《概率论的基本概念》PPT课件

概 率 论 与 数 理 统 计,前言,确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例： 向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,概率论与数理统计是研究什么的？,概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律的一门学科。,概率论的基本概念,随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 概率的一般定义 条件概率 独立性,本章小结 习题,随机试验是具有以下特征的试验：可以在相同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个结果会出现。,样本空间、样本点,随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间记为S。试验的每个可能结果称为样本点。,随机试验,1,2 随机试验,样本空间,随机事件,例1：写出下列试验的样本空间。 E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S1：H，T； E：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 S2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT； E：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S3：0，1，2，3； E：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S4：1，2，3，4，5，6； E：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5：0，l，2，3，； E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S6：tt0； E：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 S7：(x，y) T0 xyT1，这里x示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。,试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,随机事件,基本事件（简单事件）、复合事件,由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。,必然事件、不可能事件,样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,例2： 在E中事件A：“第一次出现的是H”，即 AHHH，HHT，HTH，HTT； 事件A：“三次出现同一面”，即 A2HHH，TTT； 在E中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3t0t1000； 在E中事件A7：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7(x，y) y-x=10,T0 xyT1。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球.若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。如果用数对(i，j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是,(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。我们也可以研究下面另外一些事件： A：第一次摸出黑球； (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球,事件间的关系,包含：，称事件B包含事件A，即事件A发生必然导致事件B发生。 相等：，称事件A与事件B相等。 和： ，表示A、B二事件中至少有一个发生；表示n个事件A1 ，A2 ， ， An中至少有一个发生。 差：AB，表示事件A发生，而事件B不发生。 积：，也记作AB，表示A、B二事件都发生； 表示n个事件A1 ，A2 ， ， An都发生。,互不相容(或互斥)：指AB ，称事件A和B不相容，即A与B不能同时发生；若n个事件A1 ，A2 ， ， An的任意两个事件不能同 时发生，则称A1 ，A2 ， ， An互不相容 互为对立(互逆)：若 S，且AB 则A与B二事件互逆,又称A与B互为对立事件. A的对立事件记为 有,图示事件间的关系（Venn文图）,事件的运算,在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C为事件，则有 交换律 结合律 分配律 德摩根律 对于n个事件，甚至对于可列个事件，德摩根律也成立。,例4： 在例中有 HHH，HHT，HTH，HTT，TTT HHH TTT THH，THT，TTH,例5：用A，B，C的运算关系表示下列各事件。 A发生而B与C都不发生可以表示为： A与B都发生而C不发生可以表示为： 所有这三个事件都发生可以表示为： 这三个事件恰好发生一个可以表为： 这三个事件恰好发生两个可以表示为： 这三个事件至少发生一个可以表示为：,练习一：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,练习二从下面两式分析各表示什么包含关系。,3 频率与概率,(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。 例： 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A=听课迟到，则 频率 反映了事件A发生的频繁程度。,频率的基本性质,由定义，易见频率具有下述基本性质： 0 n(A)1; n(s)1; 若A1 ，A2 ， ， Ak是两两互不相容的事件，则 n( A1A2Ak )=n ( A1)+n (A2)+n (Ak).,返回,例考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发生的频数，n(H)表示H发生的频率)。,概率的一般定义,概率重要性质及证明,概率重要性质的证明,概率重要性质的证明,概率重要性质的证明,概率重要性质的证明,概率重要性质,概率重要性质的证明,概率重要性质的证明,概率重要性质的证明,4 等可能概型（古典概型）,定义：若试验E满足： S中样本点有限(有限性) 出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,有关排列组合的知识,求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是关于排列组合的知识： 1乘法原理 设完成一件事有n个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第n步有mn种方法，则完成这件事有m1 m2 mn种方法。 2加法原理 设完成一件事有k类方法，每类分别有m1,mk种方法，而完成这件事只需一种方法，则完成这件事可以有m1+m2+mk种方法,有关排列组合的知识,3不同元素的选排列 从n个不相同的元素中，无放回地取出个元素的排列( )，称为从n个不同元素中取个元素的选排列，共有 当mn时，称n个元素的全排列。共有！种。 4不同元素的重复排列 在n个不同元素中，有放回地取个元素进行的排列，共有种。,有关排列组合的知识,5组合 从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的排列，共有,例6：将一枚硬币抛掷三次。 设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)； 设事件A2为“至少有一次出现正面”，求P(A2)。,解：我们考虑例1中E的样本空间： S2：HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT 而 A1：HTT，THT，TTH S2中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同。故由古典概型计算公式，得 P(A1)=3/8 由于 =TTT，于是,练习1： 一袋中有8个球，编号为18，其中13号为红球，48号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一球，记A= 摸到红球 ，求P(A),解： S=1,2,8 A=1,2,3,例7：一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”。易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即为AUB，而C 。,(a)放回抽样的情况。,(b)不放回抽样的情况。,例8：将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。 解 这是古典概率问题。因每一只球都可以放人N个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有N(N一1)N-(n一1)种不同放法。因而所求的概率为,与本例有相同模型的有很多,比如生日问题,见P15,例9： 如果某批产品中有a件次品b件好品，我们采用不放回方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率是多少?,不放回抽样场合 从a+b个产品中取出n个产品的可能组 合全体作为样本点，总数为 ，恰好有K个次品数为 故所求概率为 这个概率称为超几何分布。,练习2：一袋中有8个球，编号为18， 其中13号为红球，48号为黄 球,从袋中不放回的摸两球， 记A=恰是一红一黄，求P(A) 解：,解 (1)放回抽样的情况，显然有,例10 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第i(i=1，2，k)人取到白球(记为事件B)的概率(ka+b)。,(2)不放回抽样的情况，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时， B中包含a (a+b-1)(a+b-2)a+b-l-(k- 1)+1个基本事件，故,值得注意的是P(B)与i无关，即k个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同(例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）。另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(B)是一样的。,几何概率问题的提出,有无限多结果而又有某种等可能性的场合。这类问题一般可以通过几何方法来求解。 先从几个简单的例子开始。 例1 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于10分钟的概率。 例2 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。,例12 (会面问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率。,解 以x，y分别表示两人到达时刻，则会面的充要条件为 x-y20 这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如图)。所求概率为,条件概率的定义,设A,B是两个事件，且P(A)0，称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,5 条件概率,条件概率满足概率定义中的三个基本性质,非负性：对于任何事件B，有P(BA)0； 规范性：对于必然事件S，有P(SA)=1； 可列可加性：设B1 ，B2 ， 两两互不相容的事件，即对于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,则有 可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如： 特别当B=S时，条件概率化为无条件概率。,解 易知此属古典概型问题将产品编号，1，2，3号为一等品；4号为二等品。以(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品。试验E(取产品两次，记录其号码)的样本空间为 S=(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)， A=(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)， AB(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2) 按条件概率的公式，得条件概率,例15 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(BA)。,法二: 也可以直接按条件概率的含义来求P(BA)。我们知道，当A发生以后，试验E所有可能结果的集合就是A，A中有9个元素，其中只有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)属于B，故可得,乘法定理,设P(A)0，则有 P(AB)=P(BA)P(A) 上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。 同理，若P(B)0，则有 P(AB)=P(AB)P(B) 可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合：设A1,A2,An为n个事件，n2,且 P(A1A2An-1）0，则有 P(A1A2An）=P(AnA1A2An-1）P(An-1A1A2An-2）P(A2A1）P(A1）,例16 设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。,解 以Ai(i=l，2，3，4)表示事件“第i次取到红球”，则 分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为,例17 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为12，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 710，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 910。试求透镜落下三次而未打破的概率。,因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。 条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(AB)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。,条件概率P(AB)与积事件概率P(AB)有什么区别？,P(AB)是在样本空间S内，事件AB的概率，而P(AB)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事件A的概率。虽然都是A、B发生，但两者是不同的，有P(AB)P(B)P(AB)，仅当P(B)P(S)1时，两者相等。,条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？,全概率公式,样本空间的划分的定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2，,Bn为E的一组事件。若 BiBj=,ij,i,j=1,2, ,n; B1B2Bn=S, 则称B1,B2, Bn为样本空间S的一个划分。 全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件， B1,B2，,Bn为S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2, ,n),则 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(ABn)P(Bn).,全概率公式的证明,证明 因为事件B1,B2，,Bn时样本空间的一个划分，即Bi两两互不相容，P(Bi)0(i=1,2, ,n)，而且 B1B2Bn=S 有 AB1AB2ABn=A 这里的ABi也是两两互不相容（参见图）。 由概率的可列可加性 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn) 利用乘法定理即得 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2) P(B2)+P(ABn)P(Bn),解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个分割。用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得,例18 播种用的一等小麦种子中混合2的二等种子，1.5的三等种子，1的四等种子。用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15,0.1,0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。,贝叶斯公式,贝叶斯公式的证明,证 由条件概率的定义及全概率公式即得,当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式,解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(il，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=015，P(B2)=080，P(B3)005，P(AB1)=002，P(AB2)=001，P(AB3)=003。,例19 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 002 015 2 001 080 3 003 005 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。试求这些概率。,由全概率公式 P(A)= P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3) =0.0125 由贝叶斯公式,以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大。,贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式。,例21 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98，而当机器发生某种故障时，其合格率为55。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?,解 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”。已知P(AB)098，P(A )055，P(B)095， P( )005，所需求的概率为P(BA)。由贝叶斯公式,这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为097。这里，概率095是由以往的数据分析得到的，是先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即097)是后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。,返回,先验概率和后验概率两者间有什么关系？,先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公 式 中的P(Bi)，它往往作为“由因求 果”问题中的“因”出现。后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BiA)P(ABi)P(Bi)/P(A)中的P(BiA)，是“执果寻因”问题中的“因”。 先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。如求P(BiA)要先求P(A)，一定要知道 P(ABi)。,考虑古典概型的一个例子,例 一袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求： (1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率； (2)第二次摸出黑球的概率。,6 独立性,解 以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第 二次摸得黑球，则 所以 而 注意这里的,考虑古典概型的一个例子,在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率。 解 这时 所以 而 注意这里的,事件独立性的定义,设A,B是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。,思考 若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容是否能同时成立？ 答 不能,定理1及其证明,设A,B是两个事件，且P(A)0，若A,B相互独立，则 反之亦然。,证 由条件概率的定义得,定理2及其证明,若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。,证 由于,3个事件独立性的定义,设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称事件A,B,C相互独立。,思考 三个事件A,B,C两两独立，能否保证他们相互独立呢？即能否由 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) . 答：不能。这从下面的例子可以看出。,例22 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色。现在我们以A，B，C分别记投一次四面体出现红，白，黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此 P(A)=1/2 同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以A,B,C两两独立，但是 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C),思考 能否由 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 推出 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C). 答：不能。这从下面的例子可以看出。,例23 若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) 但是 P(AB)=3/81/4=P(A)P(B),n个事件独立性的定义及其推论,一般，设A1,A2, An是n(n2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。 由定义，可以得到以下两点推论。 若事件A1,A2, An(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立的。 若n个事件(n2)相互独立，则将A1,A2, An任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,事件独立性的应用,在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由问题的实际意义来判断。如A,B分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认为A,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为A,B相互独立了。事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便。,例24一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式联接(称为串并联系统)。设第i个元件的可靠性为pi(i1，2，3，4)，试求系统的可靠性。,解 以Ai(il，2，3，4)表示事件第i个元件正常工作，以A表示事件系统正常工作。 系统由两条线路I和组成(如图)。当且仅当至少有一条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作，故有 A=A1A2A3A4,由事件的独立性，得系统的可靠性： P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1p2+p3p4-p1p2p3p4,例25 要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为095；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为001。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少?,解 设以Hi(i0，1，2，3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0，H1，H2，H3是S的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为099，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为005，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有,本章中介绍了一类新的现象随机现象，这是一种普遍存在的现象。在大量随机现象中存在着统计规律性，概率论便是研究随机现象的数量规律的一门数学学科。 “事件”与“概率”是概率论中最基本的两个概念，我们在公理化结构下严格地定义了概率的概念。 为了能清楚地理解事件与概率的直观含义，我们采用由 具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式分别介绍了频率、古典概型、几何概率，并从中归纳出事件与概率的本质特征，为公理化定义作准备，最后给出了概率的公理化定义，这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行。 事件的运算及概率的性质是本章的基本内容，也是学习以后的必要基础，务必牢固掌握。,本章小结,概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对事件A的概率P(A)给定一个具体的数。只在古典概型的情况，对于每个事件A给出了概率P(A)kn。一般，我们可以进行大数量的重复试验，得到事件A的频率，而以频率作为P(A)的近似值。 在古典概型中，我们证明了条件概率的公式： (1.1) 在一般的情况，(1.1)式则作为条件概率的定义。固定A，条件概率P(A)具有概率定义中的三个基本性质，因而条件概率是一种概率。 有两种计算条件概率P(BA)的方法：(1)按条件概率的含义，直接求出P(BA)。注意到，在求P(BA)时已知A已发生，样本空间S中所有不属于A的样本点都被排除，原有的样本空间S缩减成为SAA。在缩减了的样本空间SAA中计算事件B的概率就得到P(BA)。(2)在S中计算P(AB)及P(A)，再按(1.1)式求得P(BA)。,将(1.1)式写成 P(AB)P(BA)P(A)， P(A)0 (1.2) 这就是乘法公式。我们常按上述第一种方法求出条件概率，从而按(1.2)式可求得P(AB)。 事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念，概率论与数理统计中的很多很多内容都是在独立的前提下讨论的。应该注意到，在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断而是根据实际意义来加以判断的。根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难。,返回,