时间序列分析讲义 第01章 差分方程

时间序列分析方法讲义 第1章 差分方程第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。1.1一阶差分方程假设利用变变量表示示随着时时间变量量变化的的某种事事件的属属性或者者结构，则则便是在在时间可可以观测测到的数数据。假假设受到到前期取取值和其其他外生生变量的的影响，并满足下述方程：(1.1)在上述方程程当中，由由于仅线线性地依依赖前一一个时间间间隔自自身的取取值，因因此称具具有这种种结构的的方程为为一阶线线性差分分方程。如如果变量量是确定定性变量量，则此此方程是是确定性性差分方方程；如如果变量量是随机机变量，则则此方程程是随机机差分方方程。在在下面的分分析中，我们假设是确定性变量。例1.1 货币需需求函数数 假假设实际际货币余余额、实实际收入入、银行行储蓄利利率和商商业票据据利率的的对数变变量分别别表示为为、和，则可可以估计计出美国国货币需需求函数数为：上述方程便便是关于于的一阶阶线性差差分方程程。可以以通过此此方程的的求解和和结构分分析，判判断其他他外生变变量变化化对货币币需求的的动态影影响。1.1.11差分方方程求解解：递归归替代法法差分方程求求解就是是将方程程变量表表示为外外生变量量及其初初值的函函数形式式，可以以通过以以前的数数据计算算出方程程变量的的当前值值。由于方程结结构对于于每一个个时间点点都是成成立的，因因此可以以将(11.1)表示为为多个方方程：依次进行叠叠代可以以得到：(1.2)上述表达式式(1.2)便便是差分分方程(1.11)的解解，可以以通过代代入方程程进行验验证。上上述通过过叠代将将表示为为前期变变量和初初始值的的形式，从从中可以以看出对对这些变变量取值值的依赖赖性和动动态变化化过程。1.1.22. 差分分方程的的动态分分析：动动态乘子子(dyynammic mulltipplieer)在差分方程程的解当当中，可可以分析析外生变变量，例例如的变变化对阶阶段以后后的的影影响。假假设初始始值和不受到到影响，则则有：(1.3)类似地，可可以在解解的表达达式中进进行计算算，得到到：(1.4)上述乘子仅仅仅依赖赖参数和和时间间间隔，并并不依赖赖观测值值的具体体时间阶阶段，这这一点在在任何差差分方程程中都是是适用的的。例1.2货货币需求求的收入入乘子 在我我们获得得的货币币需求函函数当中中，可以以计算当当期收入入一个单单位的变变化，对对两个阶阶段以后后货币需需求的影影响，即即：利用差分方方程解的的具体系系数，可可以得到到：，从而可以得得到二阶阶乘子为为：注意到上述述变量均均是对数数形式，因因此实际际上货币币需求相相对于两两个阶段段以前收收入的弹弹性系数数，这意意味着收收入增长长1%，将将会导致致两个阶阶段以后后货币需需求增加加0.0098%，其弹弹性是比比较微弱弱的。定义1.11在一阶阶线性差差分方程程中，下下述乘子子系列称称为相对对于外生生扰动的的反应函函数：，(1.55)显然上述反反应函数数是一个个几何级级数，其其收敛性性依赖于于参数的的取值。(1) 当当时，反反应函数数是单调调收敛的的；(2) 当当时，反反应函数数是震荡荡收敛的的；(3) 当当时，反反应函数数是单调调扩张的的；(4) 当当时，反反应函数数是震荡荡扩张的的；可以归纳描描述反应应函数对对于参数数的依赖赖性：当当时，反反应函数数是收敛敛的；当当时，反反应函数数是发散散的。一个特殊情情形是的的情形，这这时扰动动将形成成持续的的单一影影响，即即的一个个单位变变化将导导致其后后任何时时间的一一个单位位变化：，为了分析乘乘子的持持久作用用，假设设时间序序列的现现值贴现现系数为为，则未未来所有有时间的的流贴现现到现在在的总值值为： (1.6)如果发生一一个单位位的变化化，而不不变，那那么所产产生的对对于上述述贴现量量的影响响为边际际导数：，上述分析的的是外生生变量的的暂时扰扰动，如如果发生生一个单单位的变变化，而而且其后后的也都都发生一一个单位位的变化化，这意意味着变变化是持持久的。这这时持久久扰动对对于时刻刻的的影影响乘数数是： (1.77)当时，对上上式取极极限，并并将其识识为扰动动所产生生的持久久影响： (1.88)例1.3 货币需需求的长长期收入入弹性 在例例1.11中我们们已经获获得了货货币的短短期需求求函数，从从中可以以求出货货币需求求的长期期收入弹弹性为：这说明收入入增加11%最终终将导致致货币需需求增加加0.668%，这这是收入入对于货货币需求求反馈的的持久影影响效果果。如果换一个个角度考考察扰动动的影响响，那么么我们需需要分析析一个单单位的外外生扰动动对于以以后路径径的累积积影响，这这时可以以将这种种累积影影响表示示为： (1.9)由此可见，如如果能够够估计出出差分方方程中的的系数，并并且了解解差分方方程解的的结构，则则可以对对经济变变量进行行稳定性性的动态态分析。另另外，我我们也发发现，内内生变量量对外生生变量反反应函数数的性质质比较敏敏感地依依赖差分分方程中中的系数数。1.2阶阶差分方方程如果在方程程当中允允许依赖赖它的阶阶前期值值和输入入变量，则则可以得得到下述述阶线性性差分方方程(将常数数项归纳纳到外生生变量当当中)：(1.100)为了方便起起见，将将上述差差分方程程表示成成为矩阵阵形式：(1.111)其中：，其实在方程程(1.11)所表示示的方程程系统当当中，只只有第一一个方程程是差分分方程(1.110)，而而其余方方程均是是定义方方程：，将阶差分方方程表示示成为矩矩阵形式式的好处处在于，它它可以进进行比较较方便的叠代代处理，同同时可以以更方便便地进行行稳定性性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F的第一行上。进行向前叠叠代，可可以得到到差分方方程的矩矩阵解为为： (11.122)利用表示矩矩阵中第第行、第第列元素素，则方方程系统统(1.12)中的第第一个方方程可以以表示为为：(1.133)需要注意，在在阶差分分方程的的解中需需要知道道个初值值：，以以及从时时刻开始始时的所所有外生生变量的的当前和和历史数数据：。由于差分方方程的解解具有时时间上的的平移性性，因此此可以将将上述方方程(11.122)表示示为： (1.14)类似地，表表示成为为单方程程形式： (1.15)利用上述表表达式，可可以得到到阶差分分方程的的动态反反应乘子子为：，由此可见，动动态反应应乘子主主要由矩矩阵的首首个元素素确定。例1.4 在阶差分分方程中中，可以以得到一一次乘子子为：二次乘子为为：虽然可以进进一步通通过叠代的方方法求出出更高阶阶的反应应乘子，但但是利用用矩阵特特征根表表示则更更为方便便，主要要能够更更为方便便地求出出矩阵的的首个位位置的元元素。根据定义，矩阵的特征根是满足下述的值：(1.166)一般情况下下，可以以根据行行列式的的性质，将将行列式式方程转转换为代代数方程程。例1.5 在二阶阶差分方方程当中中，特征征方程为为：具体可以求求解出两两个特征征根为：， (1.117)上述特征根根的表达达式在讨讨论二阶阶线性差差分方程程解的稳稳定性时时，我们们还要反反复用到到。距阵的特征征根与阶阶差分方方程表达达式之间间的联系系可以由由下述命命题给出出：命题1.11 距阵阵的特征征根满足足下述方方程，此此方程也也称为阶阶线性差差分方程程的特征征方程：证明：根据据特征根根的定义义，可知知特征根根满足：对上述行列列式进行行初等变变化，将将第列乘乘以加到到第列，然然后将第第列乘以以加到第第列，依依次类推推，可以以将上述述行列式式方程变变化为对对角方程程，并求求出行列列式值为为：这便是所求求的阶线线性差分分方程的的特征方方程。 ENDD如果知道阶阶线性差差分方程程的特征征方程及及其特征征根，不不仅可以以分析差差分方程程的动态态反应乘乘子，而而且可以以求解出出差分方方程解析析解的动动态形式式。1.2.11 具有有相异特特征根的的阶线性性差分方方程的通通解根据线性代代数的有有关定理理，如果果一个方方阵具有有相异特特征根，则则存在非非奇异矩矩阵将其其化为对对角矩阵阵，且对对角线元元素便是是特征根根：，(1.118)这时矩阵的的乘级或或者幂方方矩阵可可以简单单地表示示为：，(1.119)假设变量和和分别表表示矩阵阵和的第行、第第列元素素，则可可以将上上述方程程利用矩矩阵形式式表示为为：从中可以获获得：(1.199)其中：，如如此定义义的序列列具有下下述约束束条件(自行证证明)： (1.220)具有上述表表达式以以后，在在差分方方程的解解： (1.15)中可以得到到动态乘乘子为：， (1.21)究竟系数序序列取值值如何，下下述命题题给出了了它的具具体表达达式。命题1.22 如果果矩阵的的特征根根是相异异的，则则系数可可以表示示为：(1.222)证明：由于于假设矩矩阵具有有相异的的特征根根，因此此对角化化的非奇奇异矩阵阵可以由由特征向向量构造造。令向向量为：，其中是矩阵阵的第个特特征根。经过运算可可以得到到：由此可知是是矩阵的的对应特特征根的的特征向向量，利利用每个个做列就就可以得得到矩阵阵。将矩矩阵的第第一列表表示出来来：可以求解上上述线性性方程的的解为：，注意到：，带入入上述表表达式即即可得到到结论。 END例1.6 求解二二阶差分分方程：解：该方程程的特征征方程为为：特征根为：，此方程的动动态乘子子为：，在上述乘子子的作用用过程中中，绝对对值教大大的特征征根决定定了乘子子的收敛敛或者发发散过程程。一般般情形下下，如果果是绝对对值最大大的特征征根，则则有：(1.233)则动态乘子子的收敛敛或者发发散是以以指数速速度进行行。当一些特征征根出现现复数的的时候，差差分方程程解的性性质出现现了新的的变化，扰扰动反应应函数将将出现一一定的周周期性质质。为此此，我们们讨论二二阶差分分方程的的情形。当时，特征征方程具具有共扼扼复根，可可以表示示为：，利用复数的的三角函函数或者者指数表表示法，可可以将其其写作：，这时动态乘乘子可以以表示为为：对于实系统统的扰动动分析，上上述反应应乘子应应该是实实数。由由于和也是共共扼复数数，因此此有：，则有： (1.24)如果，即复复数处于于单位圆圆上，则则上述动动态乘子子出现周周期性变变化，并并且影响响不会消消失；如如果，即即复数处处于单位位圆内，则则上述动动态乘子子按照周周期方式式进行率率减，其其作用慢慢慢消失失；如果果，即复复数处于于单位圆圆外，则则上述动动态乘子子按照周周期方式式进行扩扩散，其其作用将将逐渐增增强。例1.7求求解二阶阶差分方方程：解：该方程程的特征征方程为为：特征根为：，上述共扼复复数的模模为：因为，由此此可知其其动态乘乘子呈现现收敛趋趋势。可可以具体体计算出出其震荡荡的周期期模式。，由此可知动动态乘子子的周期期为：由此可知动动态乘子子的时间间轨迹上上，大于于4.99个时间间阶段便便出现一一次高峰峰。1.2.22 具有有相异特特征根的的二阶线线性差分分方程的的通解针对具体的的二阶线线性差分分方程，可可以讨论论解的性性质与参参数之间间的关系系。a. 当时时，参数数取值处处于抛物物线的下下方。这这时特征征方程具具有复特特征根，且且复数的的模为：因此，当时时，此时时解系统统是震荡荡收敛的的；当是是震荡维维持的；当时是是震荡发发散的。b. 当特特征根为为实数时时，我们们分析最最大特征征根和最最小特征征的性质质。此时时，且当且仅当时时解及其其动态反反应乘子子是稳定定的。下下面我们们判断非非稳定情情形。如如果：即：求解可知，使使得不等等式成立立的参数数解为：，或者，同理，使得得不等式式成立的的参数解解为：，或者，因此当特征征方程具具有相异异实根的的时候，稳稳定性要要求参数数落入抛抛物线上上的三角角形区域域内。c. 类似似地可以以说明，当当特征方方程具有有相等实实根的时时候，即即处于三三角形内内的抛物物线上时时，方程程仍然具具有稳定定解，同同时动态态反应乘乘子也是是收敛的的。1.2.33 具有有重复特特征根的的阶线性性差分方方程的通通解在更为一般般的情形形下，矩矩阵可能能具有重重复的特特征根，即即具有重重根。此此时可以以利用JJorddan标标准型表表示差分分方程的的解及其其动态反反应乘子子。下面面以二阶阶差分方方程为例例说明。假设二阶差差分方程程具有重重根，则则可以将将矩阵表表示为：计算矩阵乘乘积得到到：于是动态反反应乘子子可以表表示为：1.3 长期和和现值的的计算如果矩阵的的所有特特征根均均落在单单位圆内内(即所有有特征根根的模小小于1)，当时时间间隔隔逐渐增增大时，矩矩阵乘积积将趋于于零矩阵阵。如果果外生变变量和的数据据均是有有界的，则则可以利利用的所所有历史史数据表表示差分分方程的的一个解解：其中，即矩矩阵中的的(1, 1)位置元元素。可可以在矩矩阵表示示下，计计算的一一个暂时时性变化化形成的的对现值值的影响响。注意意到利用用向量求求导得到到：这样一来，现现值影响响乘子可可以表示示为：上述矩阵级级数收敛敛的条件件是所有有特征根根的模均均小于。此此时，的的一个暂暂时性变变化形成成的对现现值的影影响是矩矩阵的(1, 1)元素，可可以利用用下述命命题求出出。命题：如果果所有特特征根的的模均小小于，则则有：(1) 的的一个暂暂时性变变化形成成的对现现值的影影响乘子子是：(2) 的的一个暂暂时性变变化形成成的对的的持续影影响乘子子是：(3) 发发生在上上的持续续变化导导致的累累积影响响乘子是是：证明：我们们首先证证明：如如果所有有特征根根的模均均小于，则则矩阵存存在。假假设此时时逆矩阵阵不存在在，则有有的行列列式为零零，即上式说明是是的特征征根，这这与所有有特征根根的模均均小于的的假设矛矛盾，因因此可知知逆矩阵阵存在。下面我们求求当中(11, 11)位置置的元素素。假设设表示当中中(i, j)位置的的元素，则则有：仅仅考虑上上述矩阵阵的第一一行，则则有：对于上述矩矩阵通过过右乘初初等矩阵阵进行初初等变换换，例如如对最后后一列乘乘以加到到倒数第第2列，然然后倒数数第2列列乘以加加到倒数数第3列列，依次次类推，可可以得到到：从中可以求求出，即即可以证证明命题题中的三三个等式式。17