求概率解题技巧

】 求概率解题技巧 湖北省襄阳五中：孙海涛（18972209360） 推荐人：董汉民 概率这一章的主要内容就是求随机事件的概率问题。包括两种基本类型：1、古典概型；2、几何概型。它们相同点：基本事件发生的可能性相等求概率公式和求法步骤相似。不同点：古典概型要求基本事件的个数有限，而几何概型要求基本事件的个数无限。 一、 古典概型。求它的概率基本方法：列举法、列表法，树图法、排除法。 例1：一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数字，现随机地抽取两个小球。 （1）小球是不放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。 （2）小球是放回的，求两个小球上的数字为相邻整数的概率。 分析：小球是放回与不放回，基本事件的总数是不同的。有放回的抽取标号数字可以重复出现，而不放回抽取标号数字不可以重复出现。解：方法一（列举法）：记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能的结果为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），(6,7),(7,8),(8,9),（9,10），（2,1），（3,2），（4,3），（5,4），（6,5），（7,6），（8,7），（9,8），（10,9）共18种。（1） 小球是不放回的，可列举出基本事件的总数90种，故（2） 小球是放回的，可列举出基本事件的总数100种，故 方法二（列表法）：（1）如下表所示，基本事件的总数90种，事件A包含基本事件为18种，故 数字1234567891012345678910注：打“ ”表示 事件A包含基本事件，1010方格总格数去掉打“”的为基本事件的总数。 （2）如下表所示，基本事件的总数100种，事件A包含基本事件为18种，故 数字1234567891012345678910注：打“ ”表示 事件A包含基本事件，1010方格总格数为基本事件的总数。法三（树图法）：（1） ，（2） ，剖析：有放回与不放回对基本事件的总数是有影响的，有放回的抽样必须考虑顺序，不放回的抽样，可以考虑顺序，也可不考虑顺序，但概率公式中的分子和分母必须一致，即分子和分母要么都考虑顺序，要么都不考虑顺序。例2：甲，乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲，乙两人依次各抽一题。（1） 甲抽到选择题乙抽到判断题的概率是多少？ （2） 甲，乙两人中至少一人抽到选择题的概率是多少？（1） 分析：把10道题目编号，选择题为，判断题，若考虑顺序由树图法得基本事件的总数为90，记“甲抽到选择题乙抽到判断题”为事件A，则事件A包含基本事件的个数为24（若不考虑顺序，则基本事件的总数为45，事件A包含基本事件的个数12）解：P(A)=（ 或 ） 剖析：本题是不放回的抽样问题，考虑顺序和不考虑顺序均可。（2） 分析：若从正面入手，则需要分三类，即甲抽到选择题乙抽到判断题乙抽到选择题甲抽到判断题甲，乙均抽到选择题。但其对立事件就只有一类，即甲，乙均抽到判断题。所以从反面入手，利用排除法解比较简单。解：记“甲，乙均抽到判断题”为事件B,由（1）问中列举结果可得故所求 剖析：正难则反，解部分从正面入手困难的概率问题可以考虑先求对立事件的概率，然后用排除法来解。像题目中有“至少”，“至多”等字眼常用此法。例3：袋中有12个小球，分别为红球、黑球，黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到绿球或黄球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？分析：题目中任取一球“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”这四个事件彼此互斥，可据题意列出这四个事件概率的方程，从而使问题得到解决。解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A,B,C,D,则事件A,B,C,D彼此互斥，由题意得 即 由得 故得到黑球，黄球、绿球的概率分别是剖析：本题所求事件较多，可运用方程的思想来解决问题。二、 几何概型。例4：如图所示，在等腰直角三角形ABC中，（1） 过直角顶点C在内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求的概率。（2） 在斜边AB上任取一点M，求的概率。分析：第（1）问AM的长度取决于的度数，故本题是与角度有关的几何概型问题。而第（2）问点M 在斜边AB上任取，使的点M落点区域为线段，它是与长度有关的几何概型问题。 解：（1）在AB边上取AC=，则记“在内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,使”为事件A，则所有可能结果的区域角度是，事件A的区域角度是 故 （2）记“在斜边AB上任取一点M，使的概率”为事件B，则所有可能结果是线段AB, 事件B包含的结果是线段设，设AC=BC=1，则 剖析：当涉及射线的转动，扇形中有关落点问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段长度来代替。本题第（1）很容易与第（2）问混淆。例5、甲，乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的。（1）如果甲，乙两艘轮船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率。（2）如果甲船的停泊时间是4小时，乙船的停泊时间是2小时 ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率。（1）分析：因为甲，乙两艘轮船停泊时间都是4小时，所以任何一条船不需要等待码头空出的充要条件是 解：设甲，乙两艘轮船到达时间分别是x,y,则由题意，建立直角坐标系如图，作出可行域，则概率（2）分析：因为甲，乙两艘轮船在码头停泊时间不一样，所以必须要考虑谁先到的问题。 解：若甲先到则 ， 若乙先到则，作出可行域，则概率 剖析：第（1）问甲，乙两艘轮船在码头停泊时间一样，可不考虑谁先到，用来解决，但第（2）甲，乙两艘轮船在码头停泊时间不一样，必须要考虑谁先到的问题。本题难点是把x,y构造平面内的点（x,y），转化为线性规划问题，进而转化为面积型几何概型问题。 精选习题 一、 选择题。 1、1升水中有一只微生物，任取0.1升水，则有微生物的概率是（ ） A0.1 0.2 0.3 0.4答案：A 2、从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率是（ ）A 答案：A 3、为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕捞2000尾鱼，给每一尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放入水库。经过一定的时间，让其和水库中的其它鱼充分混合后再从水库中捕捞500尾鱼，发现其中有记号的有40尾，估计水库在有（ ）尾鱼。 A15000 180000 20000 25000答案：D 二、 填空题。1、 若以连续抛掷两枚骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标（m,n）,则点P落在圆内的概率为 答案： 2、 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地取一点与A相连，则弦长超过半径的倍的概率是 答案：0.5 3、一个路口的信号灯，红灯的时间间隔为30秒，绿灯的时间间隔为40秒，如果你到达路口时，遇到红灯的概率是，那么黄灯的时间间隔为 秒。 答案：5 三、解答题。1、某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟。 （1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率。（2）求乘客到站立即上车的概率。 答案：（1） （2） 2、甲、乙两人相约12:0013:00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻达到会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟便离去，试求两人会面的概率。解：设甲12时x分到达，乙12时y分到达，则，由题意得即，建立直角坐标系如图，作出可行域，则概率P=