2022年秋高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第3课时导数在解决实际问题中的应用课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第五章5.35.3.2第3课时A级基础过关练1将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对【答案】B2某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140x)件，要使利润最大每件定价为()A80元B85元C90元D95元【答案】B3(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()AVBC2D【答案】D【解析】设底面边长为x，则高为h，S表3x2x2x2，所以S表x，令S表0，得x，经检验得，当x时，S表取得最小值4某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(xN*)满足yx212x25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大()A3B4C5D6【答案】C【解析】由题意得，年平均利润为f(x)x12(x0)，f(x)1，令f(x)0，得x5，经检验得，当x5时，年平均利润最大5某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q8300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28000元D23000元【答案】D【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)pQ20QQ(p20)(8300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值6现要做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6mB8mC4mD2m【答案】C【解析】设底边长为x(x0)，由题意可得，高h，用料yx24xhx2x23192，当且仅当x2即x8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料故选C7(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是yx3x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是()AL(x)x2100(x0)BL(x)x2100(x0)C要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时【答案】BD【解析】由题意可得，航行的总费用L(x)x2100(x0)，故A错误，B正确；L(x)2x，令L(x)0，得x30，当0x30时，L(x)0，L(x)单调递减，当x30时，L(x)0，L(x)单调递增，所以当x30时，L(x)取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C错误，D正确故选BD8用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为_m时，容器的容积最大【答案】1【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，则体积Vx(x0.5)(3.22x)，V6x24.4x1.60，解得x1或x(舍去)9某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成长为_m，宽为_m的长方形才能使小屋面积最大【答案】105【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m，则长为(202x)m，小屋面积Sx(202x)，S4x20，令S0，解得x5，202x10，当小屋长为10 m，宽为5 m时，面积最大10已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)25000200xx2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200，所以y.令y0，得x1000.当在x1000附近左侧时，y0，故当x1000时，y取极小值也是最小值，所以要使平均成本最低，应生产1000件产品(2)利润函数为S500x300x25 000.令S3000，得x6000.当在x6000附近左侧时，S0，在x6000附近右侧时S0，故当x6000时，S取极大值也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品B级能力提升练11(2021年长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()AmB1mCmD2m【答案】D【解析】设OO1为x m(1x4)，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.由题设得正六棱锥底面边长为(m)，所以底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(x1)3(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0，所以当x2时，V最大12(多选)(2021年北京期中)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒设方盒的容积为V(x)，则下列结论正确的是()AV(x)(a2x)2x，xBV(x)12x28axa2CV(x)在区间上单调递增DV(x)在x时取得最大值【答案】ABD【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a2x的正方形，高为x，则V(x)(a2x)2x，选项A正确；由V(x)4x34ax2a2x，得V(x)12x28axa2，选项B正确；令V(x)0，解得0x，令V(x)0，解得x，故V(x)在单调递增，在单调递减，且在x处取得最大值，选项C错误，选项D正确故选ABD13某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购_件的合同会使公司的收益最大【答案】175【解析】设订购x件商品，则单件商品的收益为P(x)故总收益R(x)当0x150时，x150，R(x)取得最大值30 000；当x150时，x175，R(x)取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大14(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm，则当圆柱的底面半径r_时，该容器的容积最大，最大值为_【答案】cmcm3【解析】设圆柱的底面半径为r cm，圆柱的高为h cm，则由题意可得r2h2r12，h6r，由h0，得r，故容器的容积Vr2hr26r2r3，其中0r，V(r)12rr2，令V(r)0，得r0(舍)或r，当r时，V(r)0，函数单调递增；当r时，V(r)0，函数单调递减，当r时，V有最大值为 cm3.15水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i1ti表示第i月份(i1，2，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e2.7计算)解：(1)根据t的范围分段求解当0t10时，V(t)(t214t40)et500，解得t10.又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0，解得10t.又10t12，故10t12.综上，0t4或10t12.枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月(2)由(1)知V(t)的最大值只能在(4，10)内达到V(t)etet(t2)(t8)令V(t)0，解得t8(t2舍去)当t变化时，V(t)与V(t)的变化情况如下表，t(4，8)8(8，10)V(t)0V(t)极大值V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米)一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米函数的极值与最大(小)值综合练习A级基础过关练1函数y(x1)ex1，x3，4的最大值为()A2e2B5e5C4e5De1【答案】B【解析】由yf(x)(x1)ex1，得yex1(x1)ex1(x2)ex1，当3x2时，y0，当2x0，所以函数y(x1)ex1在(3，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增，因为f(3)2e2f(4)5e5，所以函数y(x1)ex1，x3，4的最大值为5e5.故选B2如图是函数yf(x)的导数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在(3，1)内f(x)是增函数B在(4，5)内f(x)是减函数C在x1时f(x)取得极大值D在x2时f(x)取得极大值【答案】D【解析】由图可知，f(x)在区间，(2，4)上f(x)0，f(x)单调递增，所以x1不是f(x)的极值点，x2是f(x)的极大值点，所以A、B、C选项错误，D选项正确故选D3已知函数f(x)(x2a)ex有最小值，则函数yf(x)的零点个数为()A0B1C2D不确定【答案】C【解析】由题意，f(x)(x22xa)ex，因为函数f(x)有最小值，且ex0，所以函数存在单调递减区间，即f(x)0有解，所以x22xa0有两个不等实根，所以函数yf(x)的零点个数为2.故选C4(2021年河南三模)设函数f(x)，若f(x)的极小值为，则a()ABCD2【答案】B【解析】由已知得f(x)(xa)，令f(x)0，有x1a，且x1a上单调递增，f(x)的极小值为f(1a)e1a，即1a，解得a.故选B5现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为()ABCD【答案】D【解析】设单位面积铁的价格为a，h，则造价w(r)r2a2rhar23a4ar2，w(r)8ar，取w(r)8ar0，得到r，当0r时，函数单调递增，故r时，造价最小，此时h4r.6(多选)(2022年保定开学)已知函数f(x)x34x2，下列说法中正确的有()A函数f(x)的极大值为，极小值为B当x3，4时，函数f(x)的最大值为，最小值为C函数f(x)的单调减区间为2，2D曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为y4x2【答案】ACD【解析】因为f(x)x34x2，所以f(x)x24，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得2x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，f(x)单调递减，故f(x)在(0，)上的最小值为f(1)e.又因为函数g(x)在(0，)上的最大值为g(1)a，故ae.10(2022年浦江月考)已知函数f(x)x3x2ax，(1)若a1，求f(x)的极值；(2)当a0时，f(x)在0，2上的最大值为10，求f(x)在该区间上的最小值解：(1)当a1时，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1(3x1)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2，则x，f(x)，f(x)变化情况如下表，x(，1)1f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f.(2)f(x)3x22xa，412a.又a0.令f(x)0，解得x1，x2，则x，f(x)，f(x)变化情况如下表，x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减a0，x10x20，f(x)在0，2上的最大值为f(2)122a10，解得a1，f(x)minf(x2)f.B级能力提升练11(多选)(2022年重庆月考)定义在1，5上的函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的部分对应值如下表下列关于函数f(x)的结论正确的是()x10245f(x)13132A函数f(x)的极大值点的个数为2B函数f(x)的单调递增区间为(1，0)(2，4)C当x1，t时，若f(x)的最小值为1，则t的最大值为2D若方程f(x)a有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(1，2)【答案】AD【解析】由图知函数f(x)在区间1，0上单调递增，在区间0，2上单调递减，在区间2，4上单调递增，在区间4，5上单调递减，所以在x0，x4处有极大值，故A正确；单调区间不能写成并集，故B错误；因为函数f(2)1，f(4)3，且f(x)在区间2，4上单调递增，所以存在x02，4使得f(x0)2，易知，当tx0时，f(x)在区间1，t的最小值为1，故C不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D正确故选AD12(2022年咸阳月考)已知函数yf(x)在R上可导且f(0)1，其导函数f(x)满足(x1)f(x)f(x)0，对于函数g(x)，下列结论正确的是()A函数g(x)在(，1)上为增函数Bx1是函数g(x)的极大值点C函数g(x)必有2个零点De2f(e)eef(2)【答案】D【解析】因为g(x)，所以g(x).因为(x1)f(x)f(x)0，所以当x1时，f(x)f(x)1时，f(x)f(x)0，所以当x1时，g(x)1时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故A错误；x1是g(x)的极小值点，故B错误；当g(1)0时，g(x)无零点，故C错误；由g(x)在(1，)递增，得g(2)g(e)，即，所以eef(2)，当x时，函数g(x)单调递减；当x(e，)时，函数g(x)单调递增，所以当xe时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(e)，又由gln20，作出g(x)的图象，如图所示，由图可知，实数m的取值范围是(0，1)14传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm的速率缩短，而长度以每秒20cm的速率增长已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm为止，已知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大该定海神针原来的长度为_cm；假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为_cm.【答案】604【解析】设定海神针原来的长度为x cm，则t秒后其长度变为(x20t)cm，其底面半径变为(12t)cm，t秒后定海神针的体积VR2h(12t)2(x20t)，0t8，又V(2t24)(x20t)20(12t)2(t12)(2x60t240)，令V0，可得t12(舍去)或t4，变形过程中，当底面半径为10 cm时其体积最大，即t2时体积最大，42，解得x60，V60(t12)(t2)当0t0，函数V20(12t)2(3t)单调递增，当2t8时，V0，函数V20(12t)2(3t)单调递减，又t0时，V8640，t8时，V3520，t8时，定海神针的体积最小，即t8时形成金箍棒，此时底面半径为4 cm.15已知函数f(x)xlnxax2(a为实数)(1)若a2，求f(x)在1，e2的最值；(2)若f(x)0恒成立，求a的取值范围解：(1)当a2 时，f(x) xln x2x2，f(x)ln x1.由f(x)0得0x0得xe，所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，且f(e) eln e2e2 2e，f(1)1ln 1220，f(e2)e2ln e22e22 2，则函数f(x)在区间1，e2上的最小值为 2e，最大值为2.(2)由题意得函数的定义域为(0，)，若f(x)0恒成立，则xln xax20，即ln xa恒成立令g(x )ln x，x(0，)则g(x ).当 0x2时，g(x)2时，g(x)0，所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，则g(x )ming (2)1ln 2，所以a1ln 2 ，故a的取值范围为(，1ln 213