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参数方程中曲线欣赏 平摆线,一、教材分析,1、教材的地位和作用 “参数方程中曲线欣赏平摆线、圆的渐开线”这节教材是选修4-4的第4节，它是在学生学习了坐标系和参数方程的基础上，要学生学会欣赏各种各样的曲线，如平摆线、渐开线、心脏线等，并体会参数对研究这些曲线的作用。这节教材中，数与形的结合、相对与绝对、运动与变化、分解与综合等思想方法十分突出，对学生辨证地认识世界以及形成研究的态度意义重大。,、教学内容 本节课的主要教学内容是借助教具和计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线），了解平摆线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。通过“阅读”，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用实例。,知识技能目标 了解平摆线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。 过程性目标 通过学生积极参与，亲身经历平摆线的生成过程及曲线方程的获得过程，体会坐标系和参数方程的作用和意义，渗透数形结合的数学思想. 通过自主探索、合作交流，学生历经先想一想，再实际操作，最后追究其道理，完善认知结构. 通过在直观的基础上分析、抽象、论证、推导，层层深入，培养学生的创新思维和发散思维的能力，体会参数对研究平摆线、渐开线的作用.,3、教学目标,情感、态度与价值观目标 通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神。 了解摆线在实际中的应用实例，展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。 学会欣赏各种各样的曲线，感受数学美，进行数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。,3、教学目标,4、教学重点，难点,本节课的教学重点是了解平摆线的生成过程，并推导出它的参数方程。难点是摆线参数方程的推导。,二、教法分析：探究发现教学法.,遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥。,三、学法指导：研讨式学习法,教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；严格证，勤钻研。”的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。,四、教学过程,思考： 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,1、平摆线的定义,我们把定点P的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线。,当一个圆沿着一条定直线 无滑动地滚动时， 圆周上一个定点P的 轨迹是什么？,平摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,上述问题抽象成数学问题就是：,2、平摆线的参数方程,取定直线为X轴，定点P滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。,设P(x,y)是轨迹上任意一点，此时圆转过 角，圆心位于A点， 则BAP= ，作ABOx，PDOx，PCAB。,那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin ),y=DP=BA-CA=r (1 -cos ),所以，平摆线的参数方程为：,2、平摆线的参数方程,思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？,3、摆线,摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。,当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。,直齿,平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）,斜齿,齿轮齿条,内齿轮,交错轴齿轮传动机构,斜齿,蜗杆蜗轮,4、摆线的性质,最速降线 等时曲线,三、小结,1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时， 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为：,2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。,3、参数方程在研究摆线中的作用,四、作业,搜集有关摆线的应用实例。 借助 “阅读”，探究变幅内、外摆线的参数方程。,曲齿,人字齿,直齿,相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）,斜齿,曲线齿,准双曲面齿轮,
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