高等数学51定积分的概念及性质课件

高等数学51定积分的概念及性质1第五章第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 高等数学51定积分的概念及性质2第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义三、三、定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 高等数学51定积分的概念及性质3一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成,求其面积求其面积 A.?A)(xfy 高等数学51定积分的概念及性质4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）高等数学51定积分的概念及性质5观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放高等数学51定积分的概念及性质61xix1ixxabyo解决步骤解决步骤:1)分割分割在区间在区间 a,b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;在第在第i 个小区间上个小区间上任取任取作以作以,1iixx为底为底,)(if为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小矩形面积近似代替相应矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积小曲边梯形面积,iA得得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii2)近似替代（以直代曲）近似替代（以直代曲）高等数学51定积分的概念及性质73)求和求和.(曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为:)niiAA1niiixf1)(4)取极限取极限.令令,max1inix曲边梯形面积为：曲边梯形面积为：niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi,1,max2 nxxx即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细时，时，0 高等数学51定积分的概念及性质82.变速直变速直 线运动的路程线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,)(21TTCtvv且且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值高等数学51定积分的概念及性质9（1 1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3 3）求和）求和iinitvs )(1（4 4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值解决步骤解决步骤:（2 2）近似替代（以直代曲）近似替代（以直代曲）高等数学51定积分的概念及性质10上述两个问题的共性上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“分割，近似、求和分割，近似、求和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限 所求量只和两个因素有关所求量只和两个因素有关:函数、函数的变化范围函数、函数的变化范围高等数学51定积分的概念及性质11二、定积分的定义二、定积分的定义bxxxxxann 12101 iiixxx，),2,1(i，定义定义高等数学51定积分的概念及性质12 baIdxxf)(iinixf )(lim10 记为记为高等数学51定积分的概念及性质13baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区间,ba高等数学51定积分的概念及性质14注意：注意：(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关而与积分变量用什么字母表示无关,即即baxxfd)(battfd)(bauufd)(高等数学51定积分的概念及性质15定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:.,)(可积在baxf高等数学51定积分的概念及性质16定积分的定积分的几何意义几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和A高等数学51定积分的概念及性质17几何意义：几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(高等数学51定积分的概念及性质18o1 xyni例例1.利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解:将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为niix),1,0(ninix1,nii取取),2,1(ni2xy iiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nn高等数学51定积分的概念及性质19o1 xyniiniixxx120102limdnlim31)12)(11(61nn2xy 高等数学51定积分的概念及性质20对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质三、定积分的性质0d)(aaxxf高等数学51定积分的概念及性质21证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）1.1.高等数学51定积分的概念及性质22 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk2.2.高等数学51定积分的概念及性质23 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：补充：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,例例:若若,cba cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf则则3.3.（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）高等数学51定积分的概念及性质24dxba 1dxba ab .4.4.0)(1iinixf证证:5.若在若在 a,b 上上则则.0d)(xxfba,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1.若在若在 a,b 上上,)()(xgxf则则xxfbad)(xxgbad)(高等数学51定积分的概念及性质25例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 高等数学51定积分的概念及性质26推论推论2.2.xxfbad)(xxfbad)(证证:)(xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即即xxfxxfbabad)(d)(说明说明：可积性是显然的可积性是显然的.高等数学51定积分的概念及性质27例例2.试证试证:.2dsin120 xxx证证:设设)(xf,sinxx则在则在),0(2上上,有有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即即2,1)(xf),0(x2故故xxxfxd1d)(d2220002即即2dsin120 xxx高等数学51定积分的概念及性质28证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）6.设设,)(min,)(max,xfmxfMbaba则则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 高等数学51定积分的概念及性质29解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx高等数学51定积分的概念及性质30解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x,0 高等数学51定积分的概念及性质31,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx高等数学51定积分的概念及性质327.积分中值定理积分中值定理,)(baCxf若则至少存在一点则至少存在一点,ba使使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由则由性质性质6 可得可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba,ba点使使xxfabfbad)(1)(因此定理成立因此定理成立.积分中值公式积分中值公式高等数学51定积分的概念及性质33积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f高等数学51定积分的概念及性质34说明说明:.都成立或baba 可把可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf 积分中值定理对积分中值定理对或曲边梯形平均高度。或曲边梯形平均高度。定理可以进一步改造：把定理可以进一步改造：把结论中结论中的闭区的闭区间改成开区间（见书间改成开区间（见书P239例例6）。）。高等数学51定积分的概念及性质35解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 高等数学51定积分的概念及性质36证明：在证明：在(a,b)内存在一点内存在一点 使得使得()d()().caf xxf b ca例例.设设 在在a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导()f x且存在且存在(a,b)内一点内一点c，使得：，使得：()0f高等数学51定积分的概念及性质3701xn1n2nn 1思考与练习1.用定积分表示下述极限:nnnnnIn)1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx高等数学51定积分的概念及性质382.高等数学51定积分的概念及性质39解解:为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(例例上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可积函数的反例。说明有界是可积的必要条件积函数的反例。说明有界是可积的必要条件高等数学51定积分的概念及性质40观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质41观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质42观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质43观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质44观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质45观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质46观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质47观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质48观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质49观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质50观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质51观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质52观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质53观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质54观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系高等数学51定积分的概念及性质55