《演绎与化归》PPT课件.ppt

演绎与化归,演绎推理,演绎推理是以一个一般性判断（或再加上一个特殊的判断）为前提，推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法，即一般到特殊的推理方法。三段论是演绎推理的主要形式。三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。我们看下面的推理：,演绎推理,例 偶数能被2整除。（1） 是偶数。（2） 能被2整除。（结论）这是一个三段论，它包含有三个概念：被2整除、 、偶数。结论中作谓项的“被2整除”是大项，作主项的“ ”是小项，结论中不出现而在前提中出现两次的“偶数”是中项，大项“被2整除”包含于前提（1），（1）是大前提。小项“ ”包含于前提（2），（2）是小前提。,演绎推理,小项、大项、中项若分别用字母S、P、M 表示，那末三段论的一般形式可表示为： 大前提：一切M都是P(或非P)； 小前提：S是M； 结论：S是P(或非P)。 三段论在实际应用中，人们常常把不言自明的部分略去。这种在表达中把某一个众所周知的命题略去，而仅在思维中存在着的三段论叫做省略三段论。如例2 因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除。这是省略了大前提“各位数字之和能被3整除的数都能被3整除”的三段论。,演绎推理,演绎推理的前提蕴涵着结论，它的前提与结论之间存在有必然性的联系。因此，当它的前提为真时，结论必然为真。这是演绎推理的根本特点。演绎推理的“前提为真，结论必真”这一根本特点，决定了它是建立任何一门数学学科的主要工具。数学科学就是一门演绎的科学。任何一门数学学科的理论，都是由一组基本概念和关系（公理）出发，不断形成新的概念，确立新的关系。并通过演绎推理，按照逻辑顺序，由上述基本概念、关系和公理推出新的判断和推论，逐步建立起学科理论体系。,演绎法,含义 从一般结论（原理）“逼出”关于个别事物的知识的推理。,特点 结论已经蕴涵在前提中（因为结论项是属于前提项的）。前提错，结论也只能错。,数学证明,在一门科学理论中，根据某个或某些判断的真实性来断定另一判断的真实性的思维过程，叫做逻辑证明，简称证明。 数学证明是数学中根据某些命题的真实性，来推断另一个命题的真假的一种思维过程通常推断命题为真，叫做证明为真，也称为证明；而推断命题为假，叫做证明为假，也称为反驳,数学证明,证明是由论题、论据和论证三部分组成 论题：需要证明其真实性的判断； 论据：确定论题的真实性所根据的已知真实判断； 论证过程：根据论据进行一系列推理证明论题真实性的过程。,数学证明,1. 直接证法。它的格式可以写成“因为，所以，于是，从而，这就证明了所需要的结果”。 2. 间接证法。常用的是反证法，它的格式可以写成“设所需要的结果不成立，则，于是，从而，这就导出矛盾，因此所需要的结果成立”，反证法有时要与穷举法结合起来运用，即将所需要的结果的反面的所有可能情况一一列出，然后分别导出矛盾。,数学证明,反证法。由否定论题结论的正确性出发，根据假设、定义、公理、定理，进行一系列正确的推理，最后得出一个矛盾的结果(与论题的假设、某个公理或定理矛盾，或自相矛盾)，以表明结论的反面不成立，从而肯定结论的正确性。这种驳倒反面的证法，叫做反证法。当证题结论的反面只有一种情况时，否定了这一反面结论，根据排中律，即可证得原论题的结论是正确的。这种单纯的反证法，叫做归谬法,数学证明,(3)分析法与综合法。一般认为，在数学证明中，关键是找到证明的途径。根据思考时推理序列的方向不同，思考方法分为分析法和综合法。如果推理的方向是从已知到求证，这种思考方法叫做综合法；如果推理方向是从求证追索到已知，这种思考方法叫做分析法；如果既从已知条件出发，又从欲证结论出发，经过推理找到证题的途径，这种思考方法叫做分析综合法。,数学证明,（4）数学归纳法 如果自然数的一个集合包含最小自然数c，并且对于任一个属于它的k，必定使k+1也属于它，那么这个集合必定包含所有大于c的自然数。,化归方法,所谓“化归”，可以理解为转化和归结的意思。化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。或简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。,化归方法,有位数学教育工作者提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，他对这样的回答并不满意，因为，“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称把后一问题化归为前面所说的问题了。”,化归方法,化归的根本特征：在解决一个问题时，人们不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。,化归方法,化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。化归对象，即把什么东西进行化归；化归目标，即化归到何处去；化归途径，及如何进行化归。,化归方法,(1)、四则运算的“巧用定律”。 有不少四则运算题，虽然可以根据常规运算顺序逐步算出正确结果，但是住往因为数据庞杂，计算十分繁琐。如果能利用恒等变换，使题目的结构适合某种“模式”，运用已学过的定律、性质进行解答，便能一蹴而就，易如反掌。 例如：计算1.259625将96分解成843，再利用乘法交换律、结合律计算就显得非常方便。 l.259625=1.2584325=(1.258)(254)3=l0l003=3000,化归方法,(2)、几何知识的“变换图形” 几何教学中运用变换思想，将原图形通过割补、分割、平移、翻折等途径加以“变形”，把未知的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题，可使题目变难为易，求解也水到渠成。小学课本中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式都是通过变换原来的图形而得到的。例如，平行四边形通过割补、平移转化成长方形，三角形和梯形也都可以转化成平行四边形来求出面积。圆也可以通过分割转化成长方形。利用这些图形变换，从而概括出结论。,化归方法,这里的归纳，不仅使每个学生明确了不同图形面积计算的相应方法，而且领悟到了还有比计算公式更重要的东西。那就是：把新知转化为旧知，再利用旧知解决新知的化归思想方法(1)平行四边形面积； (2)三角形面积； (3)多边形面积。 解 (1)由于我们已经会求矩形面积，因而我们会很自然地想到用割补法把平行四边形化为与之等积的矩形。 (2)可用拼接法，把两个三角形拼成一个平行四边形，从而把问题转化为(1)的情形。 (3)可用分割法将多边形分割成若干个三角形，这样就把问题转化为(2)的情形了。,化归方法,(3)、应用题教学中的“由此及彼” 在应用题教学中，教师对习题的设计及选择应该多从数学思想方法的角度加以考虑，安排一些能使各种学习水平的学生都能深入浅出地作出回答的习题，通过揭示已知条件与问题之间的联系与变换，发现解题的关键性步骤，形成解题方法。,化归方法,例如，在分数应用题的教学中，为了使学生熟练掌握求一个数是另一个数的几分之几的解题方法，先出示这样的基本题：“某班男生25人，女生20人，女生人数是男生的几分之几?”再不断变换问题：男生人数是女生的几分之几? 女生人数是全班的几分之几? 男生人数是全班的几分之几? 女生比男生少几分之几? 男生比女生多几分之几? 女生比男生少全班的几分之几? 男生比女生多全班的几分之几?,化归方法,问题不断变化，但都是求一个数是另一个数的几分之几的，目的是使学生认准谁是一个数，谁是另一个数，确定谁除以谁?从而提高对分数应用题的理解和辨别能力，逐步掌握分数应用题的解题规律，进一步渗透了比较、对应、转化、等基本的数学思想方法。,以上几个问题的解决有一个共同的特点，就是通过转化，将待解决的问题归结为一个已解决或容易解决的问题这种求解问题的过程可以用下图表示：,化归方法的基本原则,（1）简单化原则简单化原则是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，通过化归，将其变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路。,化归方法的基本原则,（2）熟悉化原则熟悉化原则是指将原问题中陌生的形式或内容转化为比较熟悉的形式和内容。例如，二元方程组化成一元方程组。,化归方法的基本原则,（3）和谐化原则 和谐化是数学内在美的主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题的总体思路，达到以美启真的作用。,化归的途径,（1）分解与组合分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解，就是把一个复杂的问题分成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。诚然，在许多情况下，“分解”并不能单独解决问题，为了使化归过程的完全实现，还要结合“组合”，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。分解与组合是相辅相成的，也是和谐统一的。,化归的途径,其模式可用框图表示如下：,化归的途径,（2）恒等变形我们知道，恒等变换就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方法、因式分解等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归为简单（易、已知）的问题的作用。利用恒等变换，常常可将超越方程化成代数方程，无理方程化成有理方程，分式方程化成整式方程，高次方程化成低次方程。,化归方法在教学中的应用,（1）利用化归方法学习新知识数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。比如，有理数的定义（引进）是建立在整数（或自然数）的基础上的，有理数运算法则和大小比较的确定，其基本思想是将其化归为整数（自然数）的运算和大小比较，它是借助绝对值来实现有理数向正数转化的。同样，实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，又是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，它是借助极限来实现这种转化的。又如，在掌握了三角形内角和的计算之后，要计算多边形的内角和，我们可将这个多边形分割成若干个三角形，这样就把所求的多边形内角和的问题化归为计算三角形内角和的问题。,化归方法在教学中的应用,（2）利用化归方法指导解题化归方法主要是作为一种解决问题（而不是发现问题）的方法。化归在解题过程中应遵循的三个原则，在解题中具有思维导向的功能。解题过程是培养学生化归思想方法的一个方面，教学中既要教会学生一些常用的化归方法，更要使学生掌握蕴含于具体方法中的化归策略思想，把待解决的问题置于动态之中，以变化、发展、联系的观点去观察、分析问题，着意对问题进行转化，使它归结为易于解决的问题。,化归方法在教学中的应用,（3）利用化归原则理清知识结构运用化归思想方法可将零星纷乱的知识编织成一张有序的主次分明的知识网络，做到易懂、易记、易用。,化归的一般模式,从上面几个例子的分析可以看出，我们 在思考的过 程当中，由于 解题 的 需要，多次地将问题进行变 形， 使之转 化。 从而使原来较难的问题，通过 化归为 熟知的或已能解决的问题而得到解决。正如匈牙利著名数学家P.路莎所指出的：“对于数学家的思维过 程来说 是很典型的，他们 往往不对问题进 行正面的进攻，而是不断地将它变 形， 直至把它转 化为已经能够解决的问题。”,P.路莎还 用以下比喻，十分生动 水 壶和火柴，你想 烧些开 水，应 当怎么去做？”正确的回答是：“在水壶 中 放上水，点燃煤气，再把水壶 放在煤气灶上。”接着路莎又提 出了第二个问题：“如果其它的条件都没有变 化， 只是水壶 中 已经 放了足够 的水，这时 你又应 当如 何去做？”这时，人们往 往会很有信心地回答说：“点燃煤气，再把水壶 放到煤气灶上。”但是路莎指出，这一回答并不能使她感到满 意。因为，更好 的回答 应该是这样的：“只有物理学家才会这样 去做；而 数学家们则 会 倒去壶中的水，并声称我已经 把后一个问题 化归 成先前的问题了。”把水倒掉-这是多么简洁 的回答。 当然，上面的比喻 确实 有 点夸张， 但它和前面几个例子相比，也许 更能体现 数学家的思维 特点-与其他应 用科学家相比，数学家特别 善于使用化归 思想和方法。,应用化归原则解决问题的一般模式为：,把所要解决的问题经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的思想，我们称之为化归思想。,更为一般的模式,我们了解了化归的一般模式，我们还可以把化归的模式进一步归纳为： 就数学思想方法的研究而言，一个重要的问题显然在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是具有其特殊的地方。从而，如果把“化归”理解为“由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的转化”，那么，我们就可以说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。从方法论的角度说，这也就是所谓的“化归原则”。 在古往今来的数学研究中，人们广泛使用化归方法来处理各种问题，例如解析几何的建立就是一个例子。法国著名数学家笛卡儿在研究思维原则时曾提出过一个期望，即所谓的能用以解决各种问题的“万能方法”,把一切问题化归为数学问题； 把一切数学问题化归为代数问题； 把一切代数问题化归为方程式的求解。 显然，如果认为能用这一方法解决所有的问题是不可能的。但是我们必须承认笛卡儿的思想中的确包含有相当合理的成分，那就是“数学化”、“代数化”、“计算化”的思想方法。笛卡儿虽然没能实现他的“万能方法”，但他通过建立坐标系把几何问题化归为代数问题，开创了用代数方法研究几何问题的新纪元，不仅由此创立的解析几何是数学发展史上不朽的里程碑，而且他的研究也是应用化归思想方法解决问题的光辉范例。他指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系，终于将几何图形（点的集合）与代数方程f（x，y）=0（实数对（x，y）的集合）统一起来：,在 这里，化 归方法充分 显示了它在数学发现、发明中的巨大作用。 现在，化 归思想方法已成 为一种普遍的研究方法，不仅在数学家的研究工作中，就是在我们 中学数学中也经常应 用它解决许 多具体 问题。 化归 思 维方法已成为一个十分重要的数学方法原则。 例如我们学完了一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程，我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的。以后我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次或一元二次方程来解的。对其它代数方程和一元不等式也有类似的做法。在平面几何中，我们在学了三角形的内角和与面积计算等有关知识后，对n边形的内角和与面积的计算，也是通过分解、拼和为若干个三角形来加以解决的。在解析几何中，当我们学完了最基本、最简单的圆锥曲线知识以后，对一般圆锥曲线的研究，我们也是通过坐标轴平移或旋转，化归为基本的圆锥曲线（新坐标系中）来实现的。其它如几何问题化归为代数问题，立体几何问题化归为平面几何问题，任意角的三角函数问题化归为锐角三角函数问题来解决的例子就更多了。,综上可见，化归原则在数学中有着十分广泛的应用。因此，这一方法本身就随着数学的发展不断得到了发展和深化。具体地说，下面所介绍的关系映射反演方法就可看成化归原则这一一般的方法论原则在现代数学形式下的进一步发展和主要表现。,