立体图形的教学与反思 (2)

“立体图形”教学设计与反思初中数学“立体图形”的教学是一大难点。如果教法不当，学生就会丧失学习兴趣，从此败下阵来，造成初中数学教学质量低下。通过深入研究和认真实践，我探索出一套“立体图形”教学法，排除了初中数学第一道“拦路虎”，提高了学生的学习兴趣，有效地提高了教学质量。一、突破正方体十一种表面展开图的教学重、难点的方法：“立体图形”的难点是培养学生的观察力和想象力。在教学中，我们要切忌离开实物，空洞说教。否则，学生只能“坐飞机”漫天飞翔。因此教学时，我们必须做到物图结合，形成立体概念。1、在教学立体图形的认识时，老师和学生带来了萝卜、红苕、马铃薯在老师的指导下，学生把带来的实物截成正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥通过实际操作，学生初步掌握了这些立体图形的特征。2、让学生掌握实物与图形的异同点，牢固树立空间概念。这样就能攻克难关，进入一片新的天地。例如：我们眼见的正方体是六个全等的正方形。在画正方体时，我们只能画出正面一个实实在在的正方形，背面是一个虚线画出的正方形，上下两个底面和左右两个侧面却是画的四个平行四边形。老师必须精心指导学生把四个平行四边形想象成正方形，形成正确的空间形象。3、学生通过展开与折叠的实际操作，加深对“立体图形”的印象，进一步掌握“立体图形”的特征和规律，有利于解决实际问题。学生把正方体的十一种表面展开图，用硬纸板画成图样，然后进行展开和折叠，一定能收到良好的效果。 二、突破把一个平面图形绕一条直线进行旋转的教学重、难点的方法。有了充分的感性认识，我们必须把“立体图形”的规律、特征上升到理性认识，要求学生表述达些规律、特征，切忌语言模糊不清。1、解：从左到右，从上到下，依次说明如下：长方形绕着长或宽旋转一周得到的几何体是圆柱。直角梯形绕着下底旋转一周得到一个圆锥和圆柱组合成一起的几何体。直角三角形绕着直角边旋转得到的几何体是圆锥。直角梯形绕着直角的腰旋转一周得到的几何体是圆台。半圆绕着直径旋转着一周得到的几何体是球。2、突破用一个平面去截正方体的教学重点、难点的方法教科书和有关的参考资料对截几何体只有图形，没有语言描述。在教学截几何体时，我们不但运用实物和图形进行教学，而且要积极引导学生用准确的语言描述其截法和截面的特征，帮助学生理解，牢固掌握这些数学知识。例如：用一个平面去截正方体的十种图形和表述方法如下： 3 7 8 9 10从正方体的一个顶点发出的三条棱的末端截去一个角，得到的截面是两个全等的等边三角形，其边长等于正方形的对角线。从正方形的一个顶点发出的三条棱中，一条棱的中间部分和别两条棱的末端截去一个角，得到的截面是两个全等腰三角形，腰长等于正方形的对角线。从正方形的一个顶点发出的三条棱中，两条棱的中间部分和另一条的末端截去一个角，截面是两个全等的不等边三角形。从一个顶点发出的三条棱的中间部分截去正方体的一个角，其截面是两个全等的不等边三角形。从一个正方形相对的两条边垂直地向对面截下去，其截面是两个全等的正方形，它的边长等于正方体的棱长。从一个正方形的对角形沿着两条侧棱向对面截下去的截面是两个全等的长方形，其长等于正方形的一条对角线，宽等于正方体的一条棱。经过一条侧棱上底面的顶点和这条侧棱不相邻的一条侧棱在下底面的顶点及另外两条侧棱中点的截面是两个全等的菱形。从正方体上底面相邻的两条边非垂直地向下底面对应的两条边截下去，得到两个全等的梯形。从一条侧棱上底面的一个顶点出发，经过这条侧棱相邻两条侧棱的中间部分和四个侧面截向下底面，得到的截面是两个全等的五边形。从截去上底面东北方的一个角开始，然后经过这个角下相邻两个侧面，向与另外两个侧面相交的两条侧棱的中间部分截去；再经过另外两个侧面，向下底面截去西南方的一个角；得到两个全等的六边形截面。附：用一个平面去截正方体的十五种图形。三、突破北师大七年级上册数学“三视图”的教学重点、难点的方法。为了进一步学好立体几何，发展空间概念，我们必须掌握三视图的特征、规律，保证学生顺利过关。下面重点剖析，用若干个小正方体搭成几何体的三视图的规律、特征：1、三视图的概念从正面看到几何体的平面图形叫做主视图。从上面看到的几何体的平面图形叫做俯视图。从左面看到的几何体的平面图形叫做左视图。2、三视图的规律、特征。竖对着观察者的叫做“列”，横对着观察者的叫做“行”。主视图和俯视图的“列”与“行”是一致的。左视图的“列”是主视图和俯视图的“行”，左视图的“行”是主视图和俯视图的“列”。几何体左右的长度叫做“长”，前后的长度叫做“宽”，上下和长度叫做“高”。主视图的长俯视图的长。主视图的高左视图的高俯视图的宽左视图的宽 主视图每列的方块数该列中最多那一行中的方块数左视图每列的方块数该列中最多那一行中的方块数俯视图每格的方块数用数字标明。3、典型习题剖析若干个小正方体搭成的几何体，分别画出它主视图、俯视图和左视图。例如： 主视图：第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三个有1个正方形，一共有3行。俯视图：第一列的第一行有一个正方形，第二行有两个方块，只画一个正方形。第二列的3个方块都在第二行，只画一个正方形。第三列的1个块在第二行，只画一个正方形。左视图：注意实体的左边为第一列可看见3个正方形，第二列看见一个正方形。第一行看见2个正方形，第二行看见一个正方形，第3行也只看见一个正方形。三视图如下： 2 3 1345 12 3 1 1主视图 俯视图 左视图下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数学表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图。3 4 22 1 A、因为主视图和俯视图的列数相同，所以主视图有3列；第一列有3个正方形，第二列有4个正方形，第三列有3个正方形。B、左视图的列数与俯视图的行数相同，因此左视图有二列；第一列有4个小正方形，第二列有2个小正方形。主视图和左视图如下： 主视图 左视图一个几何体由若干小立方体块搭成，它的主视图、左视图和俯视图分别如下，请你搭出相应的几何体。 主视图 左视图 俯视图剖析：现将左视图和主视图小立方块的分布情况列表如下：左 一列 2 1 1视 二列 1图 三列 1 一列 二列 三列 主 视 图这个表与俯视图完全符合因此得到下面的几何体。用小立方体搭一个几何体，使得它的主视图，俯视图如下，最多需要多少小立方体？最少需要多少小立方体？一共可以搭成几种几何体？3 3 13 3 13主视图 俯视图分析：主视图和俯视图的列数相同；主视图每列的方块数俯视图该列中的最大数字；俯视图第一列三格中至少有一个3，第二列两个格中，至少有一个3，第三列两个中必须全是1；因此最少需要的小立方体的个数为：32+1511（个）最多需要的小立方体的个数，俯视图第一列三格的个数都是3，第二列两格的个数都是3，第三列的个数都是1。因此得到：35+1217（个）因为最多的几何体需要17个小立方体，最少的几何体需要11个小立方体，所以由17个小立方体每减少一个小立方体就是种新的几何体，因此得到一共可以搭成的几何体为：17-11+17（种）解：最多需要的小立方体的个数为：35+1217（个） 最少需要的小立方体的个数为：32+1511（个） 一共可以搭成的几何体的种数为：17-11+17（种）附：由于近年来中考越来越注重能力的考查，因而几何体的三视图成为考试的一个热点，这类题不仅考查了同学们的空间想象能力，同时更注重动手操作能力的考查现对考点归纳如下，供同学们参考、由几何体，识别其视图例1（2006年泰州市）下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是( )BCDA 析解：这道题主要考查的是由几何体来识别其视图从上面看，共有2行，第一行只能看到3个小正方体，第二行2个小正方体，所以俯视图是D，故应选D点评：我们从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向观察同一物体，描绘三次所看到的图，即为三视图从正面看到的图形叫做主视图；从左边看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图、由视图，确定几何体例2（2006年眉山市）一个物体的三视图如图所示，该物体是（ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱析解：由正（主）视图可知，此几何体是锥体，可排除A、D；再结合俯视图和左视图可知，此几何体是圆锥，故应选B点评：由三视图确定几何体的形状要借助三个视图进行综合分析、想象，同时合理的猜想、结合生活经验进行估测也非常重要、由视图，确定小立方块个数例3（2006年成都市）右图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）1，22，12，12，22，22，1A5个B6个C7个D8个 析解：观察主视图，从左到右每列中小立方块的个数依次为1、2、2；将数字填入俯视图中从左到右的每列小正方形中（每个小正方形中左边的数字）；观察左视图，从左到右每行小立方块的个数依次为1、2、1，将数字填入俯视图中从上到下的每行小正方形中（每个小正方形中右边的数字）；取图中每个小正方形中一对数字中较小的一个数（两数相等则任取一个），于是可求得搭成的几何体所用的小立方块的个数是1+1+1+2+2+1=8，故应选D点评：解这类问题的一般思路是先根据主视图和左视图确定出俯视图中每个小正方形相应位置上的小立方块的个数，再求出组成这个几何体所用的小立方块的个数、由俯视图及小立方块个数，识别其它视图例4（2006年常州市）下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ） 析解：根据俯视图上小立方块的数字，先确定主视图有3列，然后再根据每一列中最大的数字确定这一列的层数，第一列有4层，第二列有3层，第三列有2层则该几何体的主视图为C，故应选C点评：解这类问题的一般方法是先由俯视图确定几行几列，再根据各个位置上的小立方块的个数确定每行每列的最高层数，从而识别出其它视图四、突破有关欧拉公式的应用的教学重、难点的方法。我们仔细观察实物，全力抓住立体图形的规律、特征，运用数学公式准确表示，才能正确、迅速地进行计算，有效地提高教学质量。1、将一个三角形纸片剪成四个小三角形，再将其中一个按同样的方法剪成四个更小的三角形如此下去，如图所示，结果如下表：1234a471013an求an 等于多少？分析：从所剪三角形的个数7-43，10-73，13-103则它们的公差用d=3表示；所剪的次数1，2，3，4用n表示；剪一次所得三角形的个数a1 4来表示；剪二次所得三角形的个数 a2 a1 +3 来表示；剪三次得三角形的个数a3a1+23；剪n次得三角形的个数ana1+nd解：根据观察的规律得：ana1+nd（即等差数列第n项的公式）2、如图搭成棱长为a的小正方体的几何体，kn表示搭到n层时小正方体的总块数，Sn表示搭到n层该几何体的表面。试kn求和Sn分析：从图中可以看出：第一层有1个小正方体，第二层有3个小正方体，第三层有6个小正方体如果用n表示搭的层数，an表示第n层小正方体的块数，那么an=n(n+1)2；用kn表示搭到n层时小正方体的总块数，那么kn=a1+a2+a3+an；从第一图知道主视图、俯视图、左视图各有1个面，从第二图知道主视图、俯视图、左视图各有3个面，从第三图知道主视图、俯视图、左视图各有6个面，如果用Sn表示搭到n层时该几何体的表面数，那么Sn（主视图+俯视图+左视图）2；第一图有6个表面，第二图有18个表面，第三图有36个表面，因此Sn=n(n+1) 26。 解：an=n(n+1)2 kn=a1+a2+a3+an Sn（主视图+俯视图+左视图）2 Sn=n(n+1) 26。3、根据欧拉公式完成下面的习题：根据欧拉公式，完成表中的空格：多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体46长方体812正八面体68正十二面体2012分析：V表示多面体的顶点数，F表示面数，E表示棱数; 欧拉公式：V+F-E=2; V=2+E-F=2+6-4=4 F=2+E-V=2+12-8=14-8=6 E1=V+F-2=6+8-2=14-2=12 E2=V+F-2=20+12-2=32-2=30一个多面体的面数比顶点大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 分析：因为面数比顶点大8，所以F=V+8; E=30; F=2+E-V V+8=2+30-V2V=32-82V=24V=12F=V+8F=12+8F=20某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x,八边形的个数为y，求x+y的值。分析：这个多面体的面数为x+y; 这个多面体的棱数为243236 根据V+F-E=2,得： 24+（x+y）-36=2 x+y=14 教学反思：一、正方体十一种表面展开图的教学反思：我是让每个学生自己单独去探索得到的展开图，虽然有助于培养学生的独立动手和思维能力。但这样速度比较慢，并且许多同学只能得到一种，其他的情况只能看黑板上的图形，经过反思，我觉得这种方法违背了书本中合作学习的原则，应该让他们以学习小组为单位，虽然有可能某个同学只能得到一种，但是经过小组交流后，小组其他成员的思路和成果可以共享，最后再请学习小组代表把本组所得到成果进行总结，在纸上画出所得到图形的示意图。最后我再对能得出的情况做演示，并总结出11种情况。我觉得这节课上没有调动全体学生的积极性，许多学生刚开始很认真，但得到一种情况后就不去想其他情况，在那开小差。当黑板上有九种图形，我想启发学生能够得出另外两种，学生都认为没有的情况下，我是直接在黑板上写出了另两种情况，没有给学生充分的时间去探索。经过反思，我认为这时候应该留给学生充足的时间去得到这两种情况，而不是由我告诉他们答案。在这节课上，“学生为主体”在后半部分根本没有体现，上课时自己讲的太多，老害怕学生不会，想的很周到，想把所有的地方都给学生讲到，没有留给学生充足的思考的时间，没有起到一个很好的引导者的作用。比如要找规律记住这些图形时，我没有给任何机会让学生表现，不相信他们的观察和总结能力，而是直接把“口诀”告诉他们，然后带他们理解一下。我觉得这点非常失败。我知道，这堂课上面除了上面几点需要反思外，还有很多不足，比如：上课的语言的连贯性，提问有效性，语速、语调、普通话等方面我都需要加强。总之，通过这堂课的课后反思，使我明白要成为一名优秀教师，我还需要走很长的路，还需要付出更多的努力。二、把一个平面图形线一条直线进行旋转的教学反思。这节课上完之后，我感觉成功之处在于：1、能驾驭教材，把握重难点，对学生提出的问题能抓住要点讲到点子上。2、能根据新课程标准则要求，引导学生经历从具体情境中抽象出数学知识的过程，并在这个过程中与学生平等地交流和给以恰到好处的点拨。3、.整个数学课堂留给学生较多的空间，让学生有更多的独立思考、动手实践、合作交通过本节课教学，使我意识到今后应注意如下几个方面：1、在教学中，要注意从学生的生活感知出发。通过大量的情景设置来引发学生的学习兴趣，通过积极的探究活动来激发学生的思维，并注意到布置学生的课后实践，引导学生把学习过的数学知识回归到现实生活中去，培养学生观察和思考兴趣。2、注意评价的多元化，全面了解学生的数学学习历程，对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。3、引导学生不断发现、提出、探索、设计、解决问题，从而培养学生的创新能力和实践能力。三、用一个平面去截正方体的教学反思 1、培养学生学习立体几何的兴趣 立体几何这个内容对于学生而言是一个全新的内容，需要学生具有一定的空间想象能力和逻辑推理能力。刚接触这样一个内容，一方面学生会有一种新奇感从而产生一定的探索欲望；另一方面学生一旦遭遇挫折，容易产生畏难情绪。如果我们能根据教学进程，适时安插一些拓展内容，则可以提高学生学习的兴趣，同时更好的激发学生的探索精神。 2、培养学生的数学思维和能力 在这节课中，通过让学生思考、讨论、交流，可以培养学生自主探究、合作交流和分析解决问题的能力；通过让学生动手操作，仔细观察，亲身体验，可以渗透观察与试验、类比与联想的数学思想方法；通过让学生大胆猜想，提出问题，可以培养学生的发散性思维和创新精神；通过让学生上网查找资料，可以提高学生收集、处理信息的能力。 3、成功之处与不足之处 对于这节课我比较满意之处：一是运用课件让学生在电脑上完成用一个平面对正方体无限次切截的过程，可以弥补实物操作中只能进行有限次切截的不足，更利于学生发现截面的产生和变化规律，有利于提高学生探索问题的能力。二是课堂气氛热烈，师生互动较好。但每节课总会留有遗憾，若能将实物切截与电脑操作相结合，相信学生对相关知识的学习会有更深刻的体会；若能在计算机房上课，每个学生面前一台电脑，让学生当堂查找，直接利用网络资源解决课上问题，教师从旁指点，则更利于提高学生分析问题及运用信息技术的能力；还有一点就是学生所掌握的立体几何知识较少，这使得问题探讨的深度与广度受到一定的局限。当然就本节课而言，这是一个遗憾，但从长远来看，可能会有利于激发学生学习立体几何的兴趣，以便更好的解决课上遗留的问题。四、北师大七年级上册数学“三视图”的教学反思本课时的教学设计，通过具体教学的检验，符合新课程标准，能从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情景，通过“读一读、摆一摆、议一议、看一看、讲一讲、画一画，理一理，做一做”等一系列的教学活动的安排引导学生通过实践、思考、探索、合作学习及交流获得知识，所有结论都是学生自己观察获得的，课堂气氛民主、活泼，学生是在宽松的环境中学习，彻底改变了只有教师传授的模式，学生真正成为学习的主人，课堂上学生分组讨论，动手操作，师生、学生之间的合作交流，以及现代技术多媒体的合理应用，使学生完全处于一种兴奋、积极参与的状态，有助于学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、交流等教学活动。鼓励学生发表不同意见，学生的个性得到了极大的发展。教师的角色发生了彻底的转变，成为了学生学习的组织者、引导者、参与者。本节课能适时根据教学内容，结合苏东坡的诗句，对学生进行人生观的教育，体现了数学教学中人文素质的培养和德育教育的有机渗透。关注知识的发生过程的教学，对知识与技能的培养，学生的合作、交流，学生学习方法的转变等方面取得了一定的成功。取得成功的同时，本节课还有如下不足：一是在三视图概念教学中应强调从上往下看，视线是垂直向下的，从正面、左面看时，应规定视线是水平的，这样学生在回答问题时不至于出现大的偏差。 二是在三视图的概念教学中，过渡较快，知识发生发展的过程暴露的不够。三是学生回答问题出现错误，教师未能让学生充分暴露错误的思维过程，失去了发现问题、解决问题的良好时机。四是在画三视图时，对学生学法上指导不够，如能再进一步引导学生画主视图、左视图、俯视图时，说清看到的图形有几列，每列有几个立方块。学生画图准确率会得到提高，从课后学生的作业反馈情况看，学生对画三视图错误较多，特别是左视图的出错率较高，这与课堂上的分析及强调不够有极大的关系，还需下节课的教学作进一步的补充与弥补。五、有关欧拉公式的应用的教学反思本文是在教学实践基础上的改进，同时增加了一些新的设想。教学中对欧拉公式的变形理解，对欧拉公式的证明改进等都是对教材的二次改造，效果很好。一方面从更一般更统一的角度对欧拉公式的形式和证明作了阐述，另一方面也是研究性学习真正深入研究的结果，对学生的引导是积极的。在教学中特别要注意两点：一是学生的提前阅读和思考一定要充分，二是在欧拉公式的证明和正多面体的推导过程中一定要有耐心。否则，课堂的研究气氛，学生的收获都会打折，或者演变为普通的讲授课。实际教学中，教师可根据自己的教学特点和学生情况，选择合适的形式引导学生研讨，建议用2课时。教学总是在不断的积累和反思中提高，每一次面对不同的学生都会有新感觉。如有些学生在研究时，发现其实可以不用欧拉公式求解，这是他在深刻理解了正多面体推导的基础上得到的。