《根轨迹法》PPT课件

第五章 根轨迹法,5.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹定义： 以系统中某一参数（通常为开环增益K）为变量，当变量由0变化到无穷时，在S复平面上描绘的系统闭环特征方程根的分布曲线。 根轨迹分析法的特点： 利用系统开环传递函数的零、极点信息，依据一些简单规则，绘制闭环系统的根轨迹图（闭环极点分布图），间接研究闭环系统的性质。它可避免求解闭环系统特征方程根的复杂运算，是求解闭环系统特征方程根的一种简便图解法。 基于根轨迹法的系统设计思想： 闭环系统特征方程根的分布可决定系统的稳定性、静态和动态性能，是综合体现系统设计的性能指标。工程设计中通常是提出希望的闭环系统极点（特征根）分布指标要求，通过根轨迹图，确定满足指标要求的系统参数，完成控制系统的设计。基于根轨迹的设计方法是控制系统设计的一种有效简便的图解方法。,-0.5,-1,0,s,K=0,K=0,K=0.25,5.2.1 模条件与角条件 1、根轨迹应满足的基本条件 设系统开环传递函数一般形式为：G0(S)=KN(S)/D(s) 闭环特征方程为： G0(S)+1=0，或G0(S) =-1 当s取某一复数值时，方程左端是一个复数，可用极坐标摸角形式表示为： G0(S)= G0(S) ejargG(s)= -1ejarctg(0/-1=0) 依据方程两端摸角相等，可得到特征根应满足的摸角特征方程表达式： 摸值G0(S)= KN(s)/D(S)= 1 （摸值条件） 相角 arg G0(S)=(2k+1)，k=0,1,2, （相角条件） 这就是特征根s*应满足的摸角条件。 对应K:0 的取值，在s平面上满足摸角条件的特征根轨迹，称为关于增益参数K的根轨迹-简称根轨迹。摸角条件也称为关于增益参数K的根轨迹方程。根轨迹上所有点都应满足摸角条件，反之，凡是满足摸角条件的点s都属于根轨迹。,5.2 根轨迹的基本特性及绘制规则,m,n,这种以参数增益K*为参变量的特征方程就是根轨迹方程,闭环特征方程 为：1+G0 = 0，即：,2、摸角条件更具体的形式 设系统开环传递函数用零极点表示为：G0(S)= K*N(S)/D(s) =K*(s-Z1) (s-Zm) / (s-p1) (s-pn),根轨迹的模值条件与相角条件,-1,规则2、 根轨迹的起点，终点及分支数（条数）确定规则。 起点规则：K=0时根轨迹位置=开环传递函数G0(S) 的n个极点位置。 由摸条件可知，K=0时有s-pi=0,根轨迹起始于所有开环极点处 终点规则：K=时根轨迹位置-m个有限开环零点位置和n-m个无穷开环零点位置。 由摸条件可知，K=时有s-zj=0,根轨迹终止于m个有限开环零点处，n-m个无穷开环零点(说明见P243） 分支数规则：根轨迹条数=开环极点数n。 因为，根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。对应一个参数变量K值摸值条件方程有n个根，所以有n条）,规则3 根轨迹在实轴上的分布规则 若实轴上某点s1右侧开环零极点个数之和为奇数， 则该点所在实轴段为根轨迹。 若右侧开环零极点个数之和为偶数或0，则该点 所在实轴段不是根轨迹。 证明见P243图5.5,结论：所有共轭复数型开环零极点指向s1的方向角之和=0（或2k）,所有位于s1左侧的实数型开环零极点指向s1的方向角=0，所有位于s1右侧的实数型开环零极点指向s1的方向角=，所以，只有s1右侧开环零极点个数之和为奇数，才能满足角条件=(2k+1). 规则4 根轨迹(终止于无穷零点)的渐进线绘制规则 根轨迹有n-m条渐进线 （终止于无穷零点-终点规则）； 渐进线与实轴交点坐标 =(极点坐标)-(零点坐标)/(n-m); 渐进线方向角=（2k+1)/(n-m). s，角条件变为m-n=（2k+1),依据规则1（关于实轴对称-与实轴相交），证明见P244-245 本例:3条渐进线,方向角为/3,-/3,坐标=0-1-2-0/(3-0)=-1,规则5 根轨迹分离点和会合点确定规则 因为根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。所以，实轴上相邻极点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹分离点。 分离点确定：dG0(S)/ds=0,(重根计算法：分离点为重根点) 实轴上相邻零点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹会合点。 会合点确定： dG0(S)/ds=0,(重根计算法：会合点为重根点) 重根计算法依据：S1是2重根，必有f(S1)=0和f(S1)=0同时成立。依据相角条件的试探法略，见P247） 本例: dG0(S)/ds=3s2+6s+2=0, S1 =-0.423，分离点 规则6 实轴上分离点分离角和会合点会合角的确定 分离角和会合角（离开分离点和进入会合点时根轨迹切线方向角）：恒=900。 （依据相角条件，证明见P247-248）,规则7 根轨迹在开环复极点（或复零点）处的切线方向角,为根轨迹的出射角(或入射角). 出射角=(各零点指向该极点的方向角)-(其他极点指向该极点的方向角)-(2k+1)（依据相角条件，证明见P249） 入射角=(各极点指向该零点的方向角)-(其他零点指向该零点的方向角)+(2k+1) 本例:p1=-1+j1,p2=-1-j1,p3=0,p4=-3,z1=-2, p1-z1=1-j1, arctg(p1-z1)=-450,1=-450-(-1350-900-26.60)-1800=-26.60 规则8 根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益K值确定规则 根轨迹与虚轴有交点说明特征方程有共轭虚根s=j。 解特征方程： 1+ G0(j)=1+K*N(j)/D(j) =0， 即解方程组： Re1+ K*N(j)/D(j) =0 Im1+ K*N(j)/D(j) =0 可得到虚轴的交点坐标和对应的临界根轨迹增益值K* 试探法说明见P249,规则9 闭环极点的和与积 基于代数方程根与系数的关系，对下列闭环特征方程的根Si与系数ai之间有下列和与积的关系。 利用该关系可在已知某些根时求解另外的根。,0,-1,(1) 正实轴上的点s1，,arg(s1-0) = 0,arg(s1-(-1) = 0,不属于根轨迹；,(2) 实轴上原点与-1点之间的点s2，,arg(s2) = ; arg(s2+1) = 0;,属于根轨迹；,(3) 实轴上-1点左边的点s3，,args3=, arg(s3+1)=,不属于根轨迹；,(4) 实轴以外的点s4，,2,1,3,2+ 1= 或 2 3,属于根轨迹；,5.3 根轨迹绘制举例,开环零点-2，,根轨迹的绘制举例,0,Im,-1,Re,-3,-2,开环极点0、-3、 -1+j1、-1-j1,1. 根轨迹关于实轴对称；,2. 根轨迹有n条(n =4)分支, 起点是开环极点， 有m条(m =1)的终点是开环零点，其余的终点在 无穷远,3. 试探点右侧实零点与实极点数目之和是奇数，则该段实轴属于根轨迹；,4. 根轨迹渐近线 其角度为：,与实轴交点坐标为：,-60。,60。,180。,5. 根轨迹在负极点pa处的出射角,6. 根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益,1.61,-1.61,-26.6。,3、非闭环主导极点对阶跃响应的影响 由闭环极点分布与系统动态特性的关系可知： 阶跃响应y(t)由闭环极点相对应的多个分量叠加而成,如果所有极点都分布在左半平面(具有负实部),则系统响应将呈现单调衰减或振荡衰减的动态特性,并且各分量衰减的快慢主要取决于所对应极点离虚轴的距离(负实部绝对值的大小),极点离虚轴越远,相应的分量过度过程衰减越快、幅度越小，对系统动态特性影响越小,反之,极点离虚轴越近,相应的分量过度过程衰减越慢、幅度越大，对系统动态特性影响越大。 闭环极点的这种影响作用,是因为每个闭环极点p实际上是对应着一个时间常数为T=-1/p的惰性单元,极点p离虚轴越近,惰性环节的时间常数T=-1/p越大，系统响应速度越慢、超调量越大、调节时间越长，对系统动态特性影响越大。反之，极点p离虚轴越远,影响越小（详细见图5.27）。 一般称对系统动态特性影响大的极点(离虚轴较近的极点)为主导极点,影响小的极点(离虚轴较远的极点)为非主导极点。若某极点较其他极点原离虚轴4-6倍，则称其为非主导极点,工程上对其影响往往可忽略不计。 4、闭环偶极子对阶跃响应的影响 称在s平面相距很近的闭环零极点对为闭环偶极子。 数学上分别位于传递函数的分子和分母，可近似相消。 从响应分量看：Ak值很小，微分和惰性作用相互抵消。 一般两零极点间距较其他零极点距离为1/10或更小时，可视为偶极子，忽略不计其对系统动态特性的影响。,5.5 根轨迹在控制系统校正中的应用（非重点） 意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。 5.5.1 根轨迹的改造（通过增加开环零极点和偶极子改造根轨迹） 1、增加开环零点对根轨迹的影响 增加开环零点：可以使根轨迹左移，有利于改善系统稳定性及动态性能； 增加零点离虚轴越近，左移越显著，微分作用越强。,5.5.2 按根轨迹法校正反馈系统（非重点） 意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。 基本步骤： 1、根据给定的动态性能指标，确定（转换为）希望闭环主导极点。 2、绘制原系统根轨迹，当系统设计要求希望的主导闭环极点不在根轨迹上时，通过选择合适的校正装置（控制器）类型，改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上。 3、若校正改造后的根轨迹已通过希望的闭环主导极点，还需检验开环比例系数满足要求。必要时增加开环偶极子。 4、校核静态和动态指标满足要求。 该步骤一般需要反复操作，同时需要有经验。,例1. 对象传递函数为,要求设计一串联校正装置K(s)，使阶跃响应的超调量%=30%,过渡时间ts=1.5s，开环比例系数K010s-1。,第1步. 根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点；,主导极点为：,第2步. 画出未校正系统的根轨迹,p1,校正装置的传函为,-3.9,-9.4,A,1200,1010,pc,zc,410,B,第3步. 检验静态指标是否满足要求,-9.4,-3.9,8.24,5.27,5.29,6,p1,第4步. 检验动态指标,第五章结束,