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第2章轴对称图形一、选择题1.2020淄博 下列图形中,不是轴对称图形的是()图12.2020哈尔滨 如图2,在RtABC中,BAC=90,B=50,ADBC,垂足为D,ADB与ADB关于直线AD对称,点B的对称点是B,则CAB的度数为()图2A.10B.20C.30D.403.2020怀化 如图3,在RtABC中,B=90,AD平分BAC,交BC于点D,DEAC,垂足为E,若BD=3,则DE的长为()图3A.3B.32C.2D.64.2020益阳 如图4,在ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分ACB,若A=50,则B的度数为()图4A.25B.30C.35D.405.2020湖北 如图5,已知ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=90,BD,CE交于点F,连接AF.有下列结论:BD=CE;BFCF;AF平分CAD;AFE=45.其中正确结论的个数是()图5A.1B.2C.3D.46.2020宜宾 如图6,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,M,N分别是线段BE,AD上的两点,且BM=13BE,AN=13AD,则CMN的形状是()图6A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形二、填空题7.2020岳阳 如图7,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,A=20,则BCD =.图78.2020阜新 如图8,直线a,b分别过等边三角形ABC的顶点A,C,且ab,1=42,则2的度数为.图89.2020黄冈 如图9,在ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,C=35,则BAD =.图910.2020南京 如图10,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若1=39,则AOC =.图1011.2019黄冈 如图11,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,M为AB的中点,若 CMD =120,则CD的最大值是.图1112.2020十堰 如图12,D是等边三角形ABC外一点.若BD=8,CD=6,连接AD,则AD的最大值与最小值的差为.图12三、解答题13.2020鞍山 如图13,在四边形ABCD中,B=D=90,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.求证:CB=CD.图1314.2020吉林 图14都是33的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:(1)在图中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB关于某条直线对称,且M,N为格点;(2)在图中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;(3)在图中,画一个DEF,使DEF与ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.图1415.2020广东 如图15,在ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,BD=CE,ABE= ACD,BE与CD相交于点F.求证:ABC是等腰三角形.图1516.2020烟台 如图16,在等边三角形ABC中,E是边AC上一定点,D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;【类比探究】如图,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.图16答案1.D解析 A,B,C选项中均是轴对称图形,D选项中不是轴对称图形.故选D.2.A解析 BAC=90,B=50,C=40.ADB与ADB关于直线AD对称,点B的对称点是B,ABB=B=50,CAB=ABB-C=10.故选A.3.A解析 B=90,DBAB.又AD平分BAC,DEAC,DE=BD=3.故选A.4.B解析 DE垂直平分AC,AD=CD,A=ACD=50.又CD平分ACB,ACB=2ACD=100,B=180-A-ACB=180-50-100=30.故选B.5.C解析 如图,过点A作AMBD于点M,ANEC于点N.设AD交EF于点O.BAC=DAE=90,BAD=CAE.在BAD和CAE中,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,BADCAE(SAS),CE=BD,BDA=CEA,故正确;又DOF=AOE,DFO=EAO=90,BDEC,故正确;BADCAE,AMBD,ANEC,AM=AN,FA平分EFB,AFE=45,故正确,若成立,则易得AEF=ABD=ADB,推出AB=AD,由题意知,AB不一定等于AD,所以AF不一定平分CAD,故错误.故选C.6.C解析 ABC和ECD都是等边三角形,BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60,BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD.在BCE与ACD中,BC=AC,BCE=ACD,CE=CD,BCEACD(SAS),MBC=NAC,BE=AD.BM=13BE,AN=13AD,BM=AN.在MBC与NAC中,BM=AN,MBC=NAC,BC=AC,MBCNAC(SAS),MC=NC,BCM=ACN.BCM+MCA=60,ACN+MCA=60,即MCN=60,MCN是等边三角形.故选C.7.70解析 在RtABC中,A=20,则B=70.ACB=90,CD是斜边AB上的中线,BD=CD=AD,BCD=B=70.8.102解析 ABC是等边三角形,BAC=60.1=42,ab,2=1+BAC=42+60=102.9.40解析 AD=DC,DAC=C=35,ADB=DAC+C=70.AB=AD,B=ADB=70,BAD=180-B-ADB=180-70-70=40.10.78解析 解法一:连接BO,并延长BO到点P,如图.设l1交AB于点D,l2交BC于点E.线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,OA=OB=OC,BDO=BEO=90,DOE+ABC=180.DOE+1=180,ABC=1=39.OA=OB=OC,A=ABO,OBC=C.AOP=A+ABO,COP=C+OBC,AOC=AOP+COP=A+ABC+C=239=78.解法二:连接OB,如图.设l1交AB于点D,l2交BC于点E.线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,OA=OB=OC,AOD=BOD,BOE=COE.DOE+1=180,1=39,DOE=141,即BOD+BOE=141,AOD+COE=141,AOC=360-(BOD+BOE)-(AOD+COE)=78.11.14解析 如图,作点A关于CM的对称点A,点B关于DM的对称点B.CMD=120,AMC+DMB=60,CMA+DMB=60,AMB=60.MA=MB,AMB为等边三角形.CDCA+AB+BD=CA+AM+BD=2+4+8=14,CD的最大值为14.12.12解析 如图,以CD为边向外作等边三角形CDE,连接BE.CDE和ABC是等边三角形,CE=CD,CB=CA,ECD=BCA=60,ECB=DCA.在ECB和DCA中,CE=CD,ECB=DCA,CB=CA,ECBDCA(SAS),BE=AD.DE=CD=6,BD=8,在BDE中,BD-DEBEBD+DE,即8-6BE8+6,2BE14,2AD14.AD的最大值与最小值的差为14-2=12.13.证明:连接AC,如图所示.在AEC与AFC中,AC=AC,CE=CF,AE=AF,AECAFC(SSS),CAE=CAF.B=D=90,CB=CD.14.解:答案不唯一.(1)如图,MN即为所求.(2)如图,PQ即为所求.(3)如图,DEF即为所求.15.证明:在BDF和CEF中,DBF=ECF,BFD=CFE,BD=CE,BDFCEF(AAS),BF=CF,则FBC=FCB,FBC+DBF=FCB+ECF,即ABC=ACB,AB=AC,ABC是等腰三角形.16.解:【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,如图所示.ABC是等边三角形,ECH=60,CEH是等边三角形,EH=EC=CH,CEH=60.DEF是等边三角形,DE=FE,DEF=60,DEH+HEF=FEC+HEF=60,DEH=FEC.在DEH和FEC中,DE=FE,DEH=FEC,EH=EC,DEHFEC(SAS),DH=CF,则CD=CH+DH=CE+CF,CE+CF=CD.【类比探究】线段CE,CF与CD之间的数量关系是CF=CD+CE.理由如下:ABC是等边三角形,A=B=60.过点D作DGAB,交AC的延长线于点G,如图所示.GDAB,GDC=B=60,DGC=A=60,GDC=DGC=60.GCD为等边三角形,DG=CD=CG.EDF为等边三角形,ED=DF,EDF=GDC=60,EDG=FDC.在EGD和FCD中,ED=FD,EDG=FDC,DG=DC,EGDFCD(SAS),EG=CF,CF=EG=CG+CE=CD+CE.
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