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第二节 矩阵的秩,一、矩阵秩的概念和性质 二、矩阵秩的求法 三、小结,难,一、矩阵秩的概念和性质,1. 矩阵的子式,强调： 矩阵的子式是行列式（数字）。,一、矩阵秩的概念和性质,零子式和非零子式,强调：矩阵的子式是行列式(数字)。,最高阶子式阶数是多少？,最高阶非零子式阶数是多少？,一、矩阵秩的概念和性质,2. 矩阵的秩的概念,一、矩阵秩的概念和性质,思考题：,4. 在秩为 r 的矩阵中，有没有等于0的 r - 1阶子式？有没有等于0的 r 阶子式？,答：可能有。例如，矩阵,但是A的等于0的3阶子式和2阶子式同时存在.,思考题：,一、矩阵秩的概念和性质,5. n阶可逆矩阵A的秩是什么？,思考题：,一、矩阵秩的概念和性质,结论：,一、矩阵秩的概念和性质,总结矩阵可逆 的充要条件（7个）,3. 满秩矩阵和降秩矩阵,一、矩阵秩的概念和性质,4. 矩阵的秩的性质,矩阵秩的其他性质详见课本69-70页,请同学们课下自学，较难理解，不作更高要求。,解：,练习题：,二、矩阵秩的求法,?,二、矩阵秩的求法,初等变换求矩阵秩的方法：,利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,当矩阵行数和列数较大时，该法简单.,解法一: 利用定义,而A的3阶子式(四个)，,练习题：,解法二：利用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵.,显然，非零行的行数为2，,此方法简单!,练习题：,例,二、矩阵秩的求法,解:,解:,由行阶梯形矩阵有三个非零行可知,二、矩阵秩的求法,下面求矩阵A的一个最高阶非零子式。,（首先取定矩阵A的行阶梯形矩阵的非零行的第一个非零元所在的列，对应到原矩阵中，而后再去验证取定A的哪些行时所得子式恰好非零。）,二、矩阵秩的求法,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.,则这个子式也是 的一个最高阶非零子式.,二、矩阵秩的求法,(2)初等变换法常用方法,1. 矩阵秩的概念,3. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,三、小结,2. 矩阵秩的性质（69-70页）,第三节 线性方程组的解,一、矩阵的秩与线性方程组 二、线性方程组的解法 三、小结,一、矩阵的秩与线性方程组,练习题：,写出以B为增广矩阵的线性方程组，并求解。,练习题：,写出以B为增广矩阵的线性方程组，并求解。,练习题：,写出以B为增广矩阵的线性方程组，并求解。,非齐次线性方程组的增广矩阵为,则当k取何值时方程组无解？当k取何值时方程组有无穷解？,练习题：,k=0，k=2,思考：,齐次线性方程组的系数矩阵满足什么条件时有非零解？什么条件时只有零解？,R(A) = n,R(A) n,齐次线性方程组的系数矩阵为,则当k取何值时方程组有非零解？,练习题：,k任意取值,设有线性方程组,解:,练习题：(P80 习题三 16),练习题答案：,练习题答案：,此时方程组无解。,练习题答案：,此时方程组有无穷多解。,第二行和第三行都除以（1-）,练习题答案：,此时方程组有唯一解。,首先写出与方程组对应的增广矩阵； 将增广矩阵化为行最简形矩阵； 求与行最简形矩阵对应的方程组的解，这个解就是原方程组的解。,高斯消元法步骤：(复习),二、线性方程组的解法,例 求解非齐次线性方程组,解：,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,二、线性方程组的解法,首先写出与方程组对应的增广矩阵； 将增广矩阵化为行最简形矩阵； 求与行最简形矩阵对应的方程组的解，这个解就是原方程组的解。,将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，进而判断方程组是否有解；若有解，进行第二步。,二、线性方程组的解法,高斯消元法步骤： （非齐次线性方程组）,例 求解非齐次方程组的通解,解：对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使 其成为行阶梯形矩阵,由此可知，故方程组有解.,二、线性方程组的解法,进一步将增广矩阵化为行最简形：,则与原方程组同解的方程组为,k1,k2,二、线性方程组的解法,k2,k1,2k2,二、线性方程组的解法,则方程组的向量形式的解为：,向量形式的通解,求解齐次线性方程组,解:,练习题：,即得与原方程组同解的方程组,练习题答案：,由此即得,练习题答案：,二、线性方程组的解法,高斯消元法步骤： （齐次线性方程组）,首先写出与方程组对应的系数矩阵； 将系数矩阵化为行最简形矩阵； 求与行最简形矩阵对应的方程组的解，这个解就是原方程组的解。,三、小结,2.高斯消元法求解线性方程组 (齐次和非齐次),1.利用矩阵秩判定线性方程组解的情况,总结作业：,(P79)习题三 13(1), 14(4),课后作业：,利用矩阵的初等变换可以： 1）求逆矩阵； 2）求矩阵方程； 3）求解线性方程组； 4）求矩阵的秩。 请各举一例进行说明。,总结矩阵可逆的充要条件（7个）,
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