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湘潭大学数学与计算科学学院,1,4.3.2 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程,湘潭大学数学与计算科学学院,2,1、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,湘潭大学数学与计算科学学院,3,2、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,湘潭大学数学与计算科学学院,4, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,湘潭大学数学与计算科学学院,5, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,湘潭大学数学与计算科学学院,6, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,湘潭大学数学与计算科学学院,7,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),湘潭大学数学与计算科学学院,8,湘潭大学数学与计算科学学院,9,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,湘潭大学数学与计算科学学院,10,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,湘潭大学数学与计算科学学院,11,例如，,注意:,湘潭大学数学与计算科学学院,12,3、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,湘潭大学数学与计算科学学院,13,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,湘潭大学数学与计算科学学院,14,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,湘潭大学数学与计算科学学院,15,4、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),湘潭大学数学与计算科学学院,16,湘潭大学数学与计算科学学院,17,思考题,求微分方程 的通解.,P292 4题,湘潭大学数学与计算科学学院,18,思考题解答,令,则,特征根,通解,湘潭大学数学与计算科学学院,19,练 习 题,湘潭大学数学与计算科学学院,20,练习题答案,湘潭大学数学与计算科学学院,21,二、二阶常系数非齐次线性方程,湘潭大学数学与计算科学学院,22,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,1、 型,湘潭大学数学与计算科学学院,23,设非齐方程特解为,代入原方程,湘潭大学数学与计算科学学院,24,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,湘潭大学数学与计算科学学院,25,特别地,湘潭大学数学与计算科学学院,26,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,湘潭大学数学与计算科学学院,27,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,28,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,29,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,30,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,31,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,32,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,33,例1.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,湘潭大学数学与计算科学学院,34,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例2,湘潭大学数学与计算科学学院,35,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例3,湘潭大学数学与计算科学学院,36,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,湘潭大学数学与计算科学学院,37,3、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,湘潭大学数学与计算科学学院,38,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,P293 8题的奇数,湘潭大学数学与计算科学学院,39,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,湘潭大学数学与计算科学学院,40,练 习 题,湘潭大学数学与计算科学学院,41,湘潭大学数学与计算科学学院,42,练习题答案,湘潭大学数学与计算科学学院,43,湘潭大学数学与计算科学学院,44,三、欧拉方程,湘潭大学数学与计算科学学院,45,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,湘潭大学数学与计算科学学院,46,作变量变换,将自变量换为,湘潭大学数学与计算科学学院,47,上述结果可以写为,湘潭大学数学与计算科学学院,48,一般地，,例,求欧拉方程,的通解,解,作变量变换,湘潭大学数学与计算科学学院,49,原方程化为,即,或,(1),方程(1)所对应的齐次方程为,其特征方程,湘潭大学数学与计算科学学院,50,特征方程的根为,所以齐次方程的通解为,设特解为,代入原方程，得,所给欧拉方程的通解为,湘潭大学数学与计算科学学院,51,小结,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,湘潭大学数学与计算科学学院,52,练 习 题,湘潭大学数学与计算科学学院,53,练习题答案,
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