34(5+3)4(2)说一说每种方法是怎样想的。引导学生用数形结合的方式说出算式中的每一步在图上是指的哪部分学具。(3)让学生把这两个算式写成一个等式:54+34=(5+3)4。2.练习五第1题。学生独立完成,反馈时引导学生说出运用了乘法分配律。3.练习五第2题。(1)学生独立完成。(2)重点反馈第2个问题,郁金香占地面积比兰花多多少?148-68(14-8)6可以先分别求出郁金香和兰花的面积,再求出面积差;还可以先求出两块地的长度差,再乘宽来求出面积差。(3)观察这两个算式和乘法分配律有什么不同?(两个数的和,变成了两个数的差)这说明乘法分配律对减法的情况也适用。四、梳理知识,反思总结今天这节课,你有什么收获?有什么感受想对大家说?关于乘法分配律的运用,我们下节课继续研究。第5课时乘法运算律及简便运算(五)【教学内容】教科书第16页例5,第17页课堂活动第2题,练习五第39题及思考题。【教学目标】1.能正确运用乘法分配律进行简算。2.进一步提升学生综合运用知识的能力和拓展学生的知识视野。【教学重、难点】正确运用乘法分配律进行简便计算。【教学准备】实物展示平台。【教学过程】一、复习引入，准备学习口算：练习五第5题。同学们,上节课我们学习了乘法分配律,你能用字母表示出来吗?老师板书:(a+b)c=ac+bc。学生齐读,顺着读,反着读。揭示课题:今天这节课我们将运用乘法分配律来进行简便计算。二、主动学习，探究新知1.教学例5。(1)出示题目,用简便方法计算。(100+2)45 3227+3273请你仔细观察这两道题,你能用乘法分配律对这两道题进行简算吗?(2)学生独立尝试,教师进行指导。(3)反馈。教师请有代表性做法的学生板书在黑板上。(100+2)45 3227+3273=10045+245 =32(27+73)=4500+90 =32100=4590 =3200第1道题是运用了什么运算律进行简算的?你是怎么想到的?学生反馈:利用乘法分配律,用100和2分别乘45,然后再相加算出结果,这样算很简便。第1道题,我们观察题目的数据,是100和2这两个数的和与45相乘,就可以运用乘法分配律把45分别和这两个数相乘,从而使计算更简便。第2道题又是怎样简算的呢?学生反馈:想到27和73相加正好凑成整百数,所以可以反着用乘法分配律,这样就很快计算出结果。第2道题,我们观察题目的数据,是32分别和27与73相乘然后相加,就可以逆用乘法分配律,27与73的和与32相乘,也可以使计算简便。(4)小结。同学们,运用乘法分配律进行简算时,要注意什么?小结:运用乘法分配律进行简便运算时,首先要看算式的形式是两个数的和与一个数相乘,还是一个数分别和两个数相乘再相加;然后找出数据特征,再灵活运用乘法分配律进行简算。2.巩固练习。(1)下面请同学们翻到教科书第17页练习五第3题,看一看这些算式的形式是什么,找一找数据特点,想一想能用什么运算律进行简算。(给足学生时间观察和思考。)(2)学生独立用简便方法计算。(3)反馈。3.拓展延伸。刚才大家能正确运用乘法分配律进行简算,那下面这些不是乘法分配律标准形式的算式还能简算吗?(1)出示3699+36,67101-67,6399。(2)学生观察、思考。这些算式中,哪些数据比较特别?怎样才能转换为乘法分配律的标准形式呢?学生独立思考,然后小组讨论。(3)反馈想法。抽学生反馈,并说一说自己是怎样想的。小结:第1,2题都可以把单个的数改成与1相乘的算式,如36就相当于361,这样就能转换成乘法分配律标准形式来进行简算。第3题中99接近100,就可以利用拆数法,变成100-1,再运用乘法分配律简算。(4)学生独立完成。(5)请学生在黑板上板书做法,再全班交流。3699+36 67101-67 6399=36(99+1) =67(101-1) =63(100-1)=36100 =67100 =63100-631=3600 =67100 =6237(6)触类旁通。第3题如果改为63102,又该怎样简算呢?(7)小结:遇到特殊形式时,要认真观察数据,有时需要把其中单个的数改成与1相乘的算式;有时需要用拆数法把其中一个接近整百的数拆成整百加几、减几的三、再次练习，巩固提高1.课堂活动第2题。同学们,有一位小朋友也运用运算律进行了简算,我们一起来看看。请同学们翻到教科书第17页,看课堂活动第2题。(1)学生独立思考,这3道题错在哪里,然后4人小组议一议。(2)反馈时,引导学生说出错误的原因。(3)同学们找出了每道题错误的原因,那我们在练习的时候就不能再犯这样的错误。下面把这3道题改正过来。2.练习五第7题。学生独立完成并反馈。反馈时引导学生分析每一个小题运用了什么运算律,并让其明白应该注意观察数据和运算符号,灵活运用运算律。3.练习五第4题。(1)出示题目信息和问题,学生独立完成。(2)学生反馈做法。请有不同计算思路的学生把计算过程板书在黑板上,然后反馈。(65+35)40 6540+3540=10040 =2600+1400=4000 =4000(3)方法优化。刚才大家用了两种方法解决问题,看一看哪种方法计算更快呢?如果列式为4035+6540,解题思路是完全正确的,但在计算的时候我们不一定非要先算出两个积后再相加,我们可以利用乘法分配律使计算简便。教师板书:6540+3540=(65+35)4=1004=400小结:运用乘法分配律可以使计算简便,这就是老师在课前能很快计算出结果的原因。4.练习五第6,8,9题。学生独立练习。四、拓展练习1.思考题。(1)学生独立思考,并推算出999999+1999是多少?(2)反馈学生是怎样推算出结果的。方法1:根据前两个等式,我发现等号左边的每一个数有几个9,等号右边的每一个数就有几个0。所以999999+1999就等于10001000,计算结果是1000000。方法2:借助乘法分配律来思考。99+19 999999+1999=99+9+10 =999999+999+1000=910+10 =9991000+1000=1010 =10001000五、课堂小结同学们,通过今天的学习,你有什么收获?问题解决第1课时问题解决(一)【教学内容】教科书第19页例1,第21页课堂活动第1题,练习六第1,2题。【教学目标】1.尝试探索运用所学知识解决问题的方法,培养学生的运用意识和解决实际问题的能力。2.在与他人合作、交流的基础上,会进行反思和总结,并形成解决具有相遇问题特征的数学问题的基本策略,同时体会解决问题策略的多样性。3.在解决问题的过程中,获得问题解决的积极情感体验。【教学重、难点】教学重点:掌握相遇问题的基本特征及其数量关系,能应用所学知识解决实际问题。教学难点:培养学生利用线段图分析数量关系的能力。【教学准备】多媒体课件。【教学过程】一、复习引入，准备学习余刚每分行75米,他从家走到少年文化宫要5分,余刚家离少年文化宫有多少米?(1)请同学们默读题目,并列式解决。(2)反馈。学生说解法,教师追问:“要求余刚家离少年文化宫有多少米,为什么要用755来解决?”(每分行75米,5分就行了5个75米;或路程=速度时间。)(3)回忆行程问题的基本数量关系。这道题所涉及的基本数量关系是什么?(教师板书:速度时间=路程。)二、主动学习，探究新知1.引入(1)余刚和苗苗是好朋友,他们的家分别在少年宫的东、西两面。星期天,余刚打电话约苗苗去少年宫玩。(出示例1)从图中你获得了哪些数学信息?这个问题和刚才的问题有什么区别?(复习题中是讲余刚一人行走的问题,而这里是讲余刚和苗苗两个人行走的问题。)(2)以前我们研究的是一个物体运动的行程问题,今天这节课我们将研究两个物体运动的行程问题。2.理解相遇问题。(1)从文字中理解。请同学们仔细看题,你认为哪些词比较重要?预设:两人、同时、相遇、相距等。如果学生没有回答,教师就启发学生思考:两人出发的时间是怎样的?出发的地点是怎样的?行走的方向是怎样的?行走的结果是什么?教师板书:两人、同时、两地、相向、相遇。谁能完整地说一说两人是怎样走的?(余刚和苗苗两人同时从自己的家出发,相向而行,又同时到达少年宫,他们在少年宫相遇了。)今天,咱们就一起来学习如何解决这样的“相遇问题”。(2)在表演中理解。哪两位同学能表演一下余刚和苗苗行走的过程?两位学生上台表演,其他同学仔细观察:两人行走的方向、路程以及结果是怎样的?预设1:两人的速度有快慢之分,余刚走得快一些,苗苗走得慢一些。预设2:余刚家到少年文化宫的距离要远一些,苗苗家到少年文化宫的距离要近一些。预设3:他们两家相距的距离正好是两人5分所走的路程之和。(3)画线段图理解。余刚和苗苗的行走过程,我们还可以用线段图来表示。如果用一个点表示余刚家的位置(老师边说边画),用另一个点表示苗苗家的位置,再连接两点画出一条线段,请问:少年宫的位置应该在哪里?(不是两家的最中间,而是应该偏向苗苗家的位置。)这个发现非常好,看路线图,你们估计一下两人在哪个地方相遇。学生指,教师逐步画出线段图。观察线段图,哪段是余刚走的路程?哪段是苗苗走的路程?要求的是哪段路程?学生指,老师完善线段图,打上大括号,并标上“?m”。从线段图中你能看出余刚行走的路程和苗苗行走的路程与他们两家之间的距离有什么关系?(学生思考,可以不回答。)2.自主探究,尝试解决。(1)尝试解决。根据你的理解,你准备怎样解决“他们两家相距多少米”这个问题?学生独立思考后,教师让学生试着在练习本上列式解决。学生做完后还可让其思考还有没有不同的解法。(2)反馈思路。请两位学生将算式板书在黑板上。755+605 (75+60)5=375+300 =1355=675(米) =675(米)让学生结合线段图分别说出自己的解题思路。预设1:先分别求出余刚和苗苗5分行的路程(学生在线段图上指出相应部分),再把他们两人行的路程加起来,就是余刚和苗苗5分共同走的路程,也就是他们两家相距的距离。预设2:先求出余刚和苗苗1分共走的路程,学生在线段图上指出相应部分,再乘5分,就是余刚和苗苗共同走5分的路程,也就是他们两家相距的距离。(3)理解“速度(和)时间=路程”。教师演示课件,帮助学生理解第2种解题思路。教师介绍:余刚和苗苗1分走的路程的和(65+70)也就是他们的速度和(板书“速度和”),他们从家到少年文化宫都走了5分,也就走了5个这样的速度和,因此用速度和乘上他们共同走的时间,就能求出他们一共行走的路程,也就是他们两家相距的距离。教师适时板书:速度(和)时间=路程。学生齐说数量关系式。仔细观察这两种解法,你有什么发现?(这两种解法正好符合我们以前学过的乘法分配律。)你更喜欢用哪种解决方法?为什么?教师对学生的分析做出肯定和鼓励,并强调第2种解题思路。(4)小结。刚才我们解决了余刚和苗苗两人行走的问题,你能说一说这种相遇问题有什么特点吗?它的解决方法又是怎样的呢?3.完成“试一试”。(1)请学生默读题目,找出题中的信息和问题。这两辆汽车是怎样行驶的?(两辆汽车是同时出发,向相反方向行驶的。)这道题和例题有什么相同点和不同点?相同点:两道题都是两个物体同时出发做运动,最后都是求两个物体行走的路程之和。不同点:例题是从两地出发相向而行,而这道题是从同一地点出发相背而行。(2)你能画出线段图分析这道题吗?学生画线段图,然后在小组内交流,教师选择部分同学的线段图进行展示,强调画图的规范性。(3)学生独立列式解决。(4)反馈学生的不同解答方法,请学生说出这道题的解题思路,并组织全班同学进行评价。教师追问:“有不同的思路吗?”4.小结。回顾刚才解决的两道行程问题,它们有什么特点?解题时用到了怎样的数量关系?两道题都是两个物体同时运动,要求他们行走的总路程可以先算出两个物体分别行的路程,然后再相加;也可以用“速度(和)时间=路程”来解决。三、再次练习，巩固提高1.课堂活动第1题。(1)学生独立读题,理解题目意思。这道题和例1相比,有什么不同?(有条件,无问题;由两人同时出发,变成了有一人先出发等。)从丽丽比王刚提前2分出发你可以想到什么?(丽丽从家到学校用了2+7=9(分)或王刚和丽丽同时行了7分,而且丽丽还另外单独多行了2分。)你能用两只手来比画一下丽丽和王刚行走的过程吗?学生同桌手势演示,教师再抽同学上台进行手势表演。(2)根据这些数学信息,你能提出什么数学问题?(王刚家和丽丽家相距多少米?)(3)针对“王刚和丽丽家相距多少米”,学生独立解答。(4)反馈学生的解答过程,说出解题思路。2.练习六第1,2题。学生独立练习。五、课堂小结通过本节问题解决课的学习,你有什么体会?学习数学知识就应该用来解决现实问题,在思考解决办法的过程中,如果都像这节课一样,开动脑筋,多角度的去思考,那大家解决问题的能力将会有更大的提高。第2课时问题解决(二)【教学内容】教科书第20页例2,第21页课堂活动第2题,练习六第35题。【教学目标】1.经历解决数学问题的过程,进一步体会具有相遇问题(工效问题)特征的数学问题在实际工作中的应用,培养学生分析、解决问题的能力。2.在与他人合作、交流的基础上,体会解决问题策略的多样性。3.在解决数学问题的过程中,让学生能感受到的成功体验,激发其分析、解决问题的兴趣。【教学重、难点】能分析数量关系,能选择解决问题的策略,能分析具有相遇问题(工效问题)特征的数学问题的数量关系。【教学准备】多媒体课件。【教学过程】一、复习引入，准备学习1.复习。(1)一个修路队每天能修路50m,工作6天后,他们修路多少米?(2)一辆客车和一辆货车同时从两个城市相对开出,客车平均速度是每时55km,货车平均速度是每时45km。两车开出后5时相遇,两个城市相距多少千米?学生独立完成。请学生说解题思路,教师板书。2.准备题。一辆客车和一辆货车同时从相距450km的两地相对开出,客车平均速度是每时50km,货车平均速度是每时40km。两车开出后几时相遇?(1)学生默读题目,在草稿本上画出示意图。通过画图,你发现这道题有什么特点了吗?(这道题跟昨天学习的相遇问题刚好相反。它已知两地的距离和两个运动物体的速度,求相遇时间。)(2)学生独立列式解答。(3)学生反馈解法,说明思路。3.揭示课题。今天我们就要用相遇问题的数量关系来继续学习问题解决。二、主动学习，探索新知1.教学例2。(1)理解题意让学生齐读题目,然后说一说找到了哪些数学信息和问题,再用两只手比画两个工程队修路的过程。(2)分析数量关系。出示讨论题,学生独立思考,然后小组讨论。这道题跟刚才的准备题对比,你有什么发现?这道题与准备题很像,准备题是行程问题,而例2是两个工程队修路的工效问题。但这两道题都是知道总的路程和两车(队)的速度,求他们的相遇时间(修复完这段公路的时间)。要求“8天能否修复这段公路”,你的解题思路是怎样的?可以先求出两队修完这段公路需要的时间,再与8天进行比较;也可以先求出两个队8天一共能修多少米,再与公路总长进行比较。教师引领:这道题的解决策略,一是比工作时间,二是比工作总量。(3)列式计算。学生选择合适的方法独立解决。教师巡视并指导学习有困难的学生。组织全班汇报解题方法。展示两种不同的方法,并请学生说出解题思路。比时间。先求两队每天一共修路多少米。列式:510(45+40)=6(天)6天510米,可以修复完。(4)比较两种方法,你更
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