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,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、曲线的凸性,曲线的凸性与函数作图,第三章,二、渐近线,三、函数的作图,定义1 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是下凸的; 或称f (x)为I上的下凸函数。,一、曲线的凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,弦在弧的上方；切线在曲线的下方。,(2) 若恒有,则称,图形是上凸的; 或称f (x)为I上的上凸函数。,弦在弧的下方；切线在曲线的上方。,下凸也称为凸，上凸也称为凹。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1：设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是下凸的; （弦在弧的上方，或切线在曲线下方）,(2) 若恒有,则称,图形是上凸的 . （弦在弧的下方，或切线在曲线上方）,等价定义：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于函数凹凸性的判定, 有下面的结论：,定理1 设函数 f 在区间I上可导，则 f 在区间I上下凸,（上凸）的充要条件是f (x)在区间I上单调增加（减少）,证明：,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,必要性：,若f 是下凸函数，由定义有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,充分性：,设,单调增加，,对函数,分别在区间,上用拉格朗日中值定理得：存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是下凸的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是上凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例1. 判断曲线,的凸性.,解:,故曲线,在,上是下凸的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 判断曲线,的凸性.,解:,故曲线,在,内是上凸的.,在,内是下凸的.,曲线凸性的分界点称为拐点,定义2：设,内的点，如果曲线在点,的左右两侧凸性相反，则称点,为此曲线的拐点.,注意：拐点是曲线上的点，不能说,是拐点。,与极值点不一样。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,下凸,上凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求拐点的步骤见教材P162.,例4. 求曲线,的上（下）凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,下凸,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,下凸,下凸,上凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5：证明不等式,证明：设,则,当,时，有,即上述 f（t）为下凸函数，,于是对任意,有：,例5.4 例5.5,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、 曲线的渐近线,定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或为“纵坐标差”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例1. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、函数的作图,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 描绘方程,的图形.,解: 1),定义域为,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(极小),4) 求渐近线,为铅直渐近线,无定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因,即,5) 求特殊点,为斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6）绘图,(极大),(极小),斜渐近线,铅直渐近线,特殊点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 曲线,(A) 没有渐近线；,(B) 仅有水平渐近线；,(C) 仅有铅直渐近线；,(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,2. 设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P168 1（3，6）；2 ; 3； 5（1，3） 6（3，4）；7（2）,作业,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 求笛卡儿叶形线,的渐近线 .,解: 令 y = t x ,代入原方程得曲线的参数方程 :,因,所以笛卡儿叶形线有斜渐近线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,笛卡儿叶形线,参数的几何意义:,图形在第四象限,图形在第二象限,图形在第一象限,点击图中任意点 动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令, 则,是凸函数,即,2 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),
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