算法合集之《寻找最大重复子串》.ppt

求最大重复子串 江苏金陵中学 林希德,题目,字符串W由大写字母组成，W中包含一 些连续出现两次的相同子串，称之为重复子 串。重复子串的大小决定于循环节的长度。,W =“B B A A B A B A A B A B B”,A B A A B A,举例,B B,循环节长度为3,循环节长度为1,请你求出最大重复子串的循环节长度。,题目,字符串W由大写字母组成，W中包含一 些连续出现两次的相同子串，称之为重复子 串。重复子串的大小决定于循环节的长度。,数据规模,n = |w| = 100000,O(n2),O(nlg2n),O(n),后缀树,两个辅助算法,O(n),KMP模式匹配,O(n+m),为方便表达，使用,表示开始于位置u结束于位置v的W的子串,W ( u ，v ),问题的转化,1、S中的字符以L为周期循环出现 S i = S i + L （u = i = v - L）,求出所有最优子串连同它们的周期,定义S是循环周期为L的最优子串，仅当S满足：,2、|S| = 2 L，即S至少包括两个完整循环节。,3、S不能向左扩展， 即u = 1 或者 W(u-1,v)不满足条件1 4、S不能向右扩展， 即 v = n 或者 W(u,v+1)不满足条件1,最大重复子串必然被某个最优子串包含！,算法基本框架,1、找到S的一个完整循环节,2、根据循环节将S分别向左、向右扩展到不 能扩展为止,3、判断扩展以后的S是否长度 = 2 L,如果是，则认为找到了一个循环周期为L的最优子串S。,?,如果字母Q1从未在P中出现过, 那么 Ui = Q1 否则 Ui = P中出现过的Q的最长前缀,一、字符串分解,Ui-1,P,Q,Ui-2,U1,字符串W,将W分解成 W = U1 + U2 + U3 + + Um 的形式，其中Ui定义如下：,W = P + Q,P = U1 + U2 + + Ui-1,Q1,只要字符串x的开始位置在P内，就认为x在P中出现过！,A B A A B A B A A B A B B,举例,P,Q,A,A B A A B A B A A B A A B,举例,P,Q,B,A B A A B A B A A B A A B,举例,P,Q,A,A,A B A A B A B A A B A A B,举例,P,Q,A B A,A B A,A B A A B A B A A B A A B,举例,P,Q,B A A B A,B A A B A,A B A A B A B A A B A A B,举例,P,Q,A B A A B A B A A B A A B,举例,字符串分解过程借助“后缀树”算法实现,A B,A B,怎样利用字符串分解的特殊定义找到最优子串S的一个完整循环节呢？,S的循环节能有多长呢?,分类讨论。,二、寻找完整循环节,问题：,S的开始位置在何处呢？,解决方法：,假设S的结束位置在固定片断Ui内,一定要记住：整数i是个已知常量！,S的开始位置也在Ui内.,Ui在P中某处出现过 S在P中某处出现过 为避免重复工作，此情况不予考虑！,最优子串S,Ui,P,Q,S的开始位置不能太迟,这里用到了字符串分解的定义,最优子串S,b. 最末循环节包含Ui-1,Ui,Ui-1,P,Q,最末循环节,红色和绿色线段标示了相同的子串 根据定义，|Ui-1| = 红色线段 矛盾，情况b不存在。,S的循环节不能太长,这里再次用到了字符串分解的定义,Ui-1,最优子串S,c. |S位于Ui-1之前的子串| = 循环周期L,Ui,Ui-1,P,Q,最末循环周期,红色和绿色线段标示了相同子串 根据定义，|Ui-1| = 红色线段 矛盾，情况c也不存在。,S的开始位置不能太早,这里又一次用到了字符串分解的定义,重要结论1,1. S的开始位置早于Ui且最末循环节没有将Ui-1包含在内，故 L |Ui-1 + Ui|,2. |S位于Ui-1之前的子串| 循环周期L，故 |S| 2|Ui-1 + Ui|,开始 位置,Ui-1,P,Q,最优子串S,Ui,Ui,循环周期L,Ui-1,最末循环节,重要结论1,Ui-1,V,U,进一步分类 因为|S| = 2， 故下列两种情况S必居其一： 情况1. S在V中的长度 = L 情况2. S在U中的长度 = L,最优子串S,Ui,实际就是的一个完整循环节,U(1,L),这个结论很重要！,找到循环节了!,V,U,最优子串S,1、尽量向右扩展,三、循环节扩展和长度判定,完整循环节,2、尽量向左扩展,3、如果扩展以后的|S| = 2L，那么 S是最优子串。,U(1,L)实际就是的一个完整循环节,找到循环节了!,B B A A B A B A A B A B B,举例,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,结束位置,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,结束位置,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,结束位置,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,结束位置,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,寻找循环周期为5的最优子串,完整循环节,结束位置,举例,B B A A B A B A A B A B B,V,U,开始位置,长度判定： |S| = 11 = 2 * 5,寻找循环周期为5的最优子串,结束位置,S是合法最优子串,完整循环节,V,U,完整循环节,辅助函数和重要结论2,B B A A B A B A A B A B B,LsL = U 与U(1+L，|U|)的最长公共前缀,LpL = V 与V + U(1，L)的最长公共后缀,当且仅当|LsL + LpL| = L时,存在唯一的周期为L的最优子串 LsL + U(1,L) + LpL,A B,向右扩展,B A A B,向左扩展,长度判定,B A A B,A B,长度判定： |S| = 11 = 2 * 5,S是合法最优子串,使用一次“KMP模式匹配的推广算法”在线性时间内求出所有Lp和Ls的函数值,四、枚举所有最优子串,因为：Ls函数定义中，第一个有待比较前缀的字符串总是U Lp函数定义中，第一个有待比较后缀的字符串总是V 所以：我们可以,然后：从 1 到 |Ui + Ui-1| 枚举循环节的长度L， 并在枚举的同时判断是否 |LsL + LpL| = L， 即可：,找出所有最优子串连同它们的周期。,这样Lp和Ls函数的平摊求解复杂度为O(1),LsL = 与U(1+L，|U|)的最长公共前缀,LpL = 与V + U(1，L)的最长公共后缀,U,V,算法基本框架回顾和完善,字符串分解 answer = 0,令 V = 长度为 |Ui| + 2 * |Ui-1|的P的后缀 U = Ui,For i = 2 to m do End For,针对情况1：S在V中的长度 = L End 情况1,1、 求出函数Ls和函数Lp的值,针对情况2：S在U中的长度 = L End 情况2,2、 For L=1 to |Ui-1 + Ui|-1 do,输出 answer,If |LsL| + |LpL| = L,Then 用L更新answer的值,算法性能分析,较大 20 10,1、字符串分解,O (n),O (n),程序步骤 算法名称 复杂度,常数因子,后缀树算法,2、辅助函数,3、枚举所有最优子串,O (n),Sum2(|Ui-1|+|Ui|) = 4n KMP模式匹配,Sum|Ui-1|+|Ui| = 2n 枚举,总结, 掌握基础算法 善于分化问题 融会贯通,谢 谢 !,