《空间角与距离》PPT课件.ppt

空间“角”问题,例1如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的 底面ABCD为平行四边形，其中AB= ，BD=BC=1， =2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点. (1)求异面直线AD1与BE所 成角的正切值； (2)当DF为何值时,EF与BC1 所成的角为90?,题型一 异面直线所成的角的求法,分析:依异面直线所成角的定义或推理寻 找或平行移动作出异面直线所成角对应 平面角.,方法1 （1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1BC1， 则EBC1为异面直线 AD1与BE所成的角.,又底面ABCD侧面DCC1D1 BD=BC E为CD的中点 BE侧面DCC1D1 BEEC1. 在RtBEC1中，BE= = ， EC1= = ， 所以tanEBC1= =3.,BECD,(2)当DF= 时,EF与BC1所成的角为90. 由（1）知，BE侧面DCC1D1 BEEF. 又DE=EC= ，CC1=AA1=2. 当DF= 时， 因为 = = ， = = ，,所以DEFCC1E， 所以DEF+CEC1=90， 所以FEC1=90，即FEEC1. 又EBBC1=E，所以EF平面BEC1，所以EFBC1, 即EF与BC1所成的角等于90.,例2如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2， E为CD的中点，将ADE沿AE折起，使平 面ADE平面ABCE，得到几何体D-ABCE。 (1)求证：BE平面ADE，并求AB与 平面ADE所成的角的大小； (2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.,题型二 直线和平面所成的角,解析：(1)在矩形ABCD中，连接BE， 因为AB=2AD，E为CD的中点， 所以AD=DE，EAB=45， 从而EBA=45，故AEEB. 过D作DOAE于O. 因为平面ADE平面 ABCE， 所以DO平面ABCE，所以DOBE. 又AEDO=O，所以BE平面ADE. 可知AE为AB在平面ADE上的射影， 从而BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45.,题型三 二面角,2找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂 线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱求解,1角的计算与度量总要进行转化， 这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角,空 间 距 离,点到平面的距离,直线到与它平行平面的距离,两个平行平面的距离,两条异面直线的距离,点到平面的距离,A,B,一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点到这个平面的距离。,可见，连结平面 外一点P与 内一点所得的线段中，垂线段PA最短,直线到与它平行平面的距离,一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。,如果一条直线 平行于平面 ，,则直线 上的各点到平面的垂线段相等，,即 上各个点到 的距离相等。,在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段: （1）点A到面BCC1B1的距离 ； （2）B1D1到面ABCD的距离 ； （3）点A到面BB1D1D的距离 ,a,a,例4.如图,已知正三角形ABC的边长为6cm，点O到ABC各顶点的距离都是4cm，求点O到这个三角形所在平面的距离。,A,B,C,O,H,E,设H为点O在平面ABC内的射影， 延长AH，交BC于E，连结BH、CH,即H是ABC的中心，AE是边BC上的垂直平分线,在RtBHE中，,即点O到平面ABC的距离是2cm,解:,例5已知四面体ABCD，ABACAD6，BC3，CD4，BD5，求点A到平面BCD的距离。,两个平行平面的距离,A,B,A,B,和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。,公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。,直线AA、BB都是它们的公垂线段,两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。,1.与已知平面的距离等于3cm的所有点的集合是什么图形？,2.已知两平面平行，且两平面距离为4cm，与两平面距离相等的所有点集合是什么图形？,在已知平 面两侧且 距离为 3 的两个平 行平面.,在已知平 面之间且 距离为2, 平行于已 知平面的 一个平面.,例6.,解:,例7.,解:,连结CD,异面直线的距离,在正方体中，棱AA和BC所在直线是异面直线，,直线AB和它们都垂直相交。,和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。,任意两条异面直线有几条公垂线？,思考：,直线AB就是两异面直 线AA和BC的公垂线,任意两条异面直线有且只有一条公垂线,证：设a、b是两条异面直线,在b上任取一点P，过P引a/a，,设b、a确定平面 ，则a/,在a上任取一点Q，过Q引QM ，垂足为M，,设a和QM确定的平面 与平面 相交于直线c，,c与b相交于点B。,在 内作BA / MQ，交a于点A，则,A,B,可见，直线AB就是异面直线a、b的公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。,（即线段AB就是异面直线a、b的公垂线段）,两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。,思考：,两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。,例8. 在1200二面角的棱长，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知AB4cm，AC6cm，BD8cm，求CD的长。,C,A,B,D,能力思维方法,1.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，DCB=135，沿对角线AC将四边形折成直二面角. 证：(1)AB面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.,2.在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D= 6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点. 沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45，设E、F分别为AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PEC； (2)求二面角P-BC-A的大小；,解折叠题时，一定要分清折前与折后的变与不变的量，有时在折后的立体图中不好计算的量要回到折前图中去计算.,